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临沂一中校本部2023级阶段性检测（第三次段考）
数 学 2025.4
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）
1．已知函数是函数的导函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288 B．336 C．576 D．1680
3．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
7．若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ）
A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.）
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64 B．常数项是第3项
C．有理项有3项 D．各项系数的绝对值的和为729
10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；“两个点数之和为8”；“两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是（ ）
A．A与B相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
11．已知，且，则（ ）
A．存在，使得
B．对任意，都有
C．对任意，都存在，使得
D．若过点可以作曲线的两条切线，则
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则 ．
13．若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
14．已知随机变量，若，则c的值为 ；若，则 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知随机变量的分布列为：
5 6 7 8 9
0.1 0.2 0.3
(1)若，求、的值；
(2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值.
16．（15分）已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．（15分）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)讨论的单调性．
18．（17分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．（17分）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
临沂一中校本部2023级阶段性检测
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A C D C D A AD CD BCD
12． 13． 14．；
15．解：（1）由随机变量分布列的性质,
有, 得，即,.....................................................2分
又
，..................................................................5分
解得,...................................................................................................................6分
（2）由事件：,
得，..................................8分
又事件：为偶数,得，...............................................................10分
所以,解得..................................................................12分
由(1)知,所以
所以,..................................................................................................................13分
16.解：（1）由题意得：.............................................................3分
（2）令，则，..................................................................................4分
再令，则，......................................................6分
又，.................................................................................................................8分
所以..............................................................................10分
（3）两边同时求导得：
，..................................13分
令，则............................15分
17.解：（1），....................................................................................1分
由题意，，
解得，...........................................................................................................................3分
当时，，定义域为，
，令，解得，
令，解得，故为的极值点，
满足题意，故............................................................................................................5分
定义域为，......................................................6分
.................................................................................................................................................7分
...............................................................................................................................................8分
①时，，
令，解得或，令，解得，
函数在，内单调递增，在内单调递减；...........................10分
②当时，，故函数在上单调递增；....................11分
③当时，，令，解得或，令，解得，
故在，内单调递增，在内单调递减．....................................12分
.....13分
综上：
当时，在，内单调递增，在内单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，内单调递增，在内单调递减．...................15分
18.解：（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．............................1分
..................................4分
的分布列为
0 1 2
的数学期望．.....................................................................6分
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，..............................................................................8分
根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．...............................................................11分
即每位员工经过培训合格的概率为．.............................................................................12分
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
..................................................................................................................................................14分
...................................................................................................................15分
则（万元）............................................................................16分
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．....17分
19.解：（1）函数的定义域为，且，..................................1分
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
..................................................................................................................................................3分
而函数的最大值为，则，解得，
所以的值为0.......................................................................................................................4分
（2）由（1）知，，，则，...................................5分
于是切线的方程为，即，...................................6分
令，，求导得，..................................7分
令，求导得，.........................................................8分
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
由，得，...........................................................................................10分
而，函数在上的图象不间断，
则存在，使得，且当或时，，当时，，
..................................................................................................................................................12分
函数在和上单调递增，在上单调递减，又，
当时，，于是函数在上无零点，................................14分
，而，函数在上的图象不间断，
因此存在，使得，...................................................................16分
所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且..........17分

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