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深圳外国语学校2024-2025学年度高一第二学期期中考试
数学试题
试卷共4页 满分150分 考试时长120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的终边上有一点，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 为了得到函数图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4. 如图，斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. 6 D.
5. 一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7. 在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面四边形中，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分．
9. 已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A. 可能纯虚数
B. ，，的虚部之积为
C.
D. ，，的实部之和为2
10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
11 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数在区间上恰有3040个零点
B. 当时，函数在区间上恰有2026个零点
C. 当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D. 当时，函数在区间上恰有4054个零点
三、填空题：本大题共 3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示的曲线为函数的部分图象，则__________．
13. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________.
14. 已知正方体的棱长为1，为的中点，为上靠近的三等分点，为上靠近的四等分点．设过，，三点的平面与交于点，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
16. 已知函数=4tan xsin（）cos（） .
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.
17. 如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．
18. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面．
（1）判断直线l与BC的位置关系并证明；
（2）求证：平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD 若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19. 在中，对应边分别为.
（1）求A；
（2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值.深圳外国语学校2024-2025学年度高一第二学期期中考试
数学试题
试卷共4页 满分150分 考试时长120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的终边上有一点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
4. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】D
5. 一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
6. 在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】A
7. 在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8. 在平面四边形中，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分．
9. 已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A. 可能为纯虚数
B. ，，的虚部之积为
C.
D. ，，的实部之和为2
【答案】ABD
10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
【答案】BD
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数在区间上恰有3040个零点
B. 当时，函数在区间上恰有2026个零点
C. 当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168
D. 当时，函数在区间上恰有4054个零点
【答案】ABD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示的曲线为函数的部分图象，则__________．
【答案】
13. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________.
【答案】
14. 已知正方体的棱长为1，为的中点，为上靠近的三等分点，为上靠近的四等分点．设过，，三点的平面与交于点，则______．
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
令且，则，
所以，则，可得，
所以，则；
（2）.
由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
16. 已知函数=4tan xsin（）cos（） .
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
（Ⅰ）的定义域为.
.
所以, 的最小正周期
（Ⅱ）令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
17. 如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．
【答案】（1）
设，，因为，
故，整理得，
又，即，则①，
设，，又是的中点，
所以②，
联立①②，据平面向量其本定理得，解得，，
所以实数的值为.
（2）
因为，
又，则，得到，
由（1）知，又，
则.
18. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面．
（1）判断直线l与BC的位置关系并证明；
（2）求证：平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD 若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）.
依题意，，平面，平面，则平面，
又平面平面，平面，所以
（2）取中点，连接，在中，
在中，，则，即四边形为平行四边形，
因此，平面，平面，
所以平面.
（3）当为中点时，平面平面
证明如下：
取的中点为，连接，
在中，，平面，平面，
则平面，同理可证，平面，
又平面，，
所以平面平面.
19. 在中，对应的边分别为.
（1）求A；
（2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值.
【答案】（1）
在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，故，又，所以；
（2）（i）108；（ii）
（i）根据柯西不等式：
，
（当且仅当正三角形时取等号）
即：的最小值为108.
（ii）.
又，
由三维柯西不等式有
当且仅当即时等号成立.
所以，
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，令，则，
由二次函数单调性可知，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）

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