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2025年云南民族中学高三数学4月月考
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
2.下列选项中，是的充要条件的是
A. ：或，：两条直线：与：平行
B. ：直线与曲线有两个不同交点，
C. ：在圆：外部，：
D. ：直线：与圆：相离，
3.如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若，，则的离心率为
A. B. C. D.
5.已知，则
A. B. C. D.
6.已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
7.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为
A. B.
C. D.
8.哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构常用的方法之一是“除留余数法”例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置如键值和均映射到同一位置现有一个容量为个位置编号的哈希表，以除留余数法除数为进行映射，需要存储个数据设这个位置存放的数据个数分别为，，，，，，，则下列说法中正确的是
A. 至少有个位置存放了不少于个数据
B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为
C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为
D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 在区间上存在函数图象的个对称中心
D. 若函数在区间上单调递增，则
10.已知函数，下列说法正确的有
A. 存在实数使得为偶函数
B. 的导函数满足
C. 函数存在两个极小值点
D. 方程存在个不同的实根且
11.通信工程中常用元数组表示信息，其中或设，，表示和中相对应的元素对应，，，，不同的个数，则下列结论正确的是
A. 若，则存在个元数组，使得
B. 若，则存在个元数组，使得
C. 若元数组，则
D. 若元数组，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某同学收集了第一届全国学生青年运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第届亚运会吉祥物“宸宸”“琼琮”和“莲莲”的卡片各一张现该同学准备将这张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为______用数字作答
13.已知圆锥的母线长为，底面半径为，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点则蚂蚁爬行的最短路程长为______．
14.已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，且满足．
求角的大小；
若的面积，内切圆的半径为，求；
若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
16.本小题分
人工智能简称的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能每人只能选一项，统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响．
从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，中的方差记作，比较与的大小．
结论不要求证明
17.本小题分
如图所示，在四面体中，平面，是的中点，，分别在线段，上，且，．
求证：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
设，定义为的“函数”．
设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程；
设为的“函数”．
若是的极小值点，求的取值范围；
若，方程有两个根，，且，求证：．
本小题分
在平面直角坐标系中，已知动圆过定点，且与定圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设曲线与轴，轴的正半轴分别相交于，两点，点，为椭圆上相异的两点，其中点在第一象限，且直线与直线的斜率互为相反数，试判断直线的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；
在条件下，求四边形面积的取值范围．
参考答案及解析
1.【答案】
解：因为有且只有两个元素，
所以曲线与有且只有两个交点，
对于曲线变形可得，
表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，
对于曲线，
当时，如图所示，表示的是一条直线，
与交于，两点，符合题意；
当时，，与至多有一个交点，不符合题意；
当时，表示的是两条射线，
，
当时，表示的是和两条射线，
与仅有一个交点，如下图所示，所以不符合题意；
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以符合题意；
当时，与轴的交点为，，
且的斜率，的斜率，
而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，
所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以符合题意．
综上，实数的取值范围为．
故选：．
2.【答案】
解：对于，若两条直线：与：平行，
所以，解得或，
当时，直线：与：重合，故舍去，
所以，则是的必要不充分条件，故A错误；
对于，，可得，，
所以，表示圆心为，半径的圆的上半部分，如图所示：
直线恒过点，
因为直线与曲线有两个不同的交点，
所以，解得，
当时，左边圆上的端点为，此时斜率为，
所以，所以是的充要条件，故B正确；
对于，圆：半径，
所以，
因为在圆：外部，
所以，解得，
综上，所以是的充分不必要条件，故C错误；
对于，圆：化为标准式为：，
圆心为，半径为，
若直线：与圆：相离，
则圆心到直线的距离为，
解得，，综上，
所以是的充分不必要条件，故D错误．
故选：．
3.【答案】
解：，复数的实部和虚部互为相反数，所以．
故选：．
化简复数为的形式，利用条件求出的值．
4.【答案】
解：
由双曲线，可知渐近线方程为，
因为，，所以在中，，，，，
可得，
即，则，
，又因为点在渐近线上，所以，解得，可得．
