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河北承德市高新区第一中学
2024--2025学年第二学期期中考试高一数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
2.已知点，，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.在中，已知，判断的形状（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
4.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
7.已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 在中，若，则是的中点
B. 已知，，是平面内任意三点，则
C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线
D. 若，则为的外心
10.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角C为钝角 B.
C. D. 的最小值为
11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A. 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.＝________.
13.函数f(x)＝sin xcos x－ln |x|的零点个数为________．
14.已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）已知是同一平面内的两个向量，其中 且
（1）若求的坐标；
（2）若求与的夹角.
16.(本小题15分）已知向量，．
（1）若，，求的值；
（2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）．
17.(本小题15分）已知．
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求的单调增区间；
（3）当时，求函数的最大值和最小值．
18.(本小题17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
（3）若的外接圆的半径为，求的取值范围．
19.(本小题17分）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2.
（1）求的最小值；
（2）证明：为定值，并求出该定值；
（3）设的面积为，求的最小值.
参考答案：
1.【答案】A
【解析】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，根据函数图象平移中，“左加右减”法则，得到的曲线的解析式为，对应选项A.
2.【答案】A
【解析】已知点，，且.
设点坐标为，则，.
由可得.
从而，，解得，，故点坐标为.
3.【答案】D
【解析】由正弦定理(为外接圆的半径)，得，,则由，得，即，即，
所以.因为,是三角形内角，所以，即，所以为等腰三角形.对应选项D.
4.【答案】D
【解析】由题意因为，为线段的中点，则
．
5.【答案】A
【解析】由，可得.
根据二倍角公式，.又.
6.【答案】C
【解析】当时，，当时，，
因为函数在上存在最值，所以，解得，
因为函数在上单调，所有，
所以其中，所以，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．
又因为，所以的取值范围是.
7.【答案】B
【解析】由，代入可得：
，则.
又，所以，此时.
图象向右平移个单位得到.
因为的图象关于直线对称：
对于，其对称轴满足，则.化简得.令，，解得.
8.【答案】C
【解析】在中，因为，所以，，
所以，
即，因为，所以，
因为三点共线，所以，解得，
所以，而，
所以，又，，，
则.
9.【答案】ABC
【解析】在中，若，则是的中点，故A正确；
由三角形法则可知，，故B正确；
由可得，，
所以，则，，三点共线，故C正确；
若，则，由平面向量的平行四边形法则可知，
当为中点时，有，所以，
所以为的重心，故D错误.
10.【答案】ABC
【解析】对于A选项，因为，，
所以，即，
所以，又因为，所以必为钝角，故A正确；
对于B选项，由余弦定理知，，化简得，故B正确；
对于C选项，因为，
所以，故C正确；
对于D选项，因为，
所以，
因为是钝角，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故D错误.
11.【答案】ABD
【解析】设点P距离水面的的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为，由题意，
解得，则，当t=0时，h=0，
故D正确。
令得t=20秒，故A正确；
当t=155秒时，米，故B正确，
令解得，故有30秒的时间，点P距水面2米，故C错误。
12.【答案】
【解析】＝
＝＝＝sin 30°＝.
13.【答案】2
【解析】因为f(x)＝sin xcos x－ln |x|＝sin 2x－ln |x|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝ln |x|图象的交点的个数，如图所示，由图知，零点的个数为2.
14.【答案】1
【解析】过点作⊥于点，
因为，故，故为的中点，
故，
以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，
解得，
故，
设，，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
15.【答案】解：（1）设，因为，所以，因为，所以，联立，
解得或，
所以或.
（2）由题，
因为，所以，
即，
所以，即，
所以.
又，所以.
16.【答案】解：（1）由，可得，
整理得，即，
因为，所以，所以，
则．
因为的对称中心是，所以令，，解得，．
所以图像对称中心坐标是，，
令，可得的图像的一个对称中心坐标是，
所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像．
17.【答案】解：（1）最小正周期，
对称轴为，
所以，
所以对称轴方程为.
（2）单调增区间为：，
所以，
所以的单调增区间为.
（3）当时，，
所以，所以，
当，即时取得最大值，
当，即时取得最小值，
所以当时，函数的最大值为，最小值为.
18.【答案】解：（1）因为，所以
可得，
由正弦定理(为外接圆的半径)，得，因为，所以，
且，所以.
（2）因为是的角平分线，所以，
因为，
则，
即，整理得，则．
（3）因为，且，所以,
由正弦定理可得，
则，，
则，
又因为，所以，即，
故的取值范围为.
19.【答案】(1)解：设，.
在中，根据三角函数关系可得，.
已知的周长为，即，提取公因式可得，所以.
根据辅助角公式（这里，，），进一步得到.
因为，所以，则.
当，也就是时，取得最小值， .
(2)证明：设，，其中.
在正方形中，根据正切函数定义，，，那么，.
根据两点间距离公式，.
由于的周长为，则，整理可得.
等式两边同时平方并化简得到.
根据两角和的正切公式，可得.
因为，，所以，从而.
那么，为定值.
(3)解：过作于点.
由三角形面积公式，，因为，所以.
由前面可知，，则.
在和中，，，所以.
将化为，代入上式可得，即.
由(2)知，，代入可得，解得，即到的距离为定值.
又因为的最小值为，根据三角形面积公式，可得的最小值为.

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