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莆田第二十五中学2024-2025学年下学期高一数学期中考
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 若向量，，，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）.
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
5. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
6. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．6 C． D．3
7.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2 B．母线长为3
C．侧面积为14π D．体积为π
在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．
10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为5
D．若，则当三点共线时，
11．如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ）
A．四边形ABCD的面积为
B．该外接圆的半径为
C．过D作交BC于F点，则
D．
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________
13．微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机（两人的身高忽略不计），为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m，甲观察无人机的仰角为，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度，则这两个角可以是 .（写出所有符合要求的编号，写错或写不全，均不得分）
①和； ②和; ③和； ④和.
14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知向量．
(1)若，求实数k的值；
(2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
16.（15分）在中，边的长分别为.
(1)利用向量知识证明：；
(2)在中，.求的值及的面积.
（15分）①，，且；②；
从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
（1）求A的值；
（2）若是锐角三角形且，求的取值范围.
18.（17分）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
（1）求四棱台的表面积；
（2）若把这块铁料最大限度地打磨成一个圆台，求消去部分与圆台的体积之比；
（3）若先将整个棱台铁料融化成铁水（不考虑损耗），再把全部铁水凝固成一个实心圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆周长与侧面积的和最小.
19.（17分）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
(1)在仿射坐标系中，若，，且，求实数；
(2)在仿射坐标系中，若，．
①当时，求；
②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．试卷第1页，共3页
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D B C A C D AB ACD BCD
12.【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
13.①③④
【分析】①：根据已知先解得AC，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解得PA，然后可得；④：先由最小角定理的，解可得AC，然后可得.
【详解】①：当已知和时，在利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在中，由三角函数定义可得PC，故①正确；
②：当已知和时，在已知一角一边，在中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；
③：当已知和时，在中已知两角一边，可解出PA，然后在中，由三角函数定义可得PC，故③正确；
④：当已知和时，可先由最小角定理求得，然后解可得AC，最后在中，由三角函数定义可得PC，故④正确.
故答案为：①③④
14.【答案】
【分析】
根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值.
【详解】
如图，

设中点为O，
由底面，底面，所以,
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，
因为，，所以，
所以在中，
，
所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，
所以其表面积为；
将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图，

此时最小，因为，，
所以，又，，
所以.
所以的最小值为.
故答案为： ；
15.(1) (2)
【分析】（1）求出向量的坐标，由求解即可；
（2）由题意可得，且与不共线，据此求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，则，
所以，解得．
（2）解：由（1）知，
所以．
因为与的夹角为钝角，
所以，且与不共线．
即，解得且，
所以实数k的取值范围是．
16.（1）略
（2）在中,所以是锐角，.
由，可得，而，
所以，
可得，则，
故；
17.【详解】解：（1）选①，
因为，，且，
所以，
由正弦定理得：，
即，
，
又因，所以，
所以；
选②，
因为，
所以，
即，
由正弦定理得：，
又因，所以，
所以；
(2)因为，则，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
所以
18.【解析】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取，中点，，
连接，，，则，，，，
，
四棱台的表面积．
（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上、下底面圆与正四棱锥的上、下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为：
四棱台的体积为
削去部分得体积为
削去部分与圆台得体积之比为
（3）设圆柱得地面半径为r，高为h，则，解得
圆柱的上下底面圆周长与侧面积的和为
当且仅当
19.(1) (2)① ；②
【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解；
（2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解；
②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
又因为，存在实数使得，即，
所以，可得，解得．
（2）①当时，，，，
所以，
，
，
所以．
②因为，
，
，
由，得，
所以对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意．
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．
答案第1页，共2页

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