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天津市第四十七中学2024——2025第二学期高二年级
期中考试 数学试卷
第Ⅰ卷(共两部分；满分150分)
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数在点处的切线方程为, 则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 函数 的部分图象大致为( )
4.·已知定义在R上的函数. 若 则a, b, c的大小关系是( )
A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. a>c>b
5.下列命题错误的是 (
A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 设ξ~N(1,σ ), 且P(ξ<0)=0.2, 则P(1<ξ<2)=0.2
C.线性回归直线 一定经过样本点的中心
D. 随机变量ξ~B(n, p), 若E(ξ)=30, D(ξ)=20, 则n=90
6.中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为(
A. 150 B. 180 C. 240 D. 300
7. 已知函数 若在 上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [-1,2] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,1]
8.设双曲线C: 的左、右焦点分别为F ，F ，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A，B两点， 则C的离心率为( )
A. B. C. D. 2
9若存在直线与曲线 都相切，则a的范围为( )
D. [-1,+∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共105分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 曲线 在点(-1，-3)处的切线方程为
11. 已知a为正数， 的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 .
12. 已知直线与圆 相交干A,B两点, 且|AB|=4, 则实数m=
13.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮，五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山
风景区，这6个随机选择1个条黑游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 .这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率
14.已知函数 其中a>0, b>0, 若, 则 的最小值为
15.设函数 若关于x的函数 恰好有六个零点，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
(1)若不放回摸球，求X的分布列；
(2)若有放回摸球，求X的分布列和均值.
17. 如图, 已知四棱锥P-ABCD,PD⊥平面ABCD, AB∥CD, AB⊥AD-, CD=AD= AB=1,
∠PAD=45°, E是 PA的中点,
(1)求证: DE∥平面PBC;
(2)求平面 FPC与平面PBC夹角的余弦值；
(3)求点A到平面PBC的距离.
18.设椭圆 的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率
(1)求椭圆方程；
(2)设过点A 且斜率为k的直线l与椭圆交于点B (B异于点A)，与直线交于点M 点B关于y轴的对称点为E，直线ME与y轴交于点N ，若△AMN的面积为 求直线l的方程.
19.已知数列 是公差为1的等差数列，且 数列 是等比数列，且
(1)求{an}和{b }的通项公式;
(2)设 求数列{cn}的前n项和 Sn;
(3)设 ,(n∈N'),求数列 的前2n项和T2n.
20. (1) 设函数 (其中λ为常数)，若函数 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a满足 求λ的取值范围；
(2)已知当时, 函数
(i) 若 恒成立，求b的值；
(ii) 求证: 对任意正整数, 都有 (其中e为自然对数的底数).天津市第四十七中学2024一2025第二学期高二年级
期中考试数学试卷答案
一选择题
1.D2.A3C4.A5.B6.A7.B8.B9.D
二：填空题：（本大题共6小题.每题5分共30分）
10.5x-y+2=0
11.60
12.7
13.①6
9
14.18
15.
5-2
三.解答题.（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）·)
16.(1)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，
X的分布列为P(X=)=CCk=01,2
X
0
3
1
5
-5
《2)对于有敢回模球，每次摸到黄球的概率为兮，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B3
x的分布列为Px--c)
,k=0,1,2,3
2
3
8
4
2
P
27
9
9
2
E(X)=3x1
17.【详解】(1)如图所示，
建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，
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6
00叭.820，P0,日02)f0co,10.Q0o.
则E-传》西-2-小c-0-.F-2-寸
设平面P5C的法向量网=kx)死-公0》
则
m.PB=0。[x+2y-z=0
即{y-2=0,不妨令y=1,可得m=(-1,),
E
m PC=0
1
因为DE·m=-1×三+0×3+1×行=0，
2
2
所以DE⊥m,且DEd平面PBC,即DE∥平面PBC:
(2)设平面FPC的法向量i=(a,b,c).
nP℃=0
b-c=0
则
即{1，
nPF=0
0+0-c=0不妨令b=1,可得万
2
m.R
-+1+1
于是cosm,月=
同
3
+1+1
所以平面FPC与平面PBC夹角的余弦值为
3
(3)由AP=（-1,0,1),平面PBC的法向量m=(-1,1,1),
则点A到平面PBC的距离d=
AP 2 23
m√33
18【详粮1I)由号+茶=e>06>0可得：40.F.h-份-a-2,
又e=5,e=5,6=--,
2
椭圆方程为：
￡+y=1.
4
(2)由(1)知：A(0,1),设直线1：y=+1(k≠0)，
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6
[y=k+1
女+=得：（+4状2)x+8kx=0,则
△=64k2-41+4k）0=64k2>0,
g+0=-
8k
1+4,即。=
8k
E
1+4k2
y=一
小=在。+1=
8k2
1-4k2
1+4联+1
1+4k2
即B
8k1-4k2）
8k1-4k2
1+4k2'1+4k2
..E
1+4k31+42
在直线/的方程y=红+1中，令y=-1可得x=-
1-4k2
a=+4班+1
效则直线您1引
k
1+4k2k
0呵程1-器k
1-8k2
16k2
8k2+18k2+11
wwg行5.
即6生-25，整理可得：64以-16k+1=0,解得：k±5
8k2+】
.直线1：y=
4+1或y
x+1
4
19.【详解】(1)由题知数列{an}是公差为1的等差数列，且a+a:=4,
所以4+4+1=4+2，得41=1，
所以a。=1+n-1=n,
因为数列{b}是等比数列，且bb=b,a=46,-b2,
所以
btq=bq'
4=46-b,9
,解得b=9=2,所以bn=2”,
所以{a}和{b}的通项公式为an=n,b,=2”,
高二数学第3页，共6页
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