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1.5《等腰三角形》小节复习题
题型01 等腰三角形及相关概念
1.一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；
2.如果 ABC是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
3.等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
4.已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A． B． C． D．
题型02 等腰三角形的性质1的相关计算与证明（等边对等角）
1.如图，在 ABC中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到 ADE，若 ADE是等腰三角形，则的度数为 ．
2.如图，在 ABC中，点M为上一点，，，则的度数为 ．
3.如图，在五边形中，．
(1)求证：．(2)求证：．
4.如图，已知，在 ABC中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．(1)求证：；(2)求证：．
题型03 等腰三角形的性质2的相关计算与证明（“三线合一”）
1.如图，在 ABC中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
2.如图，在 ABC中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．以上结论都不对
3.在 ABC中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.加图，在 ABC中，是 ABC的中线，于点，若，则的度数为 ．
5.我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．
（1）以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在 ABC中，，作平分，交于点．求证：，且．
证明：
【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：
(2)如图，在 ABC中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是_____．
①，②，③，④
题型04 等腰三角形判定的运用（等角对等边）
1.下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在 ABC中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在 ABC中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
2.如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
3.如图， ABC中，、分别平分、，，，，则 OMN的周长 ．
4.如图，已知：，，．求度数．
5.如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．(1)求证： ADE是等腰三角形；(2)若，求的长．
题型05 等腰（等边）三角形与尺规作图
1.已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．(1)填空：由作图可知，射线是的______；(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
2.观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
4.如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下：①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接，．
(1)在木工师傅操作过程中，得到 ABC的形状是 三角形；
(2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由；
(3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段．
5.如图，在 ABC中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形．
(1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形；(2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）．
题型06 等边三角形的性质定理的运用
1.如图，在等边 ABC中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
2.如图，在等边 ABC中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，点P为等边 ABC的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4.如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：．
5.已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上．(1)求证：；(2)求证：．
题型07 等边三角形的判定定理的运用
1.如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上．(1)求证：是等边三角形．(2)若，求的长．
2.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
3.下列条件不能判断 ABC是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4.在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰 ABC成为等边三角形．
5.如图， ABC是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形．
题型08 直角三角形斜边中线的性质的运用
1.如图，点O是边长为3的等边 ABC一边BC上的一点，分别与两边垂直，则（ ）
A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2
2.如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．100 C．25 D．15
4.如图，已知，，E为的中点．求证：．
5.如图，在中，，将 ABC绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．
题型9 等腰三角形的性质与判定综合运用
1.如图1，在 ABC中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：；(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：；
(4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________.
2.如图，在 ABC中，，点为中点，点在边上，连接．
(1)如图1，若于点，求证：；
(2)如图2，已知．若点在边上，，求的长．
3.【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．
【概念理解】（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．
（2）如图2，在 ABC中，为的角平分线，，试说明为 ABC的均等分割线．
【应用拓展】（3）在 ABC中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________．
4.某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图， ABC为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．
题型10 等边三角形的性质与判定综合运用
1.已知 ABC为等边三角形．
(1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：；
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值．
2.如图等边 ABC中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案
题型01 等腰三角形及相关概念
1. 或
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为，
当等腰三角形的底角为时，则顶角为；
当等腰三角形的顶角为时，则顶角为；∴它的顶角度数为：或；
等腰三角形的两边长为和，当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为；
故答案为：或；；
2.C
【详解】解：当为顶角时：和相等，由内角和定理得：；
当为底角时：另一底角也为，
当为顶角：；当也为底角：；
综上，的度数不可能是，故选：C．
3.B
【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况：
情况一：腰长为，底边为．则三边为、、．
此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立．
情况二：腰长为，底边为．则三边为、、．
此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立．则周长为．故选：B
4.B
【详解】解：等腰三角形的顶角为，这个等腰三角形的底角为：，故选：B．
题型02 等腰三角形的性质1的相关计算与证明（等边对等角）
1.或
【详解】解： ，，，
由折叠的性质可知，，，，
①如图，当时，则，
，；
②如图，当时，则，
，；
③当时，则，点不与点和点重合，此种情况不存在，
综上可知，的度数为或，故答案为：或．
2.
【详解】解：∵，，∴，，
∵，∴，故答案为：．
3.（1）证明：，． ．
在 ABC与中，．
（2）解：，．，．
，．
4.（1）证明：，，，．
又是上一点，．
在与中，；
（2）证明：，．
又中，，，；
题型03 等腰三角形的性质2的相关计算与证明（“三线合一”）
1.110
【详解】解：在 ABC中，，D为的中点，，即，
，，，
；故答案为：．
2.B
【详解】解：过点作于，∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，故选：B．
3.D
【详解】解：在 ABC中，，，，，，
故选项A.B.C正确，不符合题意；不能证明，故选项D不正确，符合题意；故：D．
4.
【详解】于点，，，，
是的中线，是的角平分线，．故答案为：．
5.（1）证明：∵平分，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，，，∴平分，∴，
∵，∴是底边上的中线，底边上的高线，∴，，
无法证明，故①②④正确，③错误．故答案为：③．
题型04 等腰三角形判定的运用（等角对等边）
1.（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴ BDE为等腰三角形，
∵，∴，∴，
∴是等腰三角形；故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图 ，．
，．
．，∴是等腰三角形 ；
2.A
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∴的周长是，故选：A ．
3.
