资源简介

2024——2025学年高二下学期期中考试
数学试卷
考试范围：选择性必修一、二、三 命题人：王一森 时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每题所给出的4个选项中有且只有一个是符合题意的。
1．已知数列{an}满足，则是它的（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．设A，B为两个事件，若，，则P（A|B）等于（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x
4．已知随机变量，若E（X）＝2，则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10为方程x2+2025x+3＝0的两根，则a8＝（　　）
A． B． C． D．
6．某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩X1～N（μ1，），X2～N（μ2，），其中μ1＜μ2，σ1＞σ2，在同一直角坐标系中，X1，X2密度曲线的两个交点的横坐标为x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
A．P（X1＜μ1）＜P（X2＜μ2） B．P（X1＜x2）＞P（X2＜x2）
C．P（X1＜x1）＞P（X2＜x1） D．P（X1＜μ2）＜P（X2＜μ1）
7．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A．有90%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a8+a9＞0，a9＜0，则下列结论不正确的是（　　）
A．d＜0
B．当n＝8时，Sn取得最大值
C．a2+a5+a12＞0
D．使得Sn＞0成立的最大自然数n是15
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每题所给出的4个选项中都有不止一个选项是符合题意的，都选对得全分，部分选对得部分分，有错选不得分。
9．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（　　）
A．线性回归方程至少经过点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1
C．若设直线回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加2个单位
D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4．
10．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，其导函数为g（x），则（　　）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有三个互不相同的零点
C．方程f（x）＝a有三个不同解，则实数a的取值范围为（﹣4，0）
D．g（2﹣x）＝g（x）
11．已知数列{an}的前n项和，下列说法正确的是（　　）
A．an＝2n+3
B．是公差为1的等差数列
C．数列{（﹣1）nan}的前2025项和为﹣2023
D．数列的前n项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若（a为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为 　 　 ．
13．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了航模、无人机、Ai技术等5门课程．分别安排在周一到周五，每天一节，其中Ai技术课不排在周一，航模和无人机课两天相邻的课程的安排方案种数为 　 　 ．
14．若函数f（x）＝lnx﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，且a3，3a2，a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+log2an，求数列{bn}的前n项和．
16．（本小题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝3AB＝6，PD＝2，点M在棱PC上．
（1）当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：PA∥平面MBD；
（2）若直线PA与平面ABCD所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角P﹣BD﹣M的余弦值．
17．（本小题15分）已知函数f（x）＝x3+ax2﹣3x，a∈R，且满足f′（1）＝0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值．
18．（本小题17分）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3：2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p（0＜p＜1）．
（1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
（2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为X，求X的分布列及期望；
（3）在第6场比赛中，记甲3：1取胜的概率为f（p），求f（p）的最大值．
19．（本小题17分）已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，，M，N均为椭圆C上异于顶点的点，H为椭圆C上的点，直线HM经过左焦点F1，直线HN经过右焦点F2（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设△HMN的面积与△HF1F2的面积分别为S△HMN，，求的最小值．
高二下期中考试数学参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C D C A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ACD ABD
三．填空题（共3小题）
12．24．13．36．14．（﹣∞，﹣1）．
四．解答题（共5小题）
15．解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1＝1，且a3，3a2，a4成等差数列，
∴2×3a2＝a3+a4，∴6a3+a3q，化为：q2+q﹣6＝0，解得q＝2．∴an＝2n﹣1．
（2）bn＝an+log2an＝2n﹣1+n﹣1．∴数列{bn}的前n项和2n﹣1．
16．解：（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OM，
因为AB∥CD，所以△ABO∽△CDO，所以，
因为M为PC上靠近点P的四等分点，所以．
因为，所以PA∥MO，因为PA 平面MBD，MO 平面MBD，
所以PA∥平面MBD．
（2）因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PAD为PA与底面ABCD所成的角，所以∠PAD＝45°，
因为PD＝2，所以AD＝2，
由题意得AD⊥DC，又PD⊥平面ABCD，
所以DA，DC，DP两两垂直，
故以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，6，0），P（0，0，2），M（0，3，1），
所以，
设平面PBD的法向量为（x1，y1，z1），
则，则，即，
令x1＝1，则（1，﹣1，0），
设平面MBD的法向量为（x2，y2，z2），
则，则，即，
令x2＝1，则（1，﹣1，3），
因为，
又二面角P﹣BD﹣M的平面角为锐角，
所以二面角P﹣BD﹣M的余弦值为．
17．解：（1）因为f（x）＝x3+ax2﹣3x（a∈R），所以f'（x）＝3x2+2ax﹣3，
则f′（1）＝3+2a﹣3＝2a＝0，得a＝0，故f（x）＝x3﹣3x．
（2）令f'（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝1或x＝﹣1，列表如下：
x ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）在区间上单调递增，在区间（﹣1，1）上单调递减，
在区间（1，3）上单调递增，
所以f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，
又因为，f（3）＝33﹣9＝18，
因此，函数f（x）在区间[，3]上的最大值为18，最小值为﹣2．
18．解：（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件A，
则；
（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，
所以，
P（X＝1），
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以X的期望为．
（3）依题意（0＜p＜1），
则f'（p）＝3[3p2（1﹣p）+p3×（﹣1）]＝3p2（3﹣4p），
令f'（p）＝0，得，
当时，f′（p）＞0，f（p）在上单调递增，
当时，f'（p）＜0，f（p）在上单调递减，
所以f（p）在处取得极大值，即最大值，
所以．
19．解：（1）依题意可得：，解得a2＝9b2＝8，所以椭圆C的标准方程．
（2）
易得F1（﹣1，0），F2（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）当H（x0，y0），
，，
则，
所以，
，同理可得，则．
（3）由（2）易得．
由，得5tk＝7（t+k）﹣9．因为t＞1，k＞1，所以，
解得或tk≤1（舍去），当且仅当时，等号成立，
故的最小值为
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/20 18:06:35；用户：王一森；邮箱：15149842802；学号：574584732024-2025学年下学期高二年级期中诊断测试 数学答题纸
姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处
贴条形码区域
注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。
填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 `
P
M
C
A
B

展开更多......

收起↑