资源简介

准考证号： 姓名：
（在此试卷上上答题无效）
绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一适应性考试
数 学
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。命题中心：神奕派教育
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 设复数z满足（3+4i）z＝5i，则＝
A． B． C．1 D．5
2． 设集合 A＝[0，a]，B＝（2，3），若A∩B＝ ，则
A．0＜a≤2 B．0＜a＜2 C．0＜a＜3 D．0＜a≤3
3． 设双曲线：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为6，若曲线上的点到双曲线的两个交点的距离之和为26，则曲线的标准方程为
A．－＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
4． 已知一组数据为－1,1,3,4,5,7,10,11，若n为这组数据的70%分位数，则的展开式中的系数为
A．280 B．－280 C．560 D．－560
5． 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为
A．108 B．112 C．120 D．124
6． 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B＝，＝3ac，则+＝
A． B． C． D．
7． 甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为
A． B． C． D．
8． 设函数f（x）＝2－x |x＋a |，当x＞4时，f（x）＜0，则a的取值范围为
A．[－4，2] B．[－2，1] C．[－1，2 ] D．[－2，4]
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 设，是两个相互垂直的单位向量。若向量a＝－2，b＝＋2，则
A．| a |＝| b | B．a⊥b C．（a－b）∥ D．|2a－b|＝3
10．某同学研究两个变量x与y的关系，收集了以下5组数据：
x 1 2 3 4 5
y 1 4 1 9 10
根据上表数据，求得相关系数为r，经验回归方程为＝x+，决定系数为.后经检查发现当x＝3时记录的y＝1有误，实际值应为y＝6，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为＝x+，新决定系数为，则以下结论正确的是
参考公式：相关系数r＝，经验回归方程为＝x+，其中
＝，＝－，＝1－.
A．r＜ B．＝ C． D．＜
11．已知曲线C： ＋＝1，一条不过原点的动直线l与x，y轴分别交于A，B两点，则下列结论正确的是
A．曲线C有4条对称轴
B．曲线C形成封闭图形的面积大于4－π
C．当｜AB｜＝时，线段AB中点的轨迹与曲线C相切
D．当｜OA｜＋｜OB｜＝1时，直线l与曲线C相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．圆＋－4＝0与圆＋－4x＋4y－12＝0的公共弦长等于 .
13．若曲线y＝－a（a＞0）在x＝0处的切线也是曲线y＝（b＞0）的切线，则＋的最小值为 .
14．已知函数f（x）＝－2x＋1，若过点（0，1）的两条互相垂直的直线分别与 f（x）的图像交于另外的点A，C和B，D，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，多面体AB－CDEF中，AB∥CD，底面CDEF是矩形，G为AC的中点.
（1）证明：AE∥平面DFG；
（2）若AB＝1，CD＝2，侧面ACF是边长为1的正三角形，且平面ACF⊥平面CDEF，求二面角B－DF－G的正切值.
16．（15分）
已知数列{}满足＝1，＝
（1）记＝＋2，求，，并证明数列{}是等比数列；
（2）记＝＋3，求满足＜100的所有正整数n的值.
17．（15分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋a－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形；
（3）若△ABC是锐角三角形，c＝4，求△ABC面积的取值范围.
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，过点M（2，0）的直线l与抛物线C：＝2px（p＞0）交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，｜AB｜＝4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线x＝－2，相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴与点E.
（i）证明：∠DEO＋∠BMO＝π；
（ii）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由.
19．（17分）
已知函数f（x）＝（x＋1），g（x）＝a（x－1）.
（1）若f（x）与g（x）相切，求实数a的值；
（2）若当x＞1时，不等式2 f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝f（x）－g（x）有3个零点p,q,r(p＜q＜r),求证：＜2a－1.
＝准考证号： 姓名：
（在此试卷上上答题无效）
绝密★启用前
2025 年普通高等学校招生全国统一适应性考试
数 学
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。命题中心：神奕派教育
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． 设复数 z满足（3+4i）z＝5i，则| |＝
1 1
A． B． C．1 D．5
25 5
2． 设集合 A＝[0，a]，B＝（2，3），若 A∩B＝ ，则
A．0＜a≤2 B．0＜a＜2 C．0＜a＜3 D．0＜a≤3
2 2 5
3． 设双曲线 1： 2－ 2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，实轴长为 6，若曲线 2上的点到双曲 3
线 1的两个交点的距离之和为 26，则曲线 2的标准方程为
2 2 2 2 2 2 2 2
A． － ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
42 32 132 52 32 42 132 122

4． 已知一组数据为－1,1,3,4,5,7,10,11，若 n为这组数据的 70%分位数，则（2 － ）
的展开式中 4 3的系数为
A．280 B．－280 C．560 D．－560
5． 已知正四棱台的上底面边长为 4，下底面边长为 8，侧棱长为√17，则其体积为
A．108 B．112 C．120 D．124

