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惠州市第一中学2027届高一下学期第二次阶段性考试
数学科 试题
2025.4
命题人：2027届命题核心组
(满分 150 分。考试时间 120 分钟。)
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是( )
2. 如图, 在矩形ABCD中, O为AC与BD 的交点, 则
B. AC
3. 若复数z满足z-1=z(2-i), 则= ( )
A. - 1+i B. - 1-i
4. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若 则B=( )
A. C. D. 或
5.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵).如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足=(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),||=2,在方向上的投影为1，则|+2|=( )
A. 4 C. 5 D.与θ有关
7. 在△ABC中, (a, b, c分别为角A, B, C的对边), 则△ABC的形状可能是( )
A.正三角形. B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
8.已知圆锥SO的母线SA=5，侧面积为15π，若正四面体A1—B C D 能在圆锥SO内任意转动，则正四面体A -B C D 的最大棱长为( )
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。)
9.设复数 对应的向量分别为 (O为坐标原点)，则（ ）
A. |z1|=2 B. 若 则
C. 若 且 则 D.若 ,则|z |的最大值为
10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA =2, AB=BC=1, ∠ABC=90°,侧面AA1C1C的对角线交点O,点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A.直三棱柱的体积是1
B.直三棱柱的外接球表面积是6π
C.三棱锥E-AA1O的体积与点E的位置有关
D. AE+EC1的最小值为2
11. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 则下列说法正确的是( )
A. 若B+C=2A, 则△ABC的外接圆的面积为3π
B. 若 且△ABC有两解，则b的取值范围为
C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若A=2C, 且sinB=2sinC, O为△ABC的内心, 则△AOB的面积为
三、填空题(本大题3小题，每小题5分，共15分)
12.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 .
13.如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为60°和30°, 且测得∠MAN=45°, 则M,N间的距离为 .
14. 在复平面中,已知点A(-1,0)、B(0,3),复数z 、z 对应的点分别为Z 、Z ,且满足 则 的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(13分)设复数 i为虚数单位.
(1)若a=2, 求.
(2)若 是纯虚数, 求|z1|
16.(15分)用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知. 且A'D'∥B'C'.
(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.
17.(15分) 在△ABC中, 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知
(1)证明: a=c;
(2)如图, 若c=2b, 点D在边BC上, 且 ACD的面积为 求△ACD的周长.
18.(17分)已知锐角△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若D是线段BC上一点, 且
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为4 ，且AD为内角A的角平分线，求AD的最大值.
(3)若D是线段BC上靠近点B的三等分点，a=3，求AD的最大值.
19.(17分)利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(z ,z )(其中z ,z ∈C)视为一个向量，记作 =(z ，z ).类比平面向量可以定义其运算，两个复向量 的数量积定义为一个复数，记作ā.β，满足 复向量α的模定义为
(1)设 =(1-i,i), =(3,4),i为虚数单位，求复向量α、β的模；
(2)设 、是两个复向量.
①已知对于任意两个平面向量 =(x ,y ), =(x ,y ),(其中x ,x ,y ,y ∈R), |·|≤|||||成立, 证明:对于复向量、,|.|≤||||也成立;
②当 时，称复向量与平行.若复向量=(1+i,1-2i)与 平行(其中i为虚数单位，z∈C), 求复数z数学答案及评分标准
一单逸邀（每小题5分，共40分）
题琴
2
4
心
6
7
8
容茶
B
B
c
A
B
C
D
C
二、多逸燃（鄉小题6分，共18分）
题号
0
10
11
客茶
ACD
ABD
ACD
三英空题（您小题5分，共15分）
12.2
13.
100√2m
14.
2W10-4
四、解容题（本大题共5小题，共77分）
15.(13分)
獬浙月(1)当a=2时，=1-2i,52=(1-2)(2+3)=2-i计6=8-i5分
-8光》-2音，瑞物地赋乾，周
(2)
2-3a=0
÷32+3i(2+3i(2-310
3+2a≠0：解得a=2
…10分
则-1，hl-+号-号
1,413
.13分
16.(15分)
【解桥避(1)还原平面图形ABCD,如图，因为B=3,B(:=1,'D=3,且)∥B(C,
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD∥BC,B1AD,原平面图形ABCD为直角梯形，放
=中之=12与444w4
6分
A
D
(2)洛原平面图形ABCD绕BC旋0一，所得几何体是一个圆柱挖去一个厨维，如留，
D
其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面郸径为3，高为4，梦线长为5，…10分
所以几何体的装前积为S=元×3×5+2红×3×6+元×32=60r,…
13分
几何体的体獭为二元×32×6-号π×32×4=42m。
5分
17.(17分)
【你1D由条件及正瓷定避0票名-台，所以A0sC-es如C-0,即s4-=0,
因为一花5分
(2)由(1)及条作知a=c=2b,
所以C4三_+-位-子，从将血c-周9
2ab
462
7分
设CD=>0,则S4o=brx匝3
2
,得x=6.@.
9分
4
4
由余落定理得D2=心2+-20子=6+2-功=10，所以62+2=13， …2分
由①②，得伯+x)产=25，所以b+x=5,所以a4CD的阏长为b+x+AD=5+V015分
18,(17分)
宽解桥i(1)acosC+V5 @sinC-b-c=0,由正弦定理得sin AcosC+V5 sin AsinC=sinB+sinC,
sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,sin AcosC:+3 sin AsinC:=sin AcosC+cos AsinC+sinC
由c>0鉴得5动-w4=,即4-胃引宁然鹅子4-爱晋，又4引，
所以4-言产后，即A=子
5分
(2)因为aABC的面溆为4V5,则与besin A=4V3,求得bc=66分
因为AD为角A的角平分线，所以sin∠BMD=sn2CAD=之A,由于产Se+S,c=Sx,…7分
所以hc啡号+h0bs号-cn有=icsn分os兰，于曲子0所以hle+b创=2coas兰，
22
又6e=16且1-，所以AD=5ce-165s165-25
6+c6+
…10分
8
b
当且仅当b=c=4时，盛取得到，故AD的最大做为2W5…
l分
3)方法一：由余弦定理d2=b+c2-2 bccosA,得62+c2-bc=9,…
】2分
为C0=280得而C+号而，
瑞流平方得0-时+号e+号cas纷-号松+4+29仁t0，
0
9
B2+c-bc
，】4分
令x名，则的=2+4=143+业1t
3x+10=1+
3
—≤4+2W3
x2-x+1
x2-x+1(x+1)2-3(x+10+3
(+0+3
-3
小1
划D≤5+，当x+1=期x=5-1时等号成立，改4D的最大筐为5+1.17分
方法二：设BC的中点为E,△ABC外接圆的圆心为O,则D=0+O币，
m@-o+0而s可+网，2d=2r=品A25,所以网5，
063=2-663-号，所以06=5D8=3,嘴以0D-1,
所似AD≤V5+1,当且仪当A,O,D三点共晚时等号成立，此树aABC为锐角三角形.
9.(17分)
《解浙】()因为立=(1-i,),所以远：忘=(-（①-+ii=(1-i1+i)+i(-)=2+=3
可得应的模为|衣卡5；2分
因为户=(3,4所以B·B=3×3+4×4=3×3+4×4=25,所以B的模为11=5；
4分
(2)国为=()，方=(6，，所以2l=+司，
15分
由复数的三角不$式子+司s司+习=同+月，
17分

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