资源简介

复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期
高二年级数学期中考试 A 卷
考生注意：
1. 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2. 本试卷分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，
在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，请在答题纸
相应编号的空格内直接写结果.
3
1. 直线 y x 1的倾斜角为_________.
3
2. 圆 x2 y2 500x 0 的圆心坐标为__________.

3. 已知向量n 366,a 为直线3x 8y 4 0 的一个法向量，则 a的值为_________.
x2 y2
4. 已知椭圆 : 1的左焦点为F ， A、 B为椭圆上两点，且直线 AB经过椭圆的右焦点，则△FAB的
4 2
周长为__________.
5. 在平面直角坐标系中，O为原点， P为曲线 x3 y3 8上一动点，则线段OP的中点轨迹方程为_________.
y2 x2
6. 双曲线 1的两条渐近线的夹角的余弦值为_________.
2 18
2 2
7. 已知 P x0 , y0 为圆 x 1 y 2 4 上一动点，则4x0 3y0 的最大值为_________.
x2 y2
8. 若椭圆 1的一条弦 AB的中点为M 2,1 ，则直线 AB的斜．截．式．方程为________. 20 4
9. 已知 P为抛物线 y2 4x上一点，点 P到直线 l1 : 4x 3y 6 0的距离为d1，点 P到直线 l2 : x 4 0 的距离为
d2 ，则 d1 d2 的最小值为________.
10. 若曲线 : x4 y4 x2 y2 3x2 3y2 0 上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为__________.
2
*11. 圆C : x2 y r r 2 r 0 与曲线 : y x3 有且仅有三个公共点，则 r 的取值范围是_________.
x2 y2
12．直线 l与双曲线 : 1 a 0,b 02 2 的左、右两支分别交于 A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别a b
交于C 、D两点（ A、C 、D、 B从左到右依次排列），若OA OB，且 AC , CD , DB 成等差数列，则双曲
线 的离心率的取值范围是___________.
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，第 13—14 题每题 4 分，第 15—16 题每题 5 分，每题有且只
有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
2
13. 圆C1 : x 1 y 1
2 2 24与圆C2 : x 2 y 3 25的位置关系为（ ）.
（A）外离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
第1页，共 4 页
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14. 已知直线 l1 : ax y 1 0 ，直线 l2 : x ay 2 0 ，则“ a 1”是“ l1∥l2 ”的（ ）条件.
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要
*15. 某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆 ，太阳的中心是 的一个焦点. 若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太
阳表面距离的最大值为 ，最小值为 ，太阳半径为 r ，则椭圆 的离心率为（ ）.
2r 2r
（A） （B） （C） （D）
2r 2r
16. 已知曲线 的对称中心为O，如果对于曲线 上的任意一点 A，都存在 上另外的两点B、C ，使得
△ABC 的垂心为O，则称 为“自垂曲线”. 现有如下两个命题：
① 任意双曲线都是“自垂曲线”； ② 任意椭圆都是“自垂曲线”.
则下列判断正确的是（ ）.
（A）①是真命题，②是真命题 （B）①是假命题，②是真命题
（C）①是真命题，②是假命题 （D）①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要
的步骤.
17. （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分.
已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线 : y2 2px的焦点为 F 1,0 ，A、B是抛物线 上两个不同
的点.
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 若直线 AB斜率为 1，且过点 F ，求线段 AB的长度；
*（3） 设直线OA、OB的斜率为 kOA、kOB ，若 kOA kOB 2，证明：直线 AB过定点，并求该定点的坐标.
第2页，共 4 页
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18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
x2 y2
如图所示， A1 、 A2 分别为椭圆 : 1的左、右顶点，直线 l的方程为 x 2y 4 0 . 过原点O作直 4 3
线 l的平行线与椭圆 交于M 、 N 两点.
（1） 求证：直线 l与椭圆 有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
（2） 记（1）中的公共点为 P，求证： P、M 、 A1 、 N 四个点在同一圆C
上，并求圆C 的一．般．方．程．.
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长 100 米、宽 60 米的长方形 ABCD及两个以长方形宽为直
径的半圆M 、半圆 N 拼接而成，整个操场关于中轴线OO 对称. 现有 P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上
值勤，并要求P、Q的距离尽可能远.