6． 在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 B＝ ， 2＝3ac，则sin +sin ＝
3
√7 √6 3
A． B． C． D．√3
2 2 2
G 数学试题 第 1 页（共 4 页）
{#{QQABaQIg4giQgBRACR4qQwVSCEmQsIESJcoOBRCWOAQCQINABKA=}#}
1
7． 甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为 ，目标被一人击中
2
1 1
不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为 ，目标被三人击中而摧毁的概率为 ，若四人
6 2
都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 2
8． 设函数 f（x）＝2 2－x |x＋a |，当 x＞4 时，f（x）＜0，则 a的取值范围为
A．[－4，2] B．[－2，1] C．[－1，2 ] D．[－2，4]
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 设 1， 2是两个相互垂直的单位向量。若向量 a＝ 1－2 2，b＝ 1＋2 2，则
A．| a |＝| b | B．a⊥b C．（a－b）∥ 2 D．|2a－b|＝3
10．某同学研究两个变量 x与 y的关系，收集了以下 5 组数据：
x 1 2 3 4 5
y 1 4 1 9 10
根据上表数据，求得相关系数为 r，经验回归方程为 ＝ x+ ，决定系数为 2.后经检查
发现当 x＝3 时记录的 y＝1 有误，实际值应为 y＝6，修正数据后，求得新相关系数为 ′，新
2
回归方程为 ＝ ′x+ ′，新决定系数为 ′ ，则以下结论正确的是
∑ （ － ）（ － ） ＝1
参考公式：相关系数 r＝ ，经验回归方程为 ＝ x+ ，其中
√∑
2 2
（ － ） ∑
（ － ）
＝1 ＝1
∑ （ － ）（ － ） ∑
（ － ）
＝1 ＝1
＝ ， ＝ － ， 2＝1－ .
∑ （ － ） ∑
（ － ）
＝1 ＝1
2
A．r＜ ′ B． ＝ ′ C． ＞ ′ D． 2＜ ′
11．已知曲线 C：√| | ＋√| |＝1，一条不过原点的动直线 l与 x，y轴分别交于 A，B两
点，则下列结论正确的是
A．曲线 C有 4 条对称轴
B．曲线 C形成封闭图形的面积大于 4－π
√2
C．当｜AB｜＝ 时，线段 AB中点的轨迹与曲线 C相切
2
D．当｜OA｜＋｜OB｜＝1 时，直线 l与曲线 C相切
G 数学试题 第 2 页（共 4 页）
{#{QQABaQIg4giQgBRACR4qQwVSCEmQsIESJcoOBRCWOAQCQINABKA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．圆 2＋ 2－4＝0 与圆 2＋ 2－4x＋4y－12＝0 的公共弦长等于 .
13．若曲线 y＝ －a（a＞0）在 x＝0 处的切线也是曲线 y＝ （ ＋ ）（b＞0）的切线，则
1 1
＋ 的最小值为 .

14．已知函数 f（x）＝ 3－2√2x＋1，若过点（0，1）的两条互相垂直的直线分别与 f（x）的
图像交于另外的点 A，C 和 B，D，且四边形 ABCD 为正方形，则这两条直线的斜率之和
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
如图，多面体 AB－CDEF中，AB∥CD，底面 CDEF是矩形，G为 AC的中点.
（1）证明：AE∥平面 DFG；
（2）若 AB＝1，CD＝2，侧面 ACF是边长为 1 的正三
角形，且平面 ACF⊥平面 CDEF，求二面角 B－DF－G的
正切值.
16．（15 分）
+ 2， 为奇数，
已知数列{ }满足 1＝1， +1＝{
2 ， 为偶数.
（1）记 ＝ 2 ＋2，求 1， 2，并证明数列{ }是等比数列；
（2）记 ＝ 2 ＋3，求满足 1 + 2 + 3 + + ＜100 的所有正整数 n的值.
17．（15 分）
在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 acos ＋√3asin －b－c＝0.
（1）求 A；
√3
（2）若 b－c＝ a，证明：△ABC是直角三角形；
3
（3）若△ABC是锐角三角形，c＝4，求△ABC面积的取值范围.
G 数学试题 第 3 页（共 4 页）
{#{QQABaQIg4giQgBRACR4qQwVSCEmQsIESJcoOBRCWOAQCQINABKA=}#}
18．（17 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M（2，0）的直线 l与抛物线 C： 2＝2px（p＞0）交于
A，B两点，当直线 l平行于 y轴时，｜AB｜＝4.
（1）求抛物线 C的方程；
（2）若直线 l的斜率存在，直线 AO与直线 x＝－2，相交于点 D，过点 B且与抛物线 C
相切的直线交 x轴与点 E.
（i）证明：∠DEO＋∠BMO＝π；
15
（ii）是否存在直线 l使得四边形 ABDE的面积为 ？若存在，说明直线 l有几条；若不
2
存在，请说明理由.
19．（17 分）
1
已知函数 f（x）＝ （x＋1） ，g（x）＝a（x－1）.
2
（1）若 f（x）与 g（x）相切，求实数 a的值；
（2）若当 x＞1 时，不等式 2 f（x）＞g（x）恒成立，求实数 a的取值范围；
2 －
（3）已知函数 h（x）＝f（x）－g（x）有 3 个零点 p,q,r(p＜q＜r),求证： ＜2a－1.

