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作业11 线段垂直平分线和角平分线
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：线段垂直平分线的判定】
1．下列说法中，正确的有（ ）
①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线；
②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线；
③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线；
④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．6
4．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　）
A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形
C．与面积相等 D．垂直平分
5．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：．
6．如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
7．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
(1)证明：；
(2)证明：垂直平分．
8．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点．
(1)证明：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
【题型二：线段垂直平分线的性质】
9．如图，在中，垂直平分．若，则的长是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
10．如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　）
A．平分 B． C． D．
11．如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）

A． B． C． D．
13．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是 ．
14．如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
15．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ．
16．如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为 ．
17．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【题型三：线段垂直平分线的作图及应用】
18．如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
19．如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为 ．
21．如图，已知，为射线上一点，请用尺规作图法，在内部求作一点，使是一个等腰三角形，且．（保留作图痕迹，不写作法）
22．数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹）
(2)求证：，请根据下列证明思路完成填空：
证明：∵ ，
∴．
∵是线段的垂直平分线，
∴， ，
∴ （ ）
∴在和△BFO中，
∴．
∴
∴．
【题型四：角平分线的性质】
23．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
26．如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　）
；平分；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
28．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ．
29．如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ．
30．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ．
31．如图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长．
32．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
(1)若，试求动点的运动时间的值；
(2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
33．中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，．
(1)如图1，若是的角平分线，求证：；
(2)如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______；
(3)如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积．
【题型五：角平分线的尺规作图及应用】
34．图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．若连接，则
35．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．连结，根据可判定
C．
D．的最小值是的长
36．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
37．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ）
甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求．
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
38．如图，直线，点在直线上，以点为圆心画弧，交直线于、两点，交于点，再分别以、两点为圆心，相同长为半径画弧，两弧交于点，延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点D，，垂足为．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
40．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ．
41． 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
42． 如图，是 的角平分线，E是上一点，且
(1)用无刻度的直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线交于F，当时，求证：
【题型六：最短路径问题】
43．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
44．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
45．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ．
46．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
47．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　）
A. B.C. D.
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
48．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标_____；
(2)在y轴上找一点M，使最小，在图中标出点M；
(3)计算四边形的面积．
49．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【解决问题】
（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可；
【类比探究】
（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
50．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点．
求证：．
图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________．
（2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________．
51．在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
52．如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
53．如图，在中，，面积是12，的垂直平分线分别交边于点E，F．若点D为中点 ，点P为线段上一动点，则周长的最小值（ ）
A．8 B．3 C．6 D．4
54．如图，在中，，于点D，点E在上，连接交于点F，若，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为14，且，则的值为 ．
55．如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
56．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
57．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接．
(1)如图①，当，时，与的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
58．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线．
上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
59．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④；⑤沿折叠，与重合．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
60．校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　）
A．线段、的交点
B．、角平分线的交点
C．线段、垂直平分线的交点
D．线段、垂直平分线的交点
61．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示．
（1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km；
（2）小明骑行的最短距离为 km．
62．学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：，求作：的平分线．
作法：Ⅰ以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点
Ⅱ分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点
Ⅲ画射线，则射线即为所求．
(1)如图1，射线就是的角平分线的依据是______．
A．SAS B．ASA C．SSS D．
(2)下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与分别交于点E，F，连结交于点P，画射线，则平分
你认为小明的这种作角平分线的方法______．
A．正确 B．不正确
(3)在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知的边上分别取，再分别过点C，D作的垂线，两垂线相交于点P，画射线，则平分
请你帮这位同学证明：平分
63．【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：
小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置；
【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值；
【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系．
64．如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线．
(1)若，则______．
(2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______．
(3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗）
(4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《暑假作业11 线段垂直平分线和角平分线（6大题型巩固提升练+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）》参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断．
【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误；
②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误；
③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确；
④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可．
【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且，
，平分，垂直平分线段，
故正确，
条件不足，无法求出的度数，故错误；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题．
根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴点，点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∵与交于点，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的性质是解题的关键．
由轴对称的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵与关于直线对称，
，
∵由轴对称的性质，可知直线的交点一定在上，
∴A选项符合题意；
P为上任一点，
，
∴是等腰三角形，
∴B选项不符合题意；
，
∴与面积相等，
∴C选项不符合题意；
，
∴垂直平分，
∴D选项不符合题意；
故选：A．
5．见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得．
【详解】证明：∵，，
∴点A、C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出；
（2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∴垂直平分．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，分别是和的高，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
