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作业06 平行线的性质和判定
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：平行线的画法】
1．如图所示是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其直接理由是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行
2．已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点、、，格点P为上一点．
(1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交与点D，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线；
(2)直接写出线段，，的大小关系．
3．卫河是海河流域漳卫河水系的南支，北邻漳河，发源于山西省陵川县夺火镇，流经河南省焦作、新乡、鹤壁、安阳、濮阳等市，于河北省馆陶县徐万仓与漳河汇流．新乡合河镇以上，史称大沙河，以下称卫河，历史上统称卫河．小明的家位于卫河沿岸，如图，是河岸外一居民安置点．
(1)过点修一条与河岸平行的彩虹公路，用直线表示，请画图表示．
(2)现用水管从河岸将水引到居民安置点处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
4．如图，直线，相交于点O，点E在直线上，根据下列语句画图，并解答问题：
(1)画图：①过点E画直线的垂线段，垂足为；
②过点E画直线的平行线；
(2)比较线段与的长短______（用“”连接），依据是________．
5．如图，已知三角形，点D在边上．
(1)过点A作的平行线；
(2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ；
(3)测量点B到直线的距离为 （精确到）．
【题型二：平行公理及其应用】
6．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行
8．在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线和b条直线l的平行线，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
9．若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（ ）
A．与平行 B．与垂直
C．与相交 D．以上都有可能
10．如图，若，， 则与的位置关系是
【题型三：平行线的判定】
11．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
12．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，张师傅将两根木条和固定在点A处，在木条上点O处安装一根能旋转的木条．张师傅用量角仪测得，木条与的夹角，要使，木条绕点O至少旋转（ ）
A． B． C． D．
15．下图所示，在下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
17．如图，直线l与直线a交于点A，过直线l上的点B作直线a的平行线，下列尺规作图中，不一定能得到直线a平行于直线b的是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据．
(1)（已知），∴（　　）
(2)（已知），（　　）；
(3)（已知），∴（　　）
【题型四：平行线的性质】
19．如图，平分，，，则 ．

20．如图，已知， ．
21．如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是 ．
22．补充完成下面证明过程．
如图，，，求证：．
证明：（已知）
又（______），
（等量代换），
______（______），
______（______），
（______），
（______），
______（______），
（______）．
23．如图，点，在直线上，，．
(1)求证：；
(2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数．
24．如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
25．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题：
如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为．
【问题解决】
（1）下列结论错误的是（ ）
A．　B．　C．　D．
（2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数；
【探索发现】
（3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系．
26．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、．
【问题提出】
（1）如图1，过点作，若，，求的度数；
【问题初探】
（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数；
【衍生拓展】
（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
27．综合与探究
如图，，点，分别在直线，上．
(1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明．
(2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数．
(3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
28．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
【题型五：平行线性质的实际应用】
29．如图，，，．请你求出的度数．
30．如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（ ）
A． B． C． D．
31．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
32．图1是一款电脑显示器伸缩架，图2是其截面示意图，固定支架桌面，屏幕，支撑杆两端可调节和的大小．当屏幕时，测得， 度；若将屏幕绕点顺时针方向旋转度如图3，现只调整的角度，使屏幕仍垂直地面，则的度数为 （用的代数式表示）．
33．为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数．
34．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
35．【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
36．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，．
(1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
(2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值．
37．现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
38．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
39．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．．
40．如图，直线和被直线所截．
(1)如图，平分，平分，则当与满足 时，；
(2)如图，平分，平分，则当与满足 时，；
(3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由．
41．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
42．【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．
【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）；
【拓展探究】（3）如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出满足条件的时间t．
43．综合与探究：
将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证；
(3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数．
44．如图1，在钝角的内部作一条射线，将分成和，且其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．
(1)如图2，若，射线在的内部，，则_____（填“是”或者“不是”）的“分补线”；
(2)下列说法中正确的是_____；（填序号）
若，为的分补线，则或；
每个钝角都有两条分补线；
若为的分补线，且，则；
若为的分补线和角平分线，则．
(3)如图3，，分别是和的分补线，且，请你在图中画出和的示意图，并直接写出和的数量关系：_____．
45．综合与实践
动手操作可提高我们的思维能力，白老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题．
初步认知
（1）如图1，将三角板直角顶点与重合，若，求的度数．
深入探究
白老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答．
（2）①“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点放在三角板的边上，若，求证：平分．
②“善思小组”提出问题：将两块直角三角板按如图3所示的方式摆放，若，，求的度数．
46．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由；
(2)若，平分，交直线于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
47．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究：
(1)探究反射规律，如图3
①若，则___________（用含的代数式表示）．
②若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
(2)模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数．
48．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线交于一点P．
(1)如图2，若和，则 ；
(2)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知，点M，N分别在上，点P是之间，右侧任意一点，连接，则的数量关系为 ；（不需要写解答过程）
(4)如图4，在（3）条件下，之间，左侧再取一点Q，连接，若使得，求与的数量关系．（用n表示）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业06 平行线的性质和判定（5大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．A