＝
G 数学试题 第 4 页（共 4 页）
{#{QQABaQIg4giQgBRACR4qQwVSCEmQsIESJcoOBRCWOAQCQINABKA=}#}数学试题评分参考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．A 3．D 4．D
5．B 6．B 7．C 8．D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分。
9．AC 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．2√2 13．2 14．－√2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（13 分）
解：
（1）如图，连接 CE 交 DF 于点 O，连接 OG．因为 CDEF 是矩形，故 O 为
DE 的中点．
又因为 G 为 AC 的中点，故 OG∥AE．又
平面 DEG， 平面 DFG，
所以 平面 ． ……5 分
（2）方法 1：
如图，取 CF 的中点 H，连接 AH，HO，BO，易知 O 为 DF 的中点，故 OH
1
∥CD，且 OH＝ CD．
2
因为 AB∥CD，且 AB＝1，CD＝2，故 AB
1
＝ CD＝OH，且 AB∥OH，
2
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{#{QQABaQIg4giQgBRACR4qQwVSCEmQsIESJcoOBRCWOAQCQINABKA=}#}
所以四边形 AHOB 是平行四边形，故 OB∥AH． …… 7 分
因为△ACF 是正三角形，故 AH⊥CF，
又因为平面 平面CDEF，平面 平面 ， 平面ACF，
故 平面 ．
过 G 作 CM⊥CF，过 M 作 MN⊥DF，
同理可证 GM⊥平面 CDEF，DF⊥平面 GMN，
故 GN⊥DF，∠GNM 是二面角 G－DF－C 的平面角． …… 9 分
因为侧面 ACF 是边长为 1 的正三角形，易知 M 为 CH 的中点，
√3 3 2√5
故 GM＝ ，MF＝ ，又tan∠ ＝ ＝2，故sin∠ ＝ ，
4 4 5
3√5
MN＝MF·sin∠ ＝ ，
10