点、在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
8．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键．
（1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵点是中点，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．C
【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解．
【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，
，故C正确，符合题意，
其余选项均不能证明，不符合题意，
故选：C．
11．B
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
．
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
，
∵是的垂直平分线，
，
∵的周长，
，
，
，
故选：D．
13．32
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
14．30
【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．
【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
15．4
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：4．
16．12
【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．
先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果．
【详解】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
17．(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长．
【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴的周长．
18．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出垂直平分，然后根据线段平分线的性质得出，，结合周长为16可求出，然后结合即可求解．
【详解】解：由作图知：垂直平分，
∴，，
∵周长为16，
∴，即，
∴，
又，
∴的周长为，
故选D．
19．B
【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解．
【详解】解：由作图可得：垂直平分，
∴，
∵的周长为，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
20．14
【分析】本题考查基本作图-作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息．利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴的周长．
故答案为：14．
21．作图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图-作中垂线、作角平分线等，根据是一个等腰三角形，且，得到，从而确定先作的角平分线，保证，再作线段垂直平分线交于的角平分线，即可得到答案，读懂题意，掌握基本尺规作图-作中垂线、作角平分线是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
点即为所求．（作法不唯一）
22．(1)见解析
(2)平分；；；平角的定义
【分析】本题考查了基本作图——作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）证明得出，进而即可得到结论
【详解】（1）解：所求图形，如图所示：
（2）证明：∵平分，
∴．
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴（平角的定义）
∴在和中，
∴．
∴
∴．
23．C
【分析】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故选：C．
24．C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键．
如图，过点作于，于，，，，由中点得到，根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，于，
平分，，，
，
，
，
，
，
是的中线，，
，
∴，
故选：C．
25．C
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解： ∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作于E，
∵平分，，
∴，
∴点D到边的距离是．
故选：C．
26．A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
27．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分交于，，
∴，故正确；
如图，过作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴点在角平分线上，
∴平分，故正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故正确；
由上得，，
∴，，
∴，
∴，故正确，
综上可知，正确，共个正确，
故选：．
28．
【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，
∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
29．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴，
过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
30．8
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵在中，是边上的高，
∴，
又∵平分，，，
∴，
∵，
∴的面积等于，
故答案为：8．
31．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据证明，得出，即可得证；
（2）过点P作于点G，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，，
．
，
即，
平分．
（2）解：如图，过点P作于点G．
平分，，
．
且，
，，
，
．
32．(1)动点的运动时间或；
(2)或时，与全等．
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．
（1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题；
（2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可．
【详解】（1）解：作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
∴,
即，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）当点在点上方时，
，，
∴当时，，
即或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
答：或时，与全等．
33．(1)见解析
(2)
(3)18
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，折叠的性质，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）由角平分线的定义得到，证明得到，再证明，从而有，则可得结论成立；
（2）由角平分线的定义得到，证明，得到，再证明，从而有，则可得；
（3）由全等三角形的性质得到，，， 设，则，根据建立方程求出，由折叠的性质可得，则.
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
由折叠的性质可得，
∴.
34．C
【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意．
【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，故D不符合题意；
而不一定成立，故C符合题意．
故选：C．
35．B
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项．
【详解】解：连接，，
由作图过程可得，，
∵，
∴，
∴根据可判定，
故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线为的平分线，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
由题意知，当时，取得最小值，
∵为的平分线，，
∴此时，
即的最小值是的长，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
36．B
【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，等线段的作法和性质，等边对等角，三角形的内角和定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质和作法．
根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知平分，，
，
，
，
故选：B．
37．A
【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是关键．
甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可求解．
【详解】解：甲：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，故甲的方案正确；
乙：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线，故乙的方案正确；
丙：∵，
∴，
∵，
∴，
不能证明，得不到是的平分线，故丙的方案不正确；
综上所述，只有甲、乙正确，
故选：A ．
38．B
【分析】本题考查了形的性质（等边对等角）以及平行线的性质（两直线平行，内错角相等）．解题的关键在于通过作图条件挖掘出线段相等关系，进而得到角的关系，再结合平行线性质逐步求出所求角的度数． 本题主要涉及平行线的性质以及等腰三角形的性质．通过作图条件得出相关线段相等，进而得到角的关系，再结合平行线的性质求出所求角的度数．
【详解】解：∴作图可知，BE平分∠BOC，OA=OB，
∴．∠OAB=∠OBA，
∵，
∴
∵
∴．∠BOC=∠ABO=44°
∴
∴
答案是B．
39．B
【分析】本题考查了作角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由作图可得是的角平分线，然后根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作图可得，是的角平分线，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选B．
40．2
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：2．
41．见解析
【分析】本题考查尺规作图：作角的平分线；角平分线的性质；理解角平分线的性质是解题的关键．
作的平分线，交直线于点P，即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
42．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）根据角平分线的定义得到，再由，可得，由等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，射线即为所作；
（2）证明：分别平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作角平发线，角平分线的定义，等腰三角形的性质及平行线的判定，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的作法，角平分线的定义，等腰三角形的性质及平行线的判定．
43．C
【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答．
【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示：
∴此时，
故选：C．
44．D
【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解．
【详解】解：从点到的路径为的值，
∵是定值，
∴当的值最小时，从点到的路径最短，
如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合，
当时，点三点共线，，
∴由两点之间线段最短得，的值最小，
故选：D ．
45．13
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键．
连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为，
最小值为，此时点与点重合，
周长的最小值为，
故答案为：13．
46．17
【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接，，
∵是等腰三角形，点是边的中点，
∴，解得
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：17．
47．(1)
(2)最短路径如图，理由见详解
【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项．
（2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径．
【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴铺设管道最短的是选项，
故选：．
（2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图：
根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，
∴，
∴ ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
48．(1)详见解析，
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于M，从而解决问题．
（3）利用分割法求解即可．
本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，为所求．
（2）如图，点M即为所作，
（3）如图，
49．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键．
（1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求；
（2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论；
（3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求.
