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15.3《一元一次不等式组》小节复习题
【题一 一元一次不等式组的定义】
1.下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2.是不小于的负数，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
3.一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ．
4.判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【题二 求不等式组的解集】
1.如果关于x的不等式组的整数解仅为2、3，那么适合这个不等式组的整数对共有（　　）
A．30对 B．20对 C．25对 D．16对
2.若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　）
A． B． C． D．
3.不等式组的解集是 ．
4.解下列不等式（组）．
(1) (2)
【题三 解特殊不等式组】
1.定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4
3.我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ．
4.阅读材料：
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集.
小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”.
可得①；或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：，
∴原不等式的解集为：或.
你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式.
【题四 求一元一次不等式组的整数解】
1.如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
2.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C． D．
3.若关于的不等式组有且仅有个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
4.若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)是 阶不等式； 是 阶不等式组；
(2)若关于x的不等式组 是4阶不等式组，求a的取值范围；
(3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．．
如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围．
【题五 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知关于的不等式组给出下列说法：①如果不等式组的解集是，那么；②当时，不等式组无解；③如果不等式组的最大整数解是4，那么；④如果不等式组有解，那么．其中所有正确说法的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3.若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ．
4.阅读材料，解决下列问题．
【阅读材料】
已知，且，求的取值范围．
解：由，得，
∵x>1，，
解得，的取值范围是．
【问题探究】
(1)已知，且，求的取值范围；
(2)已知，且，求的取值范围；
(3)已知，且，，设，直接写出的取值范围．
【题六 由不等式组解集的情况求参数】
1.关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
3.若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ．
4.（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围．
（2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围．
【题七 不等式组和方程组结合的问题】
1.已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④
3.在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ．
4.若关于x，y的方程组
(1)求方程组的解（用含的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求的整数解；
【题八 列一元一次不等式组】
1.设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（ ）
A．没有解 B．恰好有1个解
C．有限个解 D．有无数个解
2.如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为
4.小明在做课外题时，遇到这样一道题：“若，求x的取值范围．”小明思考之后做了如下解答：解：由，得，或，或（无解）即．请你仿照小明的做法解不等式：．
【题九 一元一次不等式组的其他应用】
1.一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤，公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班，此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ）
A． B． C． D．
2.如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3.如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
4.某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元．
甲 乙
价格 元/台 元/台
包装速度 480包/时 720包/时
(1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择；
(2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？
【题十 一元一次不等式组的新定义问题】
1.对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.定义一种新运算：，则不等式组的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.新定义一个运算：，例如，．用表示大于m的最小整数，例如，，．按照上述规定，如果整数x满足，则x的值是 ．
4.对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值．
参考答案
【题一 一元一次不等式组的定义】
1.D
【解析】略
2.D
【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】是不小于的负数，则可表示为.
故选D
3. 一元一次不等式组 公共部分 解集
【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可．
【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集.
4.0解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；
(2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；
(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；
(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；
(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．
综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组．
【题二 求不等式组的解集】
1.B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出m、n的值．求出不等式组的解集，根据已知求出、，求出、，即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的整数解仅有、，
则，，
解得：、，
，为整数，
，，，，，，，，，
，
所以适合这个不等式组的整数m，n组共有对，
故选：B．
2.A
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，以及解一元一次不等式，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的值即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：A．
3.
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
4.（1）解：
解得：；
（2）解：
由①得，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
【题三 解特殊不等式组】
1.D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．
【详解】解：∵[]=2，
∴由题意得2≤＜3，
解得5≤x＜7，
故选：D．
2.B
【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围．
【详解】试题解析：，
由①得：x≥a，
由②得：x≤1+a，
∴不等式的解集是a≤x≤1+a，
∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内，
∴
解得：2≤≤4．
所以a的取值范围是：2≤≤4．
故选B．
3.-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．
【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
4.解：根据题意可得：
①；②
解不等式组①，得无解
解不等式组②，得
原不等式的解集为
【题四 求一元一次不等式组的整数解】
1.B
【分析】本题考查流程图与不等式，根据流程图列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴x的值可能是6；
