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四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试题
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，且，则的值为
A.， B.， C.， D.，
2.下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为
A. B. C. D.
3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则
A. B. C. D.
4.的三个顶点的坐标分别为，，，则
A.角为直角 B.角为锐角 C.角为钝角 D.角为钝角
5.已知，则的值为
A. B. C. D.
6.某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6
用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为
A. B. C. D.
7.在中，，，且，，则的值为
A.2 B.3 C. D.
8.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列计算结果正确的是
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是
A.当时，函数的图象的一个对称中心为
B.当时，函数的图象的一条对称轴方程为
C.若函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围为
D.将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为4
11.下列命题为假命题的是
A.若函数的定义域为，且满足，当时，，则
B.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为
C.在中，若，则角的最大值为
D.在中，若，，直线与交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，且，则实数________.
13.已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里.
14.函数的值域为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
（1）已知向量，，若，求实数的值；
（2）已知向量，满足，求与的夹角的大小.
16.（15分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.
17.（15分）
已知矩形.
（1）如图1，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值；
（2）如图2，矩形是半径为1，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值.
18.（17分）
在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，求角；
（2）若，，求边的中线的长；
（3）若角的内角平分线的长为2，求的最小值.
19.（17分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数在区间上的值域；
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试题解答
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，且，则的值为
A.， B.， C.， D.，
解：，
故答案为：A
2.下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为
A. B. C. D.
解：由偶函数可舍AC，又最小正周期为2，可舍D，故答案为：B
3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则
A. B. C. D.
解：函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，故答案为：D
4.的三个顶点的坐标分别为，，，则
A.角为直角 B.角为锐角 C.角为钝角 D.角为钝角
解：因为，，，所以，
而，舍AB，C正确
故答案为：C
5.已知，则的值为
A. B. C. D.
解：
故答案为：C
6.某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6
用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为
A. B. C. D.
解：由函数模型知，，
由两个最大值对应的时间为一个最小正周期，所以，所以，即，
当时，，该同学在第25秒时距地面的高度约为
答案为：A
7.在中，，，且，，则的值为
A.2 B.3 C. D.
解(极化恒等式)：点为的重心，点为的中心，由极化恒等式得，而，，所以
故选D
8.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
解：在恒成立在恒成立，
，
由于时，，结合图像得，
当时，，
当时，，
所以，实数的取值范围为
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列计算结果正确的是
A. B.
C. D.
解：，A正确
，B错误
，C正确
，错误
故选：AC
10.已知函数，则下列结论正确的是
A.当时，函数的图象的一个对称中心为
B.当时，函数的图象的一条对称轴方程为
C.若函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围为
D.将函数的图象向右平移个单位所得图象关于轴对称且在区间上为单调函数，则的值为4
解：对于A：，错误；
对于B：，正确；
对于C：，，结合图像得，，解得，正确
对于D：将函数的图象向右平移个单位所得函数，
法一：又为偶函数，所以，即①
由于在区间上为单调函数，所以②
当时，，所以③
由①②③得，正确
法二：又为偶函数，所以，即，
当时，，此时，当时，，符合题意，正确【此解法没有回答是否唯一，所以解法错误】
11.下列命题为假命题的是
A.若函数的定义域为，且满足，当时，，则
B.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的取值范围为
C.在中，若，则角的最大值为
D.在中，若，，直线与交于点，则
解：对于A：是周期为的周期数列；
又当时，，所以，由知，，错误
对于B：由于，所以
由正弦定理得，，所以，所以的面积
，
由于为锐角形，所以，所以，解得，结合，所以，所以，
所以的最大值为，最小值(取不到)，
的面积的取值范围为，正确
对于C：法一：，
，且
，结合正切函数在的单调性得，，错误
法二：结合正、余弦定理，，
由余弦定理得，，
结合余弦函数在的单调性知，，错误
对于D：如图，
解：设，由爪子定理得，，
即，由共线得，，解得，所以，从而，，错误
答案为：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，且，则实数________.
解：因为，由爪子定理得，所以，
答案为：
13.已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里.
解：如图
设，易知
由余弦定理得，，即，解得，
故答案为：
14.函数的值域为________.
解：
，
令，则，
结合图像得，当时，；当时，；
所以函数的值域为，故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
（1）已知向量，，若，求实数的值；
（2）已知向量，满足，求与的夹角的大小.
解：(1)则又，故
，，解得
(2)由，平方得：，
代入，得：
又，故
，因此
16.（15分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.
解：(1)
故函数的单调递增区间为
(2)
又
由余弦定理得
的面积
故的面积为
17.（15分）
已知矩形.
（1）如图1，若，，点为线段的中点，记，，请用，表示，，并求向量与的夹角的余弦值；
（2）如图2，矩形是半径为1，圆心角为的扇形的内接矩形，点，在半径上，设，求当矩形的面积最大时的值.
解：(1)，，
又，，，，故向量与的夹角的余弦值为
(2)在中，，，
在中，，，
矩形的面积
，
由得，，所以当时，矩形的面积最大，最大值为
18.（17分）
在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，求角；
（2）若，，求边的中线的长；
（3）若角的内角平分线的长为2，求的最小值.
解：(1)因为，由正弦定理可得：
而由余弦定理可得：
所以又因为所以
又因为由正弦定理可得，
所以，
又因为可得，又因为可得
所以
(2)因为
由余弦定理可得：
整理可得：，解得或（舍），
又因为，由正弦定理可得，所以
又因为为中线，所以
两边平方可得
所以即的长度为
(3)因为角的内角平分线的长为
因为，即
所以所以
所以
当且仅当，即．即时取等号，
所以的最小值为
19.（17分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数在区间上的值域；
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
解： (1)当时，
故当时，函数的最小值为
(2)当时，
令
故函数在区间上的值域为
(3)
整理得
令得
故当时，恒成立，
又
当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为

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