【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求，
；
（2）直线是点、的对称轴，点、在上，
，，
，
在中，
，
；
（3）如图所示，
，，
则，
根据两点之间线段最短可得路线即为所求．
50．教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）．
【分析】教材呈现：证明即可得证；
（1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解；
（2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可．
【详解】证明：在和中
，
∴，
∴；
定理应用：
（1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，
∴，
∵，
∴，即的周长为20．
故答案为：30；
（2）解：在上取点F，使，过点B作于H，
在和中
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，
∵，的面积为30，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
51．D
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线．
故选D．
52．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度．
【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，
即，
∴．
故选：B．
53．A
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴当三点共线时，即的长为的最小值，
∴的周长最短，
故选：．
54．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，先证明，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，据此证明得到，根据三角形面积计算公式推出，据此利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵的面积为14，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
55．8
【分析】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
∵的面积为 12 ，
，
，
∵垂直平分，
，
∵为直线上一动点，
，
，
，
∴周长的最小值为8．
故答案为：8．
56．(1)见解析
(2)，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明得，再结合（1）的结论，得；
（3）根据（2）的结论得，再根据可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，D为中点，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
即；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
57．(1)
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）根据角平分线的性质定理即可作出判断；
（2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论．
【详解】（1）解：是的平分线，
；
故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点P作于E，于F，
，
∵是的平分线，
，
，，
，
在和中
，
．
58．C
【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作已知直线的平行线，平行线的性质，等边对等角的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故选：C ．
59．B
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则①正确；证出，根据全等三角形的性质可得，则②正确；根据平行线的性质可得，由此可得，则③错误；根据角的和差可得，则④正确；根据可得⑤正确．
【详解】解：∵直线，，
∴，
由题意可知，，
∴，则①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，则②正确；
又∵直线，
∴，
∴，则③错误；
∵，，
∴，
∴，则④正确；
∵，
∴沿折叠，与重合，则⑤正确；
综上，正确的有4个，
故选：B．
60．B
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断．
【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
使点到三面墙的距离都相等，点是、角平分线的交点．
故选：B．
61． 6.2 5.2
【分析】本题涉及到距离的计算．
（1）直接将路线中各段距离相加即可；
（2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离．
【详解】（1）根据图示计算P→B→A→C→P的路线距离为km；
（2）找出所以可能路线计算：
P→B→A→C→P，距离为km；
P→B→C→A→P，距离为km
P→A→B→C→P，距离为km；
P→A→C→B→P，距离为km；
P→C→A→B→P，距离为km；
P→C→B→A→P，距离为km
通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的．
62．(1)C；
(2)A；
(3)见解析
【分析】连接，利用证明即可；
由作法得则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分；
由作法得，则可判断，从而得到平分；
【详解】（1）解：连接，
由作法得，
，
，
；
故选：C；
（2）由作法得，可知
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在与中，
，
，
即平分
故选：A；
（3）证明：由作法得，
，
，
，
平分
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图作已知角的角平分线是解题的关键．
63．探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时，
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求
探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可；
探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可．
【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求；
由平行线的性质可得，由题意得；
探究2：当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或；
探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时，
由题意得，
∴，，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图3-3所示，当射线和重合时，则，
解得；
如图3-4所示，当时，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
64．(1)40
(2)46
(3)见详解
(4)2.5
【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得．
（2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解．
（3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可．
（4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∵，
则，
∴，
故答案为：40．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴．
故答案为：46．
（3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求．
（4）解：如下图：
小球从长方形的点A沿射出，到的点E，．
从E点沿与成射出，到边的F点，，
从F点沿与成射出，到边的G点，，
从G沿与成射出，到边的H点，
从H点沿与成射出，到边的M点，
从M点沿与成射出，到B点，
由（1）中的结论以及轴对称的性质可知：
，，．
根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键．
答案第1页，共2页
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