（1） P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
（2） 若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个
音箱（ R、 S两点在线段 AB上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时
P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过 0.2 秒（声音在空气
中的传播速度为 340 米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到 0.1 米）.
第3页，共 4 页
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20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P x, y 是角 终边上的点（异于原点），设 OP r，
将点 P绕O逆时针旋转 后得到 P x , y .
x xcos y sin ,
（1） 求证：
y xsin ycos .
3 1 π
（2） 已知曲线 1是函数 y x 的图像，曲线 绕原点O逆时针旋转 3 x 2 3
后得到 1，求 2 的标准方程；
（3）已知曲线 : x23 y
2 xy 3表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆 3 的长轴
上，满足 OQ 2 ，过点Q作直线 l1 交曲线 3 于点M 、N ，过原点O作直线 l2 与直线 l1 垂直，直线 l2 交曲线 3
6 3
于点G、H ，试判断： 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
MN 2OH
21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
在平面直角坐标系中，对于△ABC 及直线 l，记 dl A 、 dl B 、 dl C 分别表示 A、 B、C 到 l的距离，
2 2 2
且 Sl dl A dl B dl C . 对于给定的△ABC ，记 Sl 的最小值为m△ABC .
（1） 已知定点 A 0,0 ， B 3,0 ，C 2,2 ，直线 l的方程为 x 7 y 9 0，求 Sl 的值；
*（2） 已知 A xA , yA ， B xB , yB ，C xC , yC 为给定的不共线的三点，若直线 l0 使得 Sl m0 △ABC ，求证：
直线 l0 过△ABC 的重心；
*（3） 若对于△ABC ，满足 Sl m△ABC的不同直线 l至少有两条，试判断△ABC 的形状，并予以证明.
第4页，共 4 页
{#{QQABBQgAogCIABBAARhCQwUSCAAQkACCAQoOAEAQMAAAwBFABCA=}#}复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期
高二年级数学期中考试 B 卷
考生注意：
1. 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2. 本试卷分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，
在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，请在答题纸
相应编号的空格内直接写结果.
3
1. 直线 y x 1的倾斜角为_________.
3
2. 圆 x2 y2 500x 0 的圆心坐标为__________.

3. 已知向量n 366,a 为直线3x 8y 4 0 的一个法向量，则 a的值为_________.
x2 y2
4. 已知椭圆 : 1的左焦点为F ， A、 B为椭圆上两点，且直线 AB经过椭圆的右焦点，则△FAB的
4 2
周长为__________.
5. 在平面直角坐标系中，O为原点， P为曲线 x3 y3 8上一动点，则线段OP的中点轨迹方程为_________.
y2 x2
6. 双曲线 1的两条渐近线的夹角的余弦值为_________.
2 18
7. 已知 P x0 , y0
2 2为圆 x 1 y 2 4 上一动点，则4x0 3y0 的最大值为_________.
x2 y2
8. 若椭圆 1的一条弦 AB的中点为M 2,1 ，则直线 AB的斜．截．式．方程为_____________. 20 4
2
*9. 圆C : x2 y r r 2 r 0 与曲线 : y x2 有且仅有三个公共点，则 r的取值范围是_________.
10. 已知 P为抛物线 y2 4x上一点，点 P到直线 l1 : 4x 3y 6 0的距离为 d1，点 P到直线 l2 : x 4 0 的距离
为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为________.
11. 若曲线 : x4 y4 x2 y2 3x2 3y2 0 上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为__________.
x2 y2
12．直线 l与双曲线 : 1 a 0,b 0 的左、右两支分别交于 A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别
a2 b2
交于C 、D两点（ A、C 、D、 B从左到右依次排列），若OA OB，且 AC , CD , DB 成等差数列，则双曲
线 的离心率的取值范围是___________.
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 题，第 13—14 题每题 4 分，第 15—16 题每题 5 分，每题有且只
有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.
2
13. 圆C1 : x 1
2 2 2y 1 4与圆C2 : x 2 y 3 25的位置关系为（ ）.
（A）外离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
第1页，共 4 页
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
14. 已知直线 l1 : ax y 1 0 ，直线 l2 : x ay 2 0 ，则“ a 1”是“ l1∥l2 ”的（ ）条件.
