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1.5《等腰三角形》
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
2．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
3．如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（ ）
A．米 B．米 C．6米 D．米
4.如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在 ABC中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
8．如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ．
9．如图， ABC的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ．
10.如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度．
11．如图，在 ABC中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
12．如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ．
13．已知 ABC中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
14．如图，在 ABC中，．若添加一个条件可判定 ABC为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
三、解答题
15．在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在 ABC中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：在 ABC中，点、点分别是、边上的中点，连接、，过点作于点，过点作于点，满足，求证： ABC是等腰三角形．
证明：点、点分别是、边上的中点，
，，
又，，，
在和中，，，，
在和 CBF中，，，，
，是等腰三角形．
16．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形．
17．如图，在 ABC中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明得到．”
小华：“可以通过证明得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
18． 如图， 在 ABC中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．(1)若，求的度数；(2)若 ABC的周长为，，求的长．
19．如图，点O是等边 ABC内一点，D是 ABC外一点，，，，，连接．(1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
20.如图，在等边 ABC中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
(1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用）
21．如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．
(1)当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；
(2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．A
【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意；
B、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故B是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意．
故选：A．
2．D
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
3．A
【详解】解：∵，∴，
∵恰好平分，∴，∴，∴，
米，米，米，∴米，故选：A．
4.B
【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，，，
是正五边形，，且，
，，，
在等腰中，，则，
，故选：B．
5．B
【详解】解：∵在中，E是的中点， ，∴，
∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，故选：B
6．B
【详解】解：如下图，过点D作，交于F，

是等边三角形，，，
，是等边三角形，，
点P为中点，，
在和中，，，，，
，，，
设，则，，解得：，，故选：B．
7．D
【详解】解：如图，作交的延长线于．
，，∴ ABC是等腰直角三角形，
∵是高，是中线，∴平分，，，，
，，
，∴，
∵，，
，，，故②③正确，
，，，，
，，，，
，，，
，，，，故①④正确，故选：D．
二、填空题
8．3
【详解】解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，
∴，∴；故答案为：3．
9．8
【详解】解：由题意可得，
，点为的中点，，故答案为：8．
10.
【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点，∴，则，
∵，∴故答案为：．
11．
【详解】解：∵，是的中线，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
12．
【详解】解：如图，过作于点，
∵DE=DB,BE=2，，设，则，
∵ ABC是等边三角形，，，，
即，，，故答案为：．
13．或
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当 ABC为锐角三角形时，当 ABC钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图①，当 ABC为锐角三角形时，；
如图②，当 ABC钝角三角形时，，
所以．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
14．（答案不唯一）
【详解】解：①当或时，
∵，∴，即是等边三角形；
②当或或时，
∵，∴是等边三角形；故答案为：（答案不唯一）
三、解答题
15．（1）解：如图所示：
；
（2）证明：点、点分别是、边上的中点，，，
又，，，
在和中，，，，
在和 CBF中，，，，
，是等腰三角形．
故答案为：；；；；．
16．（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，（）.；
（2）证明：由（1）可知，，
，点是的中点，，
，
又，是等边三角形．
17．小明的方法证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
小华的方法证明：∵，∴，
∵，∴，即，∴，∴；
小聪的方法证明：如图，过点作于，
∵，，∴，，∴，即．
18．（1）解：∵，
∴，∴，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∵，∴，∴的度数为；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵ ABC的周长为，，
∴，解得，，∴的长为．
19．（1）解：∵，∴，又∵，∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∴，∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴．
①当时，则，即，∴；
②当时，则，即，∴；
③当时，则，即，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
20.（1）∵ ABC是等边三角形，，
在和中，，，，
，故答案为：，；
（2）证明：由（1）可知，，，
，∴是等边三角形，，
∵ ABC是等边三角形，，，
，即，，
，，
，平分．
21．（1）①解：补全图形如图1所示，
∵，，∴ ABC是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案为：；
②证明：如图2，在上截取，连接，
∵，，，∴是等边三角形，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接，
由（1）知，，，
∵，∴；
当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接，
由（1）知，，，∵，∴．

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