故选：B．
2.B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组的所有整数解的和为，
∴不等式组必有整数解或是，
∴，或，
∴或，
故选：B．
3.
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可．
【详解】解：关于的不等式组
解得
由于这个不等式组的解集中只有两个整数解；
，
解得，
关于的方程的解为
，是负整数，
则符合条件的所有整数的值有，，
，
故答案为：．
4.（1）解：∵不等式有2个正整数解，
∴是2阶不等式；
解不等式组得，
∴这个不等式组有1个正整数解，
∴不等式组是1阶不等式；
故答案为：2，1；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组是4阶不等式组，
∴关于的不等式组有4个正整数解，
∴有4个正整数解，
∴；即；
（3）解：解不等式组得，
解方程得，
∴，
∵是正整数，
∴m为偶数，
∵是阶不等式组，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
∵，
∴整数解为，
∴．
【题五 由一元一次不等式组的解集求参数】
1.C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得．
∵两个不等式的解集相同，
∴，
解得．
故选：C．
2.B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先求出各不等式的解集，再根据各小题的要求解答即可．
【详解】解不等式得，；
解不等式得，；
故不等式组的解集为：．
对于①，它的解集是，所以，故本小题正确；
对于②，因为，所以不等式组无解，故本小题正确；
对于③，如果不等式组的最大整数解是4，则，且，所以，故本小题正确；
对于④，如果不等式组有解，则，而不是，故本小题错误．
故选：B．
3.3
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得，
∴，
∴，
∴
对于方程，解得：，则，
∴，
∴，
∵的解为正整数，
∴符合题意的有，
∴符合条件的整数的和为：，
故答案为：3．
4.（1）解：由，得，
，
，
解得：，
的取值范围是；
（2）由，得，
，
，
解得：，
的取值范围是；
（3）由可得，
，
，
解得：，
，
的取值范围是，
，
，
．
【题六 由不等式组解集的情况求参数】
1.B
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，
∴，
故选：B．
2.A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
将不等式两边分别乘以再加4变形得到，
∴不等式的解必有一个整数解2，
整数的个数不可能是0，
故选：A．
3.
【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴解①得，，解②得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故答案为：．
4.解：（1）原不等式的解集为．
关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，
所以，
所以a的取值范围是．
（2）解不等式，
得，
所以．
解不等式，
得，
所以．
所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为．
因为原不等式组只有一个整数解，
所以由条件，得，
所以a的取值范围是．
【题七 不等式组和方程组结合的问题】
1.C
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论．
【详解】解：关于x，y的方程组为，
解得：，
因为，
所以，
解得：．
故选：C．
2.D
【分析】先利用加减消元法求出，即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④．
【详解】解：，
用得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为，
把代入，解得，
把代入，解得，
不符合题意，故①错误；
②当时，因为，得，
所以x，y的值互为相反数，故②正确；
∵，，
则，
∴，
∴，故③错误；
∵,
∴，
∵，
∴，
∴S的最大值为，故④正确；
故选：D．
3.
【分析】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域是解题的关键．作出 不等式组所对应的平面区域，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作出不等式组对应的平面区域，则，
由，
得，
即，
由，
得，
即，
设直线与轴的交点为，，
，
，
故答案为：．
4.（1）解：，
②①得：
∴
把代入①得：
∴解方程组为
（2）解：∵，
∴
解得：
∴的整数解是：1，2，3，4，5，6
【题八 列一元一次不等式组】
1.D
【分析】首先判断x的大致范围为3＜x＜4，然后再分两种情况讨论x的范围，①3＜x＜3.5，②3.5＜x＜4即可得到答案．
【详解】解：当x＝3时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×3+3＝18，当x＝4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×4+2×4+4＝24，
∴可得x的大致范围为3＜x＜4，
①3＜x＜3.5时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+3＝20，符合方程；
②当3.5＜x＜4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+4＝21，不符合方程．
故选：D．
2.A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：
，
由①得：
，
由②得：＞，
＞
＞，
所以不等式组的解集为：．
故选：A
3.
【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得．
【详解】设有间宿舍，则学生有人，
由题意得：，
故答案为：．
4.解：∵
∴或，
或.
【题九 一元一次不等式组的其他应用】
1.C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
故选：．
2.C
【分析】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解．
①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为”，列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出b的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答．
【详解】解：①，故①正确，符合题意；
②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出，
∴，故②不正确，不符合题意；
③根据题意可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴水不会溢出，故③正确，符合题意；
④由①可得：，
∴，
∴水一定会溢出，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，
故选：C．
3.70
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，，
解得，
当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示，
当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，
∴此时两动点都在上，
∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
故答案为：70．
4.（1）解：设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，由题意，得：
，
解得：，
∴不等式的非负整数解为：5，6，7，8；
∴共有4种方案：
方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器；
方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器；
方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器；
方案四：购进8台甲种机器.
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴有3种方案可以选择：
方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器，所需费用为：（元）；
方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器，所需费用为：（元）；
方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器，所需费用为：（元）；
∵，
∴应购进7台甲种机器，1台乙种机器．能既满足公司要求，又最节约资金．
【题十 一元一次不等式组的新定义问题】
1.D
【分析】根据题干中的定义求出（3x），再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案．
【详解】（3x）
只有两个整数解，
这两个解为2、1，
将x=1与x=0代入2x-1，
．
故选;D．
2.B
【分析】根据新运算的定义将不等式组变形成，解不等式组，找出其中的负数解即可；
【详解】解：由题意可知：
变形成，
解不等式组可知不等式组的解集为：
∴负整数解为：，，有2个，
故选：B
3.或2
【详解】解：∵，
∴，
则，
那么即，
整理得：，
当时，
，
则，
解得：，
∵x为整数，
∴；
当时，
，
则，
解得：，
∵x为整数，
∴；
综上，x的值是或2，
故答案为：或2．
4.（1）解：①，，

解得：
，．
②由①得：，

解得：
∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解，
，
．
（2）解：
，
∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，

解得：
，
∴该定值为．

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