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要
*15. 某颗卫星的运行轨道可以看作是以地球的地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若椭圆近地点、远地
2 32
点（距离地心最近、最远的点）离地面的距离分别是 R、 R，则该运行轨道的离心率为（ ）.
3 3
3 5 15 31
（A） （B） （C） （D）
4 6 17 39
16. 已知曲线 的对称中心为O，如果对于曲线 上的任意一点 A，都存在 上另外的两点B、C ，使得
△ABC 的垂心为O，则称 为“自垂曲线”. 现有如下两个命题：
① 任意双曲线都是“自垂曲线”； ② 任意椭圆都是“自垂曲线”.
则下列判断正确的是（ ）.
（A）①是真命题，②是真命题 （B）①是假命题，②是真命题
（C）①是真命题，②是假命题 （D）①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要
的步骤.
17. （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分.
已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线 : y2 2px的焦点为 F 1,0 ，A、B是抛物线 上两个不同
的点.
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 若直线 AB斜率为 1，且过点 F ，求线段 AB的长度；
*（3） 若直线 AB过点 2,0 ，求 A、 B的横坐标之积.
第2页，共 4 页
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
x2 y2
如图所示， A1 、 A2 分别为椭圆 : 1的左、右顶点，直线 l的方程为 x 2y 4 0 . 过原点O作直 4 3
线 l的平行线与椭圆 交于M 、 N 两点.
（1） 求证：直线 l与椭圆 有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
（2） 记（1）中的公共点为 P，求证：P、M 、 A1 、N 四个点在同一圆上，
并求该圆的一．般．方．程．.
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长 100 米、宽 60 米的长方形 ABCD及两个以长方形宽为直
径的半圆M 、半圆 N 拼接而成，整个操场关于中轴线OO 对称. 现有 P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上
值勤，并要求P、Q的距离尽可能远.
（1） P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
（2） 若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个
音箱（ R、 S两点在线段 AB上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时
P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过 0.2 秒（声音在空气
中的传播速度为 340 米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到 0.1 米）.
第3页，共 4 页
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
20. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
在平面直角坐标系中，对于△ABC 及直线 l，记 dl A 、 dl B 、 dl C 分别表示 A、 B、C 到 l的距离，
2 2 2
且 Sl dl A dl B dl C . 对于给定的△ABC ，记 Sl 的最小值为m△ABC .
（1） 已知定点 A 0,0 ， B 3,0 ，C 2,2 ，直线 l的方程为 x 7 y 9 0，求 Sl 的值；
*（2） 已知定点 A 2, 2 ， B 2, 2 ，C 0,2 ，直线 l过原点O，求此时 Sl 的取值范围；
*（3） 已知定点 A 2, 2 ，B 2, 2 ，C 3,1 ，若直线 l0 使得 Sl m△ABC ，求证：直线 l0 过△ABC 的重0
心.
21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P x, y 是角 终边上的点（异于原点），设 OP r，
将点 P绕O逆时针旋转 后得到 P x , y .
x xcos y sin ,
（1） 求证：
y xsin ycos .
3 1 π （2） 已知曲线 1是函数 y x 的图像，曲线 2 绕原点O逆时针旋转 3 x 3
后得到 1，求 2 的标准方程；
（3）已知曲线 : x2 y23 xy 3表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆 3 的长轴
上，满足 OQ 2 ，过点Q作直线 l1 交曲线 3 于点M 、N ，过原点O作直线 l2 与直线 l1 垂直，直线 l2 交曲线 3
6 3
于点G、H ，试判断： 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
MN 2OH
第4页，共 4 页
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期
高二年级数学期中考试 A 卷参考答案
一、填空题
以下每题 4 分
4
1. 2. 250,0 3. 976 4. 8 5. x3 y3 1 6.