且tan∠ ＝ ． ……11分

由上可知平面 BDF⊥平面 CDEF，故二面角 B－DF－G 的平面角与二面角
G－DF－C 的平面角互余，
2√15
所以二面角 P－BD－E 的正切值为 ＝ ． ……13 分
5
方法 2：
如图，取 CF 的中点 H，连接 AH，HO，BO，易知 O 为 DF 的中点，故 OH
1
∥CD，且 OH＝ CD．
2
1
因为 AB∥CD，且 AB＝1，CD＝2，故 AB＝ CD＝OH，且 AB∥OH，
2
所以四边形 AHOB 是平行四边形，故 OB∥AH． ……7 分
因为△ACF 是正三角形，故 AH⊥CF，
又因为平面 平面CDEF，平面 平面 ， 平面ACF，
故 平面 ．
以 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向
建立空间坐标系．因为正△ACF 的边长为 1，
√3
且 AB＝1，CD＝2，故 B（0，1， ），G
2
1 √3 1 √3 1
（ ，0， ），F（－ ，0，0），O（0，1，0）， ＝（0,0， ）， ＝（ ，1，
4 4 2 2 2
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0），
3 √3
＝（ ，0， ）． …… 9 分
4 4
设平面 BDF 的法向量为 ＝（ 1, 1, 1），
平面 GDF 的法向量为 ＝（ 2, 2, 2），
√3 3 √3
＝0 ＋ ＝0
则{ 2
1 2 2
，{4 4 .
1 1
1＋ 1＝0 ＋ 2 2 2 2＝0
不妨取 1＝2， 1＝2，
则 ＝（2，－1，0）， ＝（2，－1，－2√3）． ……11 分
· 2×2＋（－1）×（－1） √5 2√3
故cos < , >＝ ＝ ＝ ，sin < , >＝ ．
| | · | | √17 17√ √4＋1×√4＋1＋12
2√15
易知二面角 B－DF－G 为锐角，故其正切值为 ． ……13 分
5
16．（15 分）
解：
（1）根据题意可知 2＝ 1＋2＝3， 1＝ 2＋2，故 1＝3＋2＝5.
3＝2 2＝6， 4＝ 3＋2＝8， 2＝ 4＋2，故 2＝8＋2＝10. …… 2 分
由于 ＋1＝2 2 ＋2＋2，
故对于任意 n∈ ，
＋2 ＋2 ＋4
＋1 2 ＋2 2 ＋1＋1 2 ＋1 2 2 ＋4＝ ＝ ＝ ＝ ＝2.
2 ＋2 2 ＋2 2 ＋2 2 ＋2
故{ }为等比数列. …… 7 分
（2）由（1）可知{ }的首项为 5，公比为 2 的等比数列，
故 ＝5×2
－1，因此 2 ＝ －2＝5×2
－1－2，
故 ＝ 2 ＋3＝5×2
－1＋1.
利用等比数列的求和公式可知{ }的前 n 项和为
5（1－2 ）
＝ ＋n＝5（2
－1）＋n， ……12 分
1－2
由于 y＝2 和 y＝x 在（0，＋∞）上单调递增，
故 随 n 的增大而增大，
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而 4＝5×15＋4＝79＜100，
5＝5×31＋5＝160＞100，
因此符合条件的正整数 n 为 1，2，3，4. ……15 分
17．（15 分）
解：
（1）由 a ＋√3 a －b－c＝0 及正弦定理得
sin cos ＋√3 sin sin －sin －sin ＝0. …… 2分
因为sin ＝sin（ － － ）＝sin（ ＋ ）＝sin cos ＋cos sin ，
所以√3 sin sin －cos sin －sin ＝0，
由于sin ≠0，所以√3 sin － cos －1＝0.
1
所以sin（ － ）＝ .又 0＜A＜π，故 A＝ . …… 5 分
6 2 3
2＋ 2－ 2 1
（2）因为 A＝ ，所以cos ＝ ＝ ，
3 2 2
即 2＋ 2－ 2＝bc，
√3 2
又因为 b－c＝ a，所以 2＋ 2－3（ － ） ＝bc，
3
即2 2＋2 2－5 ＝0，而 b＞c，解得 b＝2c，所以 a＝√3c，
故 2＝ 2＋ 2，即△ABC 是直角三角形. …… 9 分
（3 由题意得：
1
△ ＝ bcsin A＝√3b， 2
由正弦定理可知，
2
sin 4 sin（ － ）3 2√3cos ＋2sin 2√3b＝ ＝ ＝ ＝ ＋2. ……12 分
sin sin sin tan
2
又△ABC 为锐角三角形，所以 0＜ － ＜ ，0＜C＜ ，
3 2 2
√3
故 ＜C＜ ，所以tan ＞ ，2＜b＜8，
6 2 3
那么 2√3＜√3 ＜8√3，从而 2√3＜ △ ＜8√3.
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所以△ABC 面积的取值范围是（2√3，8√3）. ……15 分
18．（17 分）
解：
（1）当直线 轴时 ，则点 在抛物线上，故 ，
所以抛物线方程为 ； …… 3 分
（2）
（i）由题设，直线 的斜率存在且不为 0，设 ，
则斜率 ，若 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
由 ，则 ，
故 点处切线斜率为 ，所以对应切线方程为
， …… 6 分
令 ，故 ，
由 ，令 ，
则 ，故 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ； …… 9 分
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（ii）连接 ，由（i）得 ， ，则 ，
又 ，所以 轴，即四边形 为平行四边
形，所以
， ……11 分
若四边形 的面积为 ，则 ，整理得 ，
令 且 ，则 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
又 ，所以 使 ，
在 上 ， 在 上单调递减，
在 上 ， 在 上单调递增， ……15 分
而 ， ，
存在 使 ，
所以 在 上有两个零点，为 和 ，
即 在 上有 2 个不同根，
15
由对称性，四边形 的面积为 的直线 共有 4 条. ……17 分
2
19．（17 分）
解：
（1） ， ， ，
设切点为 ，则 且 ，
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即 ， ， …… 2 分
联立得 ，
化简得 ，
令 ， ， .
所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，故 . …… 5 分
（2）当 时， 等价于 .
令 ，
则 ， . …… 7 分
①当 ， 时， ，
故 ， 在 上单调递增，因此 .
②当 时，令 ，
得 ， ，
由 及 得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
因此 ，不满足题意.
综上， 的取值范围是 . ……10 分
（3）由题可知 ，注意到 ，
即当 时， ，还有另外 2 个零点，
令 ，
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注意到 ， ， ……12 分
记 ，
令 且 ，所以 .
当 时，记 的两根为 ， ，则 ，
不妨设 ，
又 在 上单调递减，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 存在三个不同零点，故 ； ……14 分
又 的三个零点分别 ， ， ，
因此一定有： ，且 ，
同时若 ，则
，
，
要证 且 ，
由 ，故结论成立. ……17 分
G 数学试题评分参考 第 8 页，共 8 页
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