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保密★启用前
2024-2025学年高一年级下学期期中模拟试卷
数 学
考试范围：人教A版2019必修第二册（第6章~第8章）；
考试时间：120分钟； 总分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）
A．1 B．0 C． D．
若，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
若的内角A，B，C的对边为满足则角A的大小为 （ ）
A． B． C． D．
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是 （ ）
A．AB与HG相交 B．AB与EF平行
C．AB与CD相交 D．EF与CD异面
为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高 （ ）
A． B． C． D．
设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是 （ ）
A．若，则有两解
B．若，则为等腰三角形
C．若为锐角三角形，且，则
D．若，则的最大值为
如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则 （ ）
A．，，，四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．过四点，，，四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则 ．
给出下列命题：
①若直线l与平面有两个公共点，则直线l在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面内，则；
③若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；
④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线必与该平面相交；
⑤若直线平面，则l与平面内的任意直线都平行；
⑥若平面平面，直线，直线．则．
其中正确的有 （只填序号）．
已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
已知向量，.
(1)当时，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
（15分）
如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
（1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
（2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
（15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
(1)求证： 平面；
(2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
（17分）
在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若点M为AC中点，且，求的面积．
（17分）
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
(1)当时，求四边形的周长；
(2)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
(3)当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．保密★启用前
2024-2025学年高一年级下学期期中模拟试卷
数 学 答 案 解 析
考试范围：人教A版2019必修第二册（第6章~第8章）；
考试时间：120分钟； 总分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以且，解得
故选：C
若，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】由题意知向量，不共线，
对于A中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以向量与不共线，可以作为平面的基底；
对于B中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底；
对于C中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底；
对于D中，由，可得与共线，不能作为该平面的基底.
故选：D.
如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正方形的边长为，可得，
根据斜二测画法的规则，平面图形中，可得，
如图所示，所以原图形的面积为.
故答案为：C.
若的内角A，B，C的对边为满足则角A的大小为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得, 又，. 故选：B
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是 （ ）
A．AB与HG相交 B．AB与EF平行
C．AB与CD相交 D．EF与CD异面
【答案】D
【解析】由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 故选：D
为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为60°，则“使命塔”高 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在中，，，可得，
由正弦定理得：，则，
可得：，
再在直角中，，
故选：B.
设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量的夹角为，因为，
所以，
由 ，所以 .
又与的夹角为，所以 ，
所以 或，
因为向量不共线，所以，
又，所以，
所以 .
故选：A
已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径，
所以为直角三角形，且，为中点，
因为向量在向量上的投影向量为，
故,
由于为锐角，所以.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
【答案】ACD
【解析】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
在中，内角所对的边分别为，且，则下列选项正确的是 （ ）
A．若，则有两解
B．若，则为等腰三角形
C．若为锐角三角形，且，则
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为，所以，则有两解，正确；
对于选项B，由可得，或，又，故或，则为等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于选项C，由得，则，
因为，所以，C正确；
对于选项D，因为，所以，又因为，
所以，则
，
由，得，
所以当，即时，取得最大值，D正确.
故选：ACD.
如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则 （ ）
A．，，，四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．过四点，，，四点的外接球表面积为
D．截面四边形的周长的最小值为10
【答案】BCD
【解析】对于A，取中点，取靠近的三等分点，
易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，则，
所以，，，四点共面，故错误；
对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确；
对于C，过四点，，，构造正方体，
所以，外接球直径为正方体的体对角线，
所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确；
对于D，
由题意，平面平面，平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，
沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5，
所以周长的最小值为，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则 ．
【答案】3
【解析】因为，则为中点，
则，则，
则，
则.
故答案为：3.
给出下列命题：
①若直线l与平面有两个公共点，则直线l在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面内，则；
③若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；
④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线必与该平面相交；
⑤若直线平面，则l与平面内的任意直线都平行；
⑥若平面平面，直线，直线．则．
其中正确的有 （只填序号）．
【答案】①
【解析】①根据公理1可知，①正确；
②若直线上有无数个点不在平面内，直线与平面可能相交，也可能平行，所以②不正确；
③直线l与平面相交，则在平面内过交点的直线与直线相交，所以③不正确；
④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面可能相交，也可能平行，还有可能直线在面内，所以④不正确；
⑤根据线面平行的性质定理可知，直线l与平面内的任意直线不可能都平行，所以⑤不正确；
⑥若平面平面，直线，直线，直线可能平行，也可能异面，
所以⑥不正确．
已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：
易知，又，
在中，由余弦定理可得；
在中，由余弦定理可得;
又易知，所以可得，
解得，又，所以，
可得，即，
设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，
解得，
又平面，且，
设四棱锥的外接球半径为，
可得，即；
因此外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
已知向量，.
(1)当时，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
【答案】(1)或 (2)
【解析】（1）向量，，则，
由，可得，
即，即，解得或.
（2）由，，则，
由，可得，解得，
所以，，，
又，所以.
（15分）
如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
（1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
（2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）表面积为，体积为；（2）当时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理可知，，圆柱母线长，
而圆锥的母线长为，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为
圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
即，
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
即．
（2）设，由平面几何知识可知，，所以，
故被挖去的圆柱的侧面积为，当且仅当时取等号．即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．
（15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
(1)求证： 平面；
(2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析
【解析】（1）如图，取中点，连接，
因为为中点，所以 ，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以 ，且，
所以 ，且，所以四边形为平行四边形，
所以 ，
因为平面平面，
所以 平面；
（2）为的中点，
因为 且，故为平行四边形，故 ，
平面，平面，故 平面，
又平面，平面平面，所以，
又 ，所以 ，
因为为的中点，所以点为的中点.
（17分）
在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若点M为AC中点，且，求的面积．
【答案】(1) (2)的面积为
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，所以或，
当时，因为，
所以，此时，
所以，因为，
所以，所以；
（2）先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，
如图，是中线，是高线，
因为，，，，
所以
，
回到题目中，设，
所以，，，
所以，
设，，，
因为，所以，
所以，，
所以.
（17分）
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
(1)当时，求四边形的周长；
(2)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
(3)当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】(1) (2) (3)，最大值为．
【解析】（1）中，，，，
由余弦定理得，
即，于是四边形OACB的周长为．
（2）因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即OC的最大值为6，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
（3）在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形OACB的面积为
，
当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为，
所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为．2024-2025学年高一年级下学期期中模拟考试 数 学 答 题 卡 班级：____________ 姓名：____________ 分数：____________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号1234答案题号5678答案
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号91011答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 121314
四、解答题：本题共5小题，共77分 15（13分） 16（15分）
17（15分） 18（17分） 19（17分）
P
D
C
A
B
B
C
B
0
A
O

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