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17.2《三角形的内角和》小节复习题
【题一 三角形内角和定理的证明】
1.如图，，则下列关系式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，若，，则：
①；
②；
③平分；
④；
⑤；
⑥，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥
3.如图，在 ABC中，AB=AD=DC=AE，，则
．
4.如图，把三角形的三边延长．
(1)（ ），这是一个（ ）角．
(2)在○里填上“”“”或“”．
○
(3)在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组．
【题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
1.如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（ ）时，两三角板的边

A． B． C． D．
2.如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3.如图，，，，则 ．
4.如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数；
(3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于；
①如图3，当为锐角时，求的度数；
②当为钝角时，请直接写出的度数．
【题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.如图，在 ABC中，平分，平分，平分 ABC的外角，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在 ABC中，是的平分线，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ．
4.如图，是 ABC的角平分线，E为上一点，于点F，已知，．
(1)如图①，若点E与点A重合，求的度数；
(2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数；
(3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由．
【题四 三角形折叠问题综合】
1.如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在直角三角形中，，点在边上，将 ABC沿折叠，点恰好落在边上的处．若，则 度．
4.新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处．
【观察猜想】
（1）如图①，若，则___________°；
若，则___________°；
若，则___________°；
【探索证明】
（2）利用图①，探索与的关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图②，把 ABC折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数．
【题五 根据三角形内角和定理求角度】
1.如图，将 ABC绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图， ABC中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在 ABC中，点D在上，．若，则的度数为 ．
34.如图，在 ABC中，比大，点D，E分别在上，连接，．
(1)求的度数；
(2)判断与之间的位置关系，并说明理由．
【题六 根据三角形内角和定理求角度】
1.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3.数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，且．则 ．
4.由组成的线段图如图所示，求的度数．
【题七 根据三角形内角和定理求角度】
1.在下列条件中，能确定 ABC是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，从A点发出的光线、经平面镜反射后得到反射光线、，、为法线，设，，，那么、、之间的数量关系是（提示：入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等）（ ）
A． B． C． D．
3.如图，，，、的五等分线分别交于点、、、，则 ．
4.如下图，在 ABC中，，是边上的高，平分，且．求和的度数．
【题八 根据三角形内角和定理求角度】
1.如图，将 ABC绕点逆时针旋转，旋转角为，得到 ADE，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC=∠ADB B．
C． D．
2.如图，将 AOB绕着点顺时针旋转得到，若，，，则旋转角度是（ ）

