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高二年级期中联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ）
A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱
3．已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若等比数列的前项和为，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．15
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．-2025 B． C．2025 D．4045
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当n=7或8时，取得最大值.
10．已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
11．已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．直线上存在满足要求的点 D．直线上存在满足要求的点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
13．已知数列满足，设数列的前项和为，则= ．
14．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是 .
解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
16．已知函数在和处取得极值．
(1)求、的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
18．已知函数．
(1)求曲线的对称中心；
(2)证明：有三个零点；
(3)设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：．
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
(2)若方程有两个不同的解，且，
①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；
②证明：高二年级期中联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ）
A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱
3．已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．8 D．16
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．-2025 B． C．2025 D．4045
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当n=7或8时，取得最大值.
10．已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
11．已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．直线上存在满足要求的点 D．直线上存在满足要求的点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
13．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
14．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是 .
解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
(1)求、的通项公式：
(2)求数列的前项和．
16．已知函数在和处取得极值．
(1)求、的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
18．已知函数．
(1)求曲线的对称中心；
(2)证明：有三个零点；
(3)设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：．
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
(2)若方程有两个不同的解，且，
①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由；
②证明：.
试卷第1页，共3页
高二年级期中联考
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B D B A A ABC AC
题号 11
答案 BD
12．/4.75
【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，可设，
则．
故答案为：
13．
【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可.
【详解】数列满足，当时，，
两式相减得，因此，而满足上式，
于是，显然，即数列是等差数列，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可.
【详解】定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
故答案为：
15．(1)，；
(2).
【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程求出，即可求出通项公式；
（2）分组求和，分别求出数列和的前项和，相加即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
因为，
所以，即，
，即，则，
所以，整理可得即，
解得或（舍去）.
所以，则，解得或（舍去），故.
所以，.
（2）由（1）知，，则.
.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可得，，可得出关于实数、的方程组，即可解得这两个未知数的值；
（2）分析函数在区间上的单调性，根据题意可得出，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，则，
函数在和处取得极值．
，，联立解得：，．
且当，，，则，
由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意.
因此，，．
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，
故当时，，
要使得对任意，不等式恒成立，则需，
故，即，解得或，
的取值范围是．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组求得和，得到数列的通项公式，再由，且公差，求得，得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，由，可得，
因为，可得，
可得，即，
整理得，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当，可得，所以数列的通项公式为，则.
又由，且数列是公差为1的等差数列，
可得，即，解得，
所以故数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知：，，可得，
因为数列的前项和为，
可得，
则，
两式相减，可得，
所以．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先构造函数，证明是奇函数，奇函数图象对称中心是原点.而，根据“上加下减”原则，是向上平移个单位得到的，那么对称中心也向上平移个单位，从而得到对称中心为.
（2）先求出的导数并因式分解.然后分区间讨论的正负，当时函数单调递增，时函数单调递减，由此确定函数单调性.在单调性变化的点处取得极值，进而确定极大值点和极小值点.最后计算几个特殊点的函数值，根据零点存在定理确定函数零点所在区间.
（3）先根据函数与轴交点设出函数表达式，再依据过点情况设直线方程.然后联立直线与函数方程，消去并处理得到一元二次方程.利用方程有两相等实根求出切点横坐标.接着通过比较发现切点在轴射影是中点，即在垂直平分线上.最后根据垂直平分线性质得出.
【详解】（1）构造奇函数：设，则.
把代入得，所以是奇函数.
奇函数图象关于原点对称，即曲线对称中心是.
根据函数平移求对称中心：函数图象平移遵循“上加下减”原则，意味着把曲线向上平移个单位长度得到曲线.那么对称中心也向上平移个单位，所以曲线对称中心为.
（2）已知.
当时，，，所以.
当时，，，所以.
当时，，，所以.
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
在函数单调性发生变化的点处取得极值，所以是的极大值点，是的极小值点.
计算可得，，，.
根据零点存在定理和函数单调性知道，
因为，所以在区间内有一个零点；
因为，所以在区间内有一个零点；
因为，所以在区间内有一个零点.
综上，有三个零点.
（3）已知函数与轴交于，，，根据函数零点的性质，可设.
因为直线过点且斜率存在且不为，根据直线的点斜式方程，设直线的方程为.
切点的坐标是直线：与曲线的公共点，所以联立方程组，

消去可得.
当（因为是直线与轴交点的横坐标，这里考虑的是除点外的切点情况），两边同时除以，得到.
将其整理为一元二次方程的一般形式（记为）.
利用一元二次方程根的判别式和韦达定理：
因为直线与曲线相切，所以方程有两个相等的实根.由可知方程有两个相等实根.
在方程中，设切点的横坐标为，因为两根相等都为，所以，即.
点，，则中点的横坐标为.
因为在轴上的射影的横坐标就是点的横坐标，所以在轴上的射影为的中点，即在的垂直平分线上.
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以.
19．(1)
(2)①，，理由见解析；②证明见解析.
【分析】（1）求导得，求出切线方程，并联立曲线，根据判别式等于0即可得到答案；
（2）①设，求出其最大值即可得到的范围，判断，等价证明，再通过合理变形和比值换元即可证明；
②由①知，再设，代入后再累加即可证明.
【详解】（1），曲线在处的切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为．
由于切线与曲线只有一个公共点，
得有且只有一解，
所以，
解得．
（2）①令，
因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点．
，当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，所以．
一方面因为，
另一方面因为，
令，所以．
综上：．
判断：
下证：等价于．
因为，所以，所以，
要证：即证，即证：，因为，即证：
，令，
设，则，
所以，所以．
②由①可知：当时，，
令，所以．
所以，
将以上个不等式进行累加，所以．
答案第1页，共2页

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