6 5
以下每题 5 分
2 9 2 4 3
7. 8 8. y x 9. 5 10. 2 *11. , 12. 10, 5 5 3
二、选择题
以下每题 4 分
13. C 14. A
*15. A 16. B
三、解答题
17. （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分.
p
（1）则 1，即 p 2， 2 分 所以抛物线为 y2 4x . 4 分
2
y2 4x,
（2）此时 l的方程为 l : y x 1，联立抛物线 和直线 l的方程： 得 x2 6x 1 0 . 2 分
y x 1

32 0，设 A xA , yA 、 B xB , yB ，则由 Vieta 定理的 xA xB 4 2 ，那么由弦长公式得 1
AB 2 xA xB 8 . 4 分
（*3）由题意可知 AB所在直线斜率不为 0， AB所在直线方程为 x my n .
y2 4x,
联立抛物线 和直线 AB的方程： ，化简可得： y2 4my 4n 0， 2 分
x my n
则Δ 16m2 16n 0 . 由 Vieta 定理可得 yAyB 4n， 3 分
yA yB yA yB 16 16又由已知 kOA kOB 2 ，则 n 2 . x x y2A B A y
2
B y1 y2 4n
16
此时直线 AB : x my 2恒过点 2,0 . 6 分
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
3x2 4y2 12,
（1）联立 与 l的方程 得 4x2 8x 4 0 ，该方程仅有一解 x 1 . 4 分
x 2y 4 0,
3
故 与 l P 1, 有且仅有一个公共点 . 6 分
2
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
1
（2）依题意，直线MN 的方程为 y x，联立椭圆3x2 4y2 12 可得 x2 3，即 x 3 ，于是
2
3 3
M
33,
2
， N 3, ， P 1, ， A1 2,0 . 2 分
2 2
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，代入 A1 、 P、M ，可得：
113 3 D D E F 0 8
4 2
1
4 2D F 0 ，解得 E ， 4 分
4
15 3 3D E F 0 15
4 2 F 4
1 1 15 1 1 15
解得D ， E ， F ，此时圆方程为 x2 y2 x y 0 ， 6 分
8 4 4 8 4 4
3 3 3 3 15
将点 N 3, 代入上述方程，得3 0 ，所以点 N 也在此圆上，故 P、M ，A1 ，N 四点
2 4 8 8 4
共圆. 8 分
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
（1）由题意可得
PQ PM MN NQ 30 100 30 160 ， 2 分
当 P、M 、 N 、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大 4
分
此时 P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为 160 米. 6 分
（2）如图所示，以CD所在的直线为 x轴，以中轴线O1O2 为 y轴建立平
面直角坐标系. 则 A 80, 30 ， B 80, 30 . 2 分
根据题意可得 AC BC 0.2 340 68 ，则 A、B两点在以C 、
D为焦点的双曲线上，2a 68，即 a 34 . 4 分
x2 y2 6400 900
设双曲线方程为 1，则 1，
a2 b2 342 b2
解得b2 198.40 ， 6 分
所以 c2 a2 b2 1354.40 ，即 c 36.8 . 因此音箱距中轴线距离约为36.8 时为最佳放置点. 8 分
20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
（1）经过逆时针旋转 到 P 后，角 终边与OP 重合，所以
x r cos r cos cos r sin sin xcos y sin ，
y r sin r sin cos r cos sin y cos xsin ，
得证. 4 分
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π 3 1（2）设曲线 2 上一点为 P x, y ，逆时针旋转 后的点 P x , y 在 y x 的图像上，由（1）知： 3 3 x
1 3 1 3x x y， y y x， 2 分
2 2 2 2
3 1 3
1 3 1
代入 y x 得 3 y x
x y ， 4 分
x 2 2 2 2 1 3x y
2 2
x2 3y2
即化简即得曲线 2 的方程为 1 . 6 分
2 3 2
x2 y2
（3）设长轴在 x轴上的椭圆 4 : 1一点为 P x, y ，逆时针旋转 0 π 得到点 P x , y 在 3 的图a2 b2
像上，由（1）知 x xcos ysin ， y ycos xsin ，满足 x 2 y 2 x y 3，于是得
1 sin cos x2 1 sin cos y2 xy sin2 cos2 3 .
sin cos 0 π x2 y2
因此 ，由此得 ， 4 : 1 . 2 分
sin2 cos2 4 6 2
方法一：点Q旋转后的坐标为 2,0 .