A． B． C． D．
3.如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．

4.如图，在 ABC中，，．将 ABC绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到 ADE，与相交于点，．当时，求的度数．
参考答案
【题一 三角形内角和定理的证明】
1.C
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点．延长交于点P、延长交于点Q，由知，根据得可判断A；由知，再根据得可判断B；由AB∥DE知根据可得，据此可判断C，从而得出答案．
【详解】解：如图，延长交于点P、延长交于点Q，
∵
∴
∵
∴，故A选项正确；
∵
∴
∵
∴故B选项正确；
∵，
∴
∵
∴，
∴故C选项错误，故D选项正确，；
故选：C．
2.B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
故⑤正确，
∵在中，，
又∵，，
∴，
故⑥正确，
∵在中，无法确定，
又∵，
∴无法确定，
∴无法确定平分，故③错误，
∵在中，无法确定，且，
∴无法确定，故④错误；
故选：B．
3.30
【分析】由，可知，由此可知，由可知，由可知，由此可得即可得出结论．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
4.（1）解：是邻补角，
，这个角是一个平角；
（2）解：，
，
三角形三个角之和是，
，即，
；
（3）解：结合（1）（2）得：．
【题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
1.B
【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：过点作，
，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
，
故选：B．
2.A
【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
3.
【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论
【详解】解：连接，如图，
，
设，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
，
∴
故答案为：
4.（1）解：，
，
，
，
，
，
，
在中，；
（2）解：设，
，
，
，
；
，
，
在中，，
，
．
（3）解：①如图3，设，则，
，
，
，
，
即①，
，
，
，
又，
即②，
由①，②解得：，
，．
②与①同理可得，．
【题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.C
【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
．
故选C．
2.C
【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据，，求出，再根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
是的平分线，
，
，是的外角，
．
故选：C．
3.
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键．
延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解．
【详解】如图，延长交于点，设与交于点．
、的平分线交于点，
，．
，，
①
，，
②
①－②，得，
．
，，
．
4.（1）解：∵，，，
，，
平分，
，
；
（2）解：因为，，
所以．
因为AD平分，
所以，
所以，
所以，
所以．
（3）解：的度数为定值．理由如下：
由（2）可知，
所以，
所以．
【题四 三角形折叠问题综合】
1.C
【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
2.D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论．
【详解】解：如图，设交于．
由折叠得：，
，，
∠A=a，，，
，
故选：D
3.60
【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应角相等，并结合三角形内角和求出相关角度．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由折叠的性质得出与的关系，进而求出，最后在中求出，根据折的性质可知与相等．
【详解】解：在中，，
，
∵ ABC沿折叠，点恰好落在AB边上的处，
，
，
，
由折叠的性质可知，
故答案为：60．
4.解：（1）点沿折叠落在点的位置，
∴，，
∴，．
在 ADE中，，
，
整理，得．
同理可得：若，则．
若，则．
（2）．理由：
∵，是 ADE的两个外角，
∴，，
，
，即．
（3），
由（2），得，
．
平分，平分，
，
．
【题五 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】该题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转得到，，结合得到，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：将 ABC绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
．
故选：C．
2.C
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，可求得度数，然后由即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴ ，
∵是边上的高线，
∴，
∴，
∴．
故选： C．
3.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形外角和定理求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
4.（1）解：设，则．
在 ABC中，因为，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）解：．
理由：因为，
所以，
所以．
【题六 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】本题主要考查了角的和差、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
由角的和差可得，再根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：如图，，，，
，
．
故选C．
2.C
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出；
【详解】解：和分别是 ABC的内角平分线和外角平分线，
∴，，
∵，
∴①，②，
②得：，
∴③，
由①和③得：，
∵，
∴，
同理：， ，……，
∴，
∴，
故选：C；
3.
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点F，根据平行线的性质得出的度数，根据邻补角互补求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.解：如图：
由三角形外角可得：，，
，
，
【题七 根据三角形内角和定理求角度】
1.C
【分析】本题主要考查了三角形内角和，直角三角形的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形定理以及直角三角形的概念判断即可．
【详解】解：，
，得到，即，不能确定 ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
，，不能确定 ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
，能确定 ABC是直角三角形，故选项C符合题意；
不能确定 ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选C．
2.B
【分析】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律，熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系．
根据光的反射定律，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】由题意可得，
．
，
即，
，
．
故选：B．
3.
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据题意，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：、的五等分线分别交于点、、、，
，．
，
，
．
故答案为：．
4.解：，
，
．
平分，
，
．
【题八 根据三角形内角和定理求角度】
1.B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是 ABC的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将 ABC绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，
∴，，，
∵点旋转后的对应点恰好在直线上，
∴∠ABC=∠ADB，故选项正确；
∵是 ABC的外角，
∴，
∴，故选项不正确；
∵为旋转角，
∴，故选项正确；
∵，，
∴，故选项正确；
故选：．
2.B
【分析】根据旋转的性质可得，结合三角形的内角和定理可得，即可求解．
【详解】解：∵ AOB绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴旋转角为，
故选：B．
3.25或65
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：过点E作，延长，如图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设运动时间为t，则，，
当点P在点B的左侧时，如图所示：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点P在点B的右侧时，如图所示：

此时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒．
故答案为：25或65．
4.解：在 ABC中，，，
，
由旋转得，，，
，
，
，
，
，
，
．

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