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江苏省南菁高级中学2021—2022学年第二学期
高一年级期中考试数学试卷
本试卷 满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则“l∥m”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
4、若复数z满足|z|=2，则|1++z|的取值范围是（ ）
A． [1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，4]
5、非零向量，满足，且，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
6、水平放置的△ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′，其中， ，则△ABC绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
8、已知在△ABC中，，，，点为△ABC的外心，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9、已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是实数 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10、已知向量a, b是同一平面α内的两个向量，下列结论中正确的有（ ）
A. 若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B. 若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C. 若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ， μ，使得c＝λa＋μb
D. 若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ， μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线
11、已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，则△ABC为锐角三角形
D．若，，则该三角形有两解
12、如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线直线
B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为
C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为
D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则________.
14、已知平面α∥平面β，点A, C∈α，点B, D∈β，直线AB与CD交于点S.若AS＝18,
BS＝9, CD＝34，则CS＝________.
15、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值范围是________.
16、兴国寺塔（江苏省江阴市古塔）始建于北宋太平兴国（976～983）年间，新中国成立以后，人民政府对塔基、塔身数次进行整修加固.现塔身共存8层，如图所示，古塔高，点在地面上，某次整修前，测量人员（身高不计）在地面的处测得古塔顶在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进40m到点处，测得塔顶的仰角为30°.则那次整修前，古塔高为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17、已知复数．
（1）当取什么值时，复数是纯虚数？
（2）当时，求．
18、在平面直角坐标系中，已知向量，，，且∥．
（1）求与间的关系；
（2）若，求与的值及四边形的面积．
19、如图所示，在正方体中，EF与AC，A1D都垂直相交，垂足分别是点F、点E．
（1）求证：EF⊥平面AB1C；
（2）求证：EFBD1．
20、如图，在凸四边形中，已知．
（1）若，，求的值；
（2）若，四边形的面积为4，求的值．
21、在如图所示的几何体中，AM平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．
（1）求证：平面MBC；
（2）已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离．
22、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，．
（1）求边c的值；
（2）若BC，AC边上的两条中线AM，BN，相交于点P，，以P为圆心，为半径的圆上有一个动点T，求的最大值．江苏省南菁高级中学2021—2022学年第二学期
高一年级期中考试数学试卷参考答案及评分标准
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷 满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.D 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.A．
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.BD 10.ACD 11.AD 12.BCD
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14.68或 15. 16. 40
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分.）
17、已知复数．
（Ⅰ）当取什么值时，复数是纯虚数？
（Ⅱ）当时，求．
【答案】（Ⅰ）若为纯虚数，则，………………2分
解得．故当时，复数是纯虚数．………………5分
（Ⅱ）当时，，………………7分
∵，
∴．………………10分
18、在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．
（1）求与间的关系；
（2）若，求与的值及四边形的面积．
【答案】（1）由题意得，，………………1分
因为，所以，即……①………………3分
（2）由题意得，，………………5分
因为，所以，即，
整理得……②………………7分
联立①②,解得或.………………9分
记四边形面积为
当时，，，则，
当时，，，则………………11分
综上或四边形的面积为16………………12分
19、如图所示，在正方体中，EF与AC，A1D都垂直相交，垂足分别是点F、点E．
（1）求证：EF⊥平面AB1C；
（2）求证：EFBD1．
【答案】证明：（1）在正方体中，,
所以四边形是平行四边形，所以………………1分
因为，所以，………………2分
因为，，平面，平面．
所以平面．………………4分
（2）因为平面，平面，
所以，………………5分
又因为，，平面，平面，
所以平面，………………7分
因为BD1平面,所以，………………8分
同理可证，………………9分
又，平面，平面．
所以平面．………………10分
又平面所以． ………………12分
20、(周练三T20)．如图，在凸四边形中，已知．
（1）若，，求的值；
（2）若，四边形的面积为4，求的值．
【答案】（1）在△中，因为，
所以．………………1分
在△中，由正弦定理得，，
所以． ………………3分
因为，所以．………………(缺少角范围扣1分）
从而．………………5分
（2）在△、△中，由余弦定理得，
，
，
从而． ① ………………8分
由得,
． ② ………………10分
得, ,
因为,所以．………………12分
21、在如图所示的几何体中，AM平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．
(1)求证：平面MBC；
(2)已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离
【答案】(1)由题意得，取CD的中点E，连接BE、NE，
则且，
故四边形是平行四边形， ………………1分
所以，又平面，AE平面
所以平面， ………………2分
又且，且，
则且，故四边形是平行四边形， ………………3分
所以，又平面，NE平面
所以平面， ………………4分
由，AE,NE平面得
平面平面， ………………5分
因为平面，所以平面； ………………6分
(2)，所以四边形为菱形，
则，直线AN与AE所成角为，
因为平面，设AM的长为x，则，
在中，由余弦定理，得，
即，由解得， ………………9分
所以，得， ………………10分
在中，，
所以的高为，故， ………………11分
设点C到平面MBD的距离为h，
则，由，得，解得.
即点C到平面MBD的距离为. ………………12分
22、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，
(1)求边c的值
(2)若BC，AC边上的两条中线AM，BN，相交于点P，，以P为圆心，为半径的圆上有一个动点T，求的最大值．
【答案】(1)解：由正弦定理可得，
所以，………………1分
因为，所以，………………2分
又，
所以，
因为，所以，所以，
所以；………………4分
(2)解：由题意，以A为坐标原点，AC所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，所以，………………5分
因为，所以，解得，所以，………………6分
又为三角形ABC的重心，所以，………………7分
所以圆P：，设，………………8分
则，，，
所以，………………9分
所以
………………10分
，
所以的最大值为9.………………12分

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