【详解】解：∵平分，∴，
又∵，∴，∴，∴， 同理，
∵，则 OMN的周长．故答案为：．
4.解：延长到点E，使得，
在和 ADE中，，，，
，，，即点C为的中点，
，，∴ ADE是等腰三角形，
是 ADE底边上的中线，，．
5.（1）证明：是等腰三角形的底边上的高，．
，，，，∴ ADE是等腰三角形；
（2）解：是等腰三角形，，，．
，，．
由（1）知，．．
题型05 等腰（等边）三角形与尺规作图
1.（1）解：由作图可知，射线是的角平分线；故答案为：角平分线；
（2），理由如下：由作图可知：，∴，
∵是的角平分线，∴，∴，∴．
2.C
【详解】解：第一个图：根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形；
第二个图：根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形；
第三个图：根据过直线外一点作平行线的作法可知，根据角平分线的作法可知，则，是等腰三角形；
第四个图：不能判断是等腰三角形；故选：C．
3.解：如图， ABC即为所求作的等腰三角形．
4.（1）解：由作法得：，∴ ABC是等边三角形，故答案为：等边；
（2）∠ABD=90 ．理由如下：由（1）知： ABC是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
（3）证明：∵，∴，即，
∵，∴线段为边上的中线，∴垂直平分线段．
5.（1）解：连接，如图
，，．由作图得：，
，，
，，和均为等腰三角形；
（2）如图2，点D即为所求．
题型06 等边三角形的性质定理的运用
1.证明：如图所示，连接．
是等边三角形，，，，
，，，，
，， 又，．
2.D
【详解】解：∵ ABC是等边三角形，且是边上的中线，∴．
∵，∴，∴．故选：D．
3.A
【详解】解：如图，过点P作交于点F，
是等边三角形，，，
，，是等边三角形，
，，，，
在和中， )，
，设，则有，
，，，，，
，，解得：，即，故选：A．
4.证明：∵ ABC为等边三角形，是中线，，
又，，，∵，，
， ABC为等边三角形，，
∴，，，．
5.（1）证明：∵ ABD, EBC是等边三角形，∴，
∴∴∴；
（2）∵ ABC是直角三角形，为直角边，∴
∵ BEC是等边三角形，则，∴，
由（1）可得∴
∵是等边三角形，∴∴
∴∴∴垂直平分∴．
题型07 等边三角形的判定定理的运用
1.（1）证明：∵点在的垂直平分线上，，
，，
于点，∴，，
，是等边三角形；
（2）解：，，，，，
∵，，．
2.C
【详解】解：三角形是轴对称图形，这个三角形一定是等腰三角形，
又这个三角形有一个内角为，这个三角形一定是等边三角形．故选：C．
3.B
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、得到，那么只能得到 ABC是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；
C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断 ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；故选：B．
4.（答案不唯一）
【详解】解：∵ ABC为等腰三角形，，
∴ ABC为等边三角形；故答案为：（答案不唯一）
5.证明：∵ ABC是等边三角形，∴，，
∵，，∴，，∴，
∵，∴是等边三角形．
题型08 直角三角形斜边中线的性质的运用
1.B
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，，
又∵， ∴，
∴，∴，
∴，故选：B．
2.B
【详解】解：∵，点是斜边的中点，∴，故选：B ．
3.C
【详解】解：在中，是斜边的中点，，
∴，∴，故正方形的面积为25，故选：C．
4.证明：，，，
为的中点，，，．
5.6
【详解】解：如图连接．在中，∵，，∴，
根据旋转不变性可知，，，
∵P是的中点，∴，∵M是的中点，∴
又∵，即，∴的最大值为6（此时P、C、M共线）．故答案为：6．
题型9 等腰三角形的性质与判定综合运用
1.（1）解：．∵点D是的中点，∴.根据折叠的性质得，
∴，∴是等腰三角形．故答案为：；
（2）证明：根据折叠的性质得，∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）证明：∵，∴．
∵，∴，即，
∴．根据折叠的性质得，∴，∴；
（4）解：由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线，∴．∵，∴．
∵，∴．
当时，，∴，解得；
当时，，∴，∴；
当时，，∴．
所以的度数为或或．故答案为：或或．
2.（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∵点O为中点，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H，
则，∵，点O为中点，
∴，平分，
∴，∴，
∵，∴，分两种情况：
①点F在线段上时，在和中，，
∴，∴，∴；
②点F在线段上时，同理可证：，
∴，∴；综上所述，的长为1或3．
3.解：∵，∴，
∴，
∴，，∴和是均等三角形.
（2）在 ABC中，，则，
∵为角平分线，∴，∴，
∴，，，∴与 ABC为均等三角形，
∵，∴，∴为等腰三角形，∴为 ABC的“均等分割线”．
（3）①∵是等腰三角形，，
当时，，∵是 ABC的均等分割线，
∴，此时，，满足条件；
②当时，，∴，
∵是 ABC的等角分割线，∴，则，
③当时，，则
那么（舍去），故的度数为或．
4.（1）证明：，，
又平分，，
又在和中，
，，为等腰三角形；
（2）解：连接，

∵AE=AB，平分，垂直平分，，，
，，又，，
又中，，，
，．．
题型10 等边三角形的性质与判定综合运用
1.（1）解：证明：∵为等边三角形，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：∵为等腰直角三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵为的中点，∴平分，∴，∴，
在上取一点，使，连接，则是等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，
∵，∴，
∴，∴三点共线，
又∵由旋转可得，，∴为等边三角形，
∴，∴点的轨迹是射线，
作点关于直线的对称点，连接，则，∴，
∵，∴，∴的最小值为．
2.C
【详解】解：∵ ABC是等边三角形，∴，
∵∴，故①正确，∴，
∴，∴，故②正确，
∵，∴点D、E为的中点，
∵ ABC是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确，
过点A作于G，∵，∴，
在和中，，∴，∴
∵，∴是和边上的高，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C．
3.D
【详解】解：∵和都是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，①正确；，
∵，∴∴，
∵，∴，∴，②正确；
，③正确：∴是等边三角形，④正确．故选：D．

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