【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平移可知，根据同位角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：如图，
（同位角相等，两直线平行）
故选：A．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据垂线段最短即可得解答案．
【详解】（1）解：如图，、 、即为所作，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．(1)图见解析
(2)图见解析，理由见解析
【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线段最短，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）过点C画一条平行于的直线即可；
（2）根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点C画一条平行于的直线，则为彩虹公路．
（2）解：如图，过点C作于点D，从河岸上的点D处开口，才能使所用的水管最短．设计的理由是垂线段最短．
4．(1)图见解析；
(2)，垂线段最短．
【分析】本题考查作图-复杂作图，涉及到比较线段的长短和垂线段最短以及平行线的性质，通过本题可以加深对垂线和平行线的理解，同时也能提高空间想象能力和几何作图能力．
（1）①直接根据垂线段的定义画出图形；
②由题意根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用垂线段最短的性质来比较线段的长度．
【详解】（1）解：①如图，线段即为所求；
②如图，直线即为所求；
（2）垂线段最短的性质可知，依据是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
5．(1)作图见解析
(2)作图见解析，，垂线段最短
(3)（测量值可在）
【分析】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
（1）根据平行线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
（3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图所示，即为所求，
，理由：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短
（3）利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为（测量值可在），
故答案为：（测量值可在）．
6．A
【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可．
【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条，
故选：A
7．D
【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意；
、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查平面内垂线和平行线的基本性质．熟练掌握过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直以及经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行这两个重要性质，是解题的关键．
先分别依据垂线和平行线的性质确定、的值，再将其代入计算出结果．
【详解】在平面内，根据垂线的性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 。所以过点作直线的垂线，．
在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。所以过点作直线的平行线， ．
将，代入，可得 ．
故选：C．
9．A
【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．
【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：，
∴直线与平行，
故选：A．
10．平行
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：平行．
11．C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意；
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题．
【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意；
B、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意；
C、不能判定，故本选项不符合题意；
D、能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
13．C
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：由，，不能判定其中的两条直线平行，
，
，
由，能判定另一组直线平行，不能判定，
故选：C．
14．B
【分析】本题平行线的判定，根据平行线的判定方法，得到当时，，进行计算即可．
【详解】解：由题意，当时，，
∴木条绕点O至少旋转；
故选B．
15．C
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握几个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法逐项判定即可．
【详解】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意；
D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
16．B
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解
【详解】A、，
，不满足题意；
B、，
，满足同意；
C、，
，不满足题意；
D、，
，不满足题意；
故选：B
17．C
【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法进行分析即可．
【详解】解：同位角相等，两直线平行，故选项A一定能得到直线a平行于直线b；
内错角相等，两直线平行，故选项B一定能得到直线a平行于直线b；
同旁内角相等，故选项C不一定能得到直线a平行于直线b；
同旁内角互补，两直线平行，故选项D一定能得到直线a平行于直线b；
故选C．
18．(1)内错角相等，两直线平行
(2)同位角相等，两直线平行
(3)同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解．
【详解】（1）解：（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行；
（2）解：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（3）解：（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
19．
【分析】本题主要考查平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意得到，，即可得到答案．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点作由平行线的判定与性质推出，即可得到∠1的度数．
【详解】解：如图，过点作
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
21．##102度
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出．
【详解】解：图①中∵四边形为长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴图②中，
∴图③中，
故答案为：．
22．对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；已知；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键．根据已知条件及对顶角相等，得到，可知，则，再根据，判定，得出，利用等量代换即可求解．
【详解】证明：（已知），
又（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行；
（2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解．
【详解】（1）解：为平角，
又，
，
；
（2）解：如图所示，
，
，
，
，
，
又为的角平分线，
，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：
（1）同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而得到，即可得证；
（2）两直线平行同位角相等，得到，进而得到，结合，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
25．（1）D
（2），，，
（3），理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键．
（1）根据平行线的性质逐项判断即可；
（2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可；
（3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论．
【详解】解：（1）A、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
又∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意；
故选：D．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），
理由：过点E作，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可；
（2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论；
（3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：由（1）得：，
同理：，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
（3）解：如图3，作的角平分线交于点，

∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
由（2）得：，
．
27．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论；
（2）由（1）可得，代入数据，即可求解．
（3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵
∴
∵，
由（1）可得
（3）解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
由（1）可得，
∴
即．
28．（1）①②（2）（3）
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键：