2 6 6 3
当直线 l1 旋转后斜率不存时，MN ，OH 6 , 2 3 分 3 MN 2OH
当直线 l1 旋转后斜率存在时，设直线 l1 旋转后为 x my 2，直线 l2 旋转后为
y mx，旋转后M x1, y2 ， N x2 , y2 ，H x3 , y3 .
x2 3y2 x my 2,
与椭圆方程 1联立，即 ，可得 m2 3 y2 4my 2 0， 4 分
2 2 x2 3y
2 6
则由 Vieta 定理得
4m 2 2 6 1 m2
y y ， y y ， MN 1 m2

1 2 1 2 y 2 2 1
y2 ， 6 分
m 3 m 3 m2 3
6 6m2 2 6 6m2
将 y mx代入椭圆方程 x2 3y2 6 中，有 x2 ， y2 ， OH x23 y
2 ，则
1 3m2 3 1 3m2 3 3 1 3m2
2
6 3 m 3 3m2 1
2 . 8 分
MN 2OH 2 m2 1 2 m2 1
方法二：Q 2, 2 ，当MN 斜率不存在时，直线MN 方程为 x 2 ，则此时 yM 、 yN 满足 y2 2y 1 0，
6 3
于是 MN yM yN 6 ，H 3,0 ，此时 2 . 2 分 MN 2OH
6 3
当MN 斜率为 0 时，直线MN 方程为 y 2 ，此时同理得 2 ；3 分
MN 2OH
1
当MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 l1 : y 2 k x 2 ， l2 : y x . k
3k 2 2 3 k 2 12 M x1, y2 ，N x2 , y2 ，联立 l2 与 3 得 x3 ，故 OH . 5 分 k 2 k 1 k 2 k 1
y 2 k x 2 ,
则联立 l1 椭圆 : x
2 y23 xy 3联立得 有
x2 2 y xy 3.
2 2 2 2k k 1 x 2 3k 2k 1 x 2 1 k 3 0 ，
6 1 k 2 6 3 k 2 k 1 k 2 k 1
则 MN 1 k 2 x2 x1 7 分，故 2 . 8 分 k 2 k 1 MN 2 k 2OH 1 k 2 1
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
1 0 7 0 9
（1） dl
9
A ， 2 分
12 72 50
1 3 7 0 9 12 1 2 7 2 9
2 2 2
25 9 12 25 dl B ，dl C ，故 S2 2 2 2 △ABC l 17 . 4 分 1 7 50 1 7 50 50 50 50
（2）设 A xA , yA ， B xB , yB ，C xC , yC ，直线 l : ax by c 0，对任意固定的 a、b，要使得
1
S△ABC—l axA byA
2 2
c axB byB c axC byC
2
c 2 分 a2 b2
1
2 3c 2
2 2 2
axA axB axC byA byB byC c axA byA axB by B axC byC , a2 b2
a x x x b y y y
最小，那么由二次函数的性质可得， c A B c A B c ， 4 分
3 3
此时直线方程为
x x x y y y
l : ax by c a A B c A B c x b y 0 ，
3 3
过△ABC 的重心，因此 l 过△ABC 的重心. 6 分
（3）由（2）知， S△ABC—l取最小值时， l过△ABC 的重心. 不失一般性，不妨设
A xA , h ， B xB , h ，C xA xB ,2h ，
其中 h 0，此时 l的方程为 sin x cos y 0 ，这里 表示直线 l的倾斜角，0 π . 此时
2 2 2
S△ABC l xA sin hcos xB sin hcos xA xB sin 2hcos
3h2 x2 x2 x x 3h x x sin 2 2 2 2A B A B A B 3h xA xB xAxB cos2 ，
此时 S△ABC l 为关于 的函数、定义域域为 0,π 的函数. 3 分
令 3h xA xB ， 3h2 x2 x2A B x x ， 3h2 x2A B A x2B xAxB，则
S 2 2△ABC l sin 2 .
若 0 或 0，那么函数 S△ABC l 在 0, π 上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有
两条直线满足条件矛盾. 6 分
3h xA xB 0,
因此必须有 0 且 0，即 ，由 h 0得 xA x 3h . 2 2 2 B
3h xA xB xAxB 0.
