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江苏省无锡市普通高中2024-2025学年高一下学期终调研考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．2 D．1
3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（ ）
A．16 B．40 C．80 D．100
4．正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A． B． C．7 D．9
6．从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于
8．等腰直角三角形中，点为斜边BC上动点，点M，N分别是两腰上动点，已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．一个袋子中有大小和质地相同的四个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地依次随机摸出2球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，“两次都摸到绿球”，“两次都摸到红球”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．对于数据，，，，，，，，下列说法正确的是（ ）
A．极差为 B．平均数为
C．没有众数 D．中位数为
11．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知，，，则 ．
13．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则 ．
14．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥的体积为 ；若该三棱锥的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题
15．如图，已知为平面直角坐标系的原点，，轴，，．
(1)求，点坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量的坐标．
16．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
17．为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）．
(1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数：
(2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围；
(3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差．
18．在中，角的对边分别为，已知，．
(1)求角的值；
(2)求的最大值；
(3)若边的中线长为，求的面积．
19．已知圆柱底面半径为，高为，、分别为上，下底面圆心，为下底面的一条直径，点在下底面圆周上（异于、），为中点，为中点．
(1)求证：平面；
(2)若．
①是上的一点，且满足平面平面，求的值；
②过点作一个平面，使与圆柱底面所成二面角大小为，且平面．过点作直线，使垂直于圆柱底面，设与平面交于点，求的长度．
江苏省无锡市普通高中2024-2025学年高一下学期终调研考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C B D B ABC ABD
题号 11
答案 BC
1．A
【详解】由复数，所以复数的虚部.
故选：A.
2．C
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
3．B
【详解】根据分层抽样的定义与计算方法，可得，可得.
故选：B.
4．D
【详解】如图所示，连接交于点，
因为四边形为正方形，可得，
在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
设正方体的棱长为，可得，
所以，所以.
故选：D.
5．C
【详解】因为，，所以，
又，，
所以，
由正弦定理得，所以．
故选：C．
6．B
【详解】从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，
则向量与向量共有种情况，
若向量与向量共线，则满足，即，
有，，，共有3种情况，
所以向量与向量共线的概率为.
故选：B.
7．D
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
8．B
【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
可得，且，其中，
因为且分别为上的动点，可设，且，
向量，
所以，
设，
对称轴，即在对称轴处函数取得最小值，且，
设，且，则，
可得，
令，则，可得
又由，
设，
则函数在上单调递减，当时，即时，，
所以.
故选：B.
9．ABC
【详解】对于A中，事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，
可得，所以，所以A正确；
对于B中，由“两次都摸到绿球”，“两次都摸到红球”，
事件和事件不能同时发生，所以事件和事件为互斥事件，
所以，所以B正确；
对于C中，由事件表示第一次摸到红球，第二次摸到红球，
所以，所以C正确；
对于D中，由，，
所以，所以D不正确.
故选：ABC.
10．ABD
【详解】将这组数据由小到大排列为：，，，，，，，，
对于A选项，极差为，A对；
对于B选项，平均数为，B对；
对于C选项，众数为，，，C错；
对于D选项，中位数为，D对.
故选：ABD.
11．BC
【详解】由题意可设，，，
则，
则，得，，
故，，
则，A错误；
，B正确；
，故C正确；
，
则，
得，故D错误.
故选：BC
12．0.6/
【详解】由，可得，所以，
所以.
故答案为：0.6
13．
【详解】由及正弦定理得，
因为，所以，且，
所以，因为，所以，
所以 ，所以，
所以.
故答案为：.
14． /
【详解】如图，设底面的中心为，连接，则球心在直线上，
由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形，
如图：
因为，由勾股定理可得，
所以正三棱锥的体积为；
设球心为，则在的延长线上，且，则，
由勾股定理可得，即，
解得，所以球体的表面积．
故答案为：；．
15．(1)，；
(2)
【详解】（1）由条件可知，，所以点的横坐标，纵坐标，即，
由条件可知，，则设，
所以，则，即，
所以，；
（2）由（1）可知，，，
所以向量在向量上的投影向量为,
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得
，，，，
设“两轮活动星对猜对3个成语”，则，
所以，
，
因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为.
（2）设表示乙两轮都没猜对的事件，，
设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则
，
.
17．(1)；人
(2)
(3)平均数为，方差为
【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，
可得，解得，
由图可知，样本中成绩在分以上的人数为人.
（2）前三个矩形面积之和为，
前四个矩形面积之和为，
设第百分位数为，则，
由百分位数的定义可得，解得，
因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为.
（3）成绩在内占成绩在的比例为，
成绩在内占成绩在的比例为，
设成绩在内的平均数和方差分别为、，
由分层随机抽样的平均数公式可得，解得，
由分层随机抽样的方差公式可得，解得.
故成绩在内的平均数为，方差为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，即，
所以，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知且，
设的外接圆的半径为，可得，
又由正弦定理，可得，且，
则
，其中，且为锐角，
因为，所以时，取得最大值，最大值为.
（3）解：因为为上的中线，且，可得，
可得，
即，
又由余弦定理，可得，
联立方程组，可得，所以的面积为.
19．(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）连接，如图所示：
因为为中点，为中点，所以，
因为平面，平面，因此平面.
（2）①设平面交线段于点，连接、、，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为为的中点，故为的中点，
因为为的中点，故，所以，，
在中，，，由正弦定理得，
故；
②设为圆柱的一条母线，过点在平面内，连接，
以、作平面，过点在平面内作，垂足为点，
连接、，如下图所示：
因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，二面角的平面角为，
由题意可知，，所以，
因为平面，平面，所以平面平面，
故平面即为所求作的平面，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
所以平面与底面所成角的平面角为，
因为平面，平面，所以，故为等腰直角三角形，
因为，则，
因为，故为等边三角形，所以，
因为点在下底面圆周上（异于、），所以，故，
所以，
因为，
因为，故，故.

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