（1）①根据平行线的性质进行求解即可；②证明，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可；
（2）证明，推出，利用平行线的性质，进行求解即可；
（3）证明，推出，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
29．
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
延长交直线于点，由得，由即可得，即可解答．
【详解】解：延长交直线于点，如图：
，
，
，
．
30．B
【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可．
【详解】解：如图，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴，
∵水面和杯底互相平行，
，
．
故选：B．
31．B
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
32．
【分析】本题考查平行线的性质，过点作，推出，然后分两种情况求解即可．通过作辅助线构造平行线是解题的关键．
【详解】解：过点作，
∵，桌面，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵屏幕，，
∴，
∴，
∴；
若将屏幕绕点顺时针方向旋转度，屏幕仍垂直地面，且只调整的角度，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；．
33．
【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，如图，过点作，利用平行线的性质得，，正确的作出辅助线是解题关键．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
34．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②与所成锐角的度数为
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明；
（2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明；
（3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
35．（）证明见解析；（）；（）
【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（）证明：如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
36．(1)不会，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可；
（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：不会，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这两艘舰艇不会相撞；
（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．
37．D
【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角尺可得，过点作交于点，得，然后逐一判断即可．解题的关键是掌握：直角三角尺中各个角的度数及平行线的性质．
【详解】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且，，
∴，
过点作交于点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，故选项B不符合题意；
∴，
∴，故选项A不符合题意；
∴，故选项C不符合题意；
∵，，
∴，故选项D符合题意．
故选：D．
38．C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，故①可以；
②∵，
∴，故②可以；
③，无法得出，故③不可以；
④∵，
∴，故④可以；
⑤∵，，
∴，
∴，故⑤可以．
综上所述，能判定纸带边的有4个．
故选：C．
39．，见解析．
【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，先得到，，再根据当时，则，即可得出答案.
【详解】解：当时，可使所铺管道．理由如下：
根据题意，得，
∴
当时，则，
∴．
∴当时，可使所铺管道．
40．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
（1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．
（3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．
【详解】（1）解：当时，．理由如下：
平分，平分
．
，
，
．
（2）解：当时，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
（3）解：当时，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
41．（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
42．（1），理由见解析（2）；（3）存在，
【分析】（1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到，，据此求出，即可证明；
（2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ；
（3）根据平行线的性质得出，列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1），理由如下：
由题意得，，，
镜子与镜子互相平行，
，，
，
，
；
（2），，
，
，
，
当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底；
（3）存在，
，
，
，
解得；
当射线首次与射线重合时，射线转动了，
，
∵，符合题意，
射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，当时，与平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
43．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）依据，即可得到的度数，即可求解；
（2）依据，即可得到的度数，即可得证；
（3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：，
；
（3）解：分两种情况：
如图所示，当时，，所以，
如图所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
44．(1)是；
(2)；
(3)示意图见解析，或或．
【分析】本题考查了角平分线的定义，补角等，理解“分补线”的概念是解题的关键．
（1）先求出的度数，根据，即可判断；
（2）根据角平分线的定义和“分补线”的定义，逐个判断即可；
（3）由，得出，由，分别是和的分补线分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
和互为补角，
即射线为的分补线，
故答案为：是；
（2）解：，为的分补线，
或，
或，
当时，，
若，为的分补线，则或，故正确；
设时，为的分补线，
，，
，
那么的分补线只有一条，故每个钝角都有两条分补线错误，故错误；
为的分补线，且，
，
，
，，
，
，
，
，故正确；
为的分补线和角平分线，
，
，
，
，
，
若为的分补线和角平分线，则的说法正确，故正确；
故答案为：；
（3）解：示意图如图所示，
，，
，
，分别是和的分补线，
∴①当，时，
∴；
②当，时，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
③当，时，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
④当，时，
由以上可得，
∴
综上所述，和的数量关系为：或或．
45．（1）；（2）①见解析；②
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
（1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数；
（2）①先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分；
②先根据两直线平行，同位角相等求出，进而可求出的度数，然后再根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
②解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
46．(1)
(2)①不变，②与之间的数量关系是：或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数；
（2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论；
②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：延长到E，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下：
延长到E，如图2所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
②与之间的数量关系是：或，理由如下：
（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述：与之间的数量关系是：或．
47．(1)①
②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键．
（1）①根据，即可得出结果；
②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可；
（2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解．
【详解】（1）解：①，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
，，
，
同理，，
，
，
即，
，
，
；
（2）解：延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
48．(1)
(2)，理由见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：
（1）过点P作，根据平行线的性质进行求解即可；
（2）同法（1）进行求解即可；
（3）过点P作，根据平行线的性质，进行求解即可；
（4）设，得到，，由（2）（3）的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2所示，过点P作（点R在点P的左侧），如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），
理由如下：
过点P作（点S在点P的左侧），如图3所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（4）设，
∵，，
∴，，
由（2）的结论得：，
由（3）的结论得：，
∴，
∴，
∴．
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