由此不难通过几何关系得到△ABC 为等边三角形. 8 分
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}复旦大学附属中学 2024—2025 学年第二学期
高二年级数学期中考试 B 卷参考答案
一、填空题
以下每题 4 分
4 4
1. 2. 2 3. 4. 8 5. x3 y3 1 6.
6 5 5
以下每题 5 分
2 9 1
7. 8 8. y x *9. , 10. 5 11. 2 12. 10, 5 5 2
二、选择题
以下每题 4 分
13. C 14. A
*15. A 16. B
三、解答题
17. （本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 6 分.
p
（1）则 1，即 p 2， 2 分
2
所以抛物线为 y2 4x . 4 分
y2 4x,
（2）此时 l的方程为 l : y x 1，联立抛物线 和直线 l的方程： 2 得 x 6x 1 0 . 2 分
y x 1

32 0，设 A xA , yA 、 B xB , yB ，则由 Vieta 定理的 xA xB 4 2 ，那么由弦长公式得 1
AB 2 xA xB 8 . 4 分
（*3）由题意可知 AB所在直线斜率不为 0， AB所在直线方程为 x my 2 .
y2 4x,
联立抛物线 和直线 AB的方程： ，化简可得： y2 4my 8 0 ， 2 分
x my 2
2 y
2 2
则Δ 16m 32 0 .由 Vieta 定理可得 y y 8，因此 x x A
yB
A B A B 4 . 4 分 4 4
因此 A、 B的横坐标之积为一定值，该定值为 4. 6 分
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
3x2 4y2 12,
（1）联立 与 l的方程 得 4x2 8x 4 0 ，该方程仅有一解 x 1 . 4 分
x 2y 4 0,
3
故 与 l有且仅有一个公共点P 1, . 6 分
2
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
1
（2）依题意，直线MN 的方程为 y x，联立椭圆3x2 4y2 12 可得 x2 3，即 x 3 ，于是
2
3 3
M
3
3, ， N 3, ， P

2 2
1, ， A2 1
2,0 . 2 分

设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，代入 A1 、 P、M ，可得：
113 3 D
D E F 0 8
4 2 1
4 2D F

0 ，解得 E ， 4 分
4
15 3 3D E F 0 15
4 2 F 4
1 1 15 1 1 15
解得D ， E ， F ，此时圆方程为 x2 y2 x y 0 ， 6 分
8 4 4 8 4 4
3 3 3 3 15
将点 N 3, 代入上述方程，得3 0 ，所以点 N 也在此圆上，故 P、M ，A ，N 四点
2 4 8 8 4
1
共圆. 8 分
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
（1）由题意可得
PQ PM MN NQ 30 100 30 160 ， 2 分
当 P、M 、 N 、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大 4 分
此时 P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为 160 米. 6 分
（2）如图所示，以CD所在的直线为 x轴，以中轴线O1O2 为 y轴建立平
面直角坐标系. 则 A 80, 30 ， B 80, 30 . 2 分
根据题意可得 AC BC 0.2 340 68 ，则 A、B两点在以C 、
D为焦点的双曲线上，2a 68，即 a 34 . 4 分
x2 y2 6400 900
设双曲线方程为 1，则 1，
a2 b2 342 b2
解得b2 198.40 ， 6 分
所以 c2 a2 b2 1354.40 ，即 c 36.8 . 因此音箱距中轴线距离约为36.8 时为最佳放置点. 8 分
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
1 0 7 0 9 9
（1） dl A ， 2 分
12 72 50
1 3 7 0 9 12 1 2 7 2 9
2 2 2
25 9 12 25 dl B ，dl C ，故 S△ABC l 17 . 4 分
12 72 50 12 72 50 50 50 50
（2）若 l斜率不存在，则 S△ABC—l 8 . 2 分
若 l斜率存在，设 l : kx y 0 ，此时
1 8k 2 12 4
S△ABC—l
2 2
k 2 1
2k 2 2k 2 4 8 8,12 . k 2 1 k 2 1
综上所述， S△ABC—l的取值范围为 8,12 . 6 分
（3）△ABC 的重心坐标为G 1, 1 . 1 分
2
若 l斜率不存在，设 l : x t，则 S△ABC—l t 2 t
2
2 t 3 2 3t 2 6t 17 14 ，当且仅当 t 1时取
到等号，此时 l过点G . 3 分
若 l斜率存在，设 l : kx y b 0，那么
1
S △ABC—l 2 2k 2 b
2 2k 2 b 2 23k 1 b 5 分 k 1
1 2 2 1 2 3b 6k 6 b 17k 6k 9 3 b k 1 14k
2 12k 6 ，
k 2 1 k 2 1
对任意的正整数 k ，当b k 1时取得最小值，因此 S△ABC—l取最小值时，直线 l : kx y k 1 0， 7 分
即 l : k x 1 y 1 0 ，也过点G . 8 分
综上所述，命题得证.
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
（1）经过逆时针旋转 到 P 后，角 终边与OP 重合，所以
x r cos r cos cos r sin sin xcos y sin ，
y r sin r sin cos r cos sin y cos xsin ，
得证. 4 分
π 3 1
（2）设曲线 2 上一点为 P x, y ，逆时针旋转 后的点 P x , y 在 y x 的图像上，由（1）知： 3 3 x
1 3 1 3x x y， y y x， 2 分
2 2 2 2

代入 y
3 1 3 1 3 1
x 得 3 y x x y ， 4 分 x 2 2 2 2 1 3x y
2 2
x2 3y2
即化简即得曲线 2 的方程为 1 . 6 分
2 3 2
{#{QQABBQgh4gCYgBRACJ6KQwVCCQsQkJATLYoOQVASKAwKAQFABCA=}#}
x2 y2
（3）设长轴在 x轴上的椭圆 4 : 1一点为 P x, y ，逆时针旋转 2 2 0 π 得到点 P x , y 在 a b 3 的图
像上，由（1）知 x xcos ysin ， y ycos xsin ，满足 x 2 y 2 x y 3，于是得
1 sin cos x2 1 sin cos y2 xy sin2 cos2 3 .
sin cos 0 π 2 2
因此 ，由此得 ，
x y
4 : 1 . 2 分
sin
2 cos2 4 6 2
方法一：点Q旋转后的坐标为 2,0 .
2 6 6 3
当直线 l1 旋转后斜率不存时，MN ，OH 6 , 2 3 分 3 MN 2OH
当直线 l1 旋转后斜率存在时，设直线 l1 旋转后为 x my 2，直线 l2 旋转后为
y mx，旋转后M x1, y2 ， N x2 , y2 ，H x3 , y3 .
x2 3y2 x my 2,
与椭圆方程 1联立，即 ，可得 m2 3 y2 4my 2 0， 4 分
2 2 x
2 3y2 6
则由 Vieta 定理得
4m 2 2 6 1 m22 y1 y2 ， y1y2 ， MN 1 m y1 y2 ， 6 分 m2 3 m2 3 m2 3
6 6m2 2
2
6 6m
将 y mx代入椭圆方程 x2 3y2 6 中，有 x2 23 ， y3 ， OH x
2 2
3 y3 ，则 1 3m2 1 3m2 1 3m2
m26 3 3 3m2 1
2 . 8 分
MN 2OH 2 m2 1 2 m2 1
方法二：Q 2, 2 ，当MN 斜率不存在时，直线MN 方程为 x 2 ，则此时 y 、 y 2M N 满足 y 2y 1 0，
6 3
于是 MN yM yN 6 ，H 3,0 ，此时 2 . 2 分 MN 2OH
6 3
当MN 斜率为 0 时，直线MN 方程为 y 2 ，此时同理得 2 ；3 分
MN 2OH
1
当MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 l1 : y 2 k x 2 ， l2 : y x . k
2 3 k 2 1
M x1, y2
3k 2
，N x2 , y2 ，联立 l2 与 3 得 x23 ，故 OH . 5 分 k 2 k 1 k 2 k 1
y 2 k x 2 ,
则联立 l1 椭圆 3 : x
2 y2 xy 3联立得 有
2 2 x y xy 3.
k 2 k 1 x2 2 3k 2k 2 1 x 2 21 k 3 0 ，
6 1 k 2 6 3 k 2 2 k 1 k
2 k 1
则 MN 1 k x2 x1 7 分，故 2 . 8 分 k 2 k 1 MN 2OH k 2 1 k 2 1
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