故选：．
5.【答案】
【解答】
解：由半角公式可得，

，
故选A．
6.【答案】
解：根据题意可知，函数，
当时，的取值范围为，
要使的值域为，必有在上单调递增，且，
所以解得．
故选：．
7.【答案】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
设，所以，，，
因为，所以，
所以，即，
因为点在圆上，
所以由圆的方程变形得，
解得所以，
所以的最大值为．
故选：．
8.【答案】
解：设为数据除以的余数为的数的个数，
对于，，不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，所以选项A错误；
对于，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
这些数据除的余数分别为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以，，，，，，，
将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，选项B错误；
对于，由题意知，这个数的平均数为，且，，
因为，，
当这个数中有个，个时，取最小值，
即；
当这个数中有个，个时，取最大值，
即，选项C错误；
对于，不妨设这个数依次为、、、、、、，满足极差为，此时，所有位置都有数据，
若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为，因为，
此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，选项D正确．
故选：．
9.【答案】
解：由题意，且，
又的对称中心为，
所以，
又，
所以，
所以，
对于，，故A正确；
对于，令，
所以函数的对称轴方程为，
令，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
对于，令，
所以的对称中心为，
在区间上存在的两个对称中心为和，故C正确；
对于，区间，
令，
当时，得到在上单调递增，
所以，故D错误．
故选：．
10.【答案】
解：函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，A正确；
由选项知，所以，B错误；
，，
由且，得，由，得，
由，得，所以有两个极小值点，C正确；
令，则，于是或，当时，由得存在两个不同实根，，此时；
当时，由，知存在异于，的两个实根，且，
所以方程存在个不同的实根且，D错误．
故选：．
11.【答案】
解：选项A：由题意，个位置选个位置安排即可，满足条件的数组共有，故A正确；
选项B：由题意，个位置选个位置安排即可，满足条件的数组共有，故B错误；
选项C：设，中对应项同时为的共有个，同时为的共有个，
从而对应项一项为与另一项为的共有个，这里，
从而，
而，故C正确，同理D正确．
故选：．
12.【答案】
解：先将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，共有种方法，
再将这种卡片看成一个整体与“琼琮”一起贴在墙上，有种方法，
则共有种方法．
故答案为：．
先将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，再再将这种卡片看成一个整体与“琼琮”一起贴在墙上即可．
13.【答案】
解：由已知得：圆锥的底面半径为，
则底面圆的周长，即圆锥侧展开图扇形的弧长为：，
又圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图扇形的半径为：，
则侧面展开图圆心角，最短距离即为的长，
由余弦定理得：．
故答案为：．
14.【答案】
解：设点是函数图象上的点，点是直线：上的点，
则可以转化为，两点之间的距离，
即，所以，
因为，设函数在点的切线与直线平行，
则直线的斜率为，可得，整理得，
令，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当无限趋向于负无穷大时无限趋近于，，，
当无限趋向于正无穷大时无限趋向于正无穷大，所以有且仅有一个零点，
所以方程有且仅有一个解，则，
故的最小值为点到直线：的距离，
即的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】；
；
．
【解析】解：由，得，
在中，，
所以，
即，
而，所以；
由等面积法得：，即，
因此且，
在中，由余弦定理得，
即，
所以；
法由平分，得，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有．
在中，由正弦定理，得，则，
得代入式，可得，即．
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”．
于是，即的面积的最小值为．
法因为的平分线交于，且，
可得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以的最小值为．
16.【答案】；
分布列见解析，；
．
【解析】解：设从该地区的大学生随机抽取人，此人选择“视频创作”的事件为，
则．
因为抽取的人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
．
或，则
由可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得．
因此．
17.【答案】证明见解析； ．
【解析】解：证明：如图，在线段上取一点，使，
由已知，，且，
在线段上取一点，使，
由已知，，且，
所以，且，因此四边形为平行四边形，
所以，又平面，且平面，
所以平面．
由，，知．
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又，得，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.【答案】；
；(ⅱ)证明见解析．
【解析】解：若，，则，则，
，，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
由题，可得，定义域为，
则，
是的极小值点，则，
则，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，不满足题意；
若，令，可得，令，可得，
则在，上单调递减，在上单调递增，
是的极大值点，不满足题意；
若，则，
在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，可得，令，可得，
则在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，的取值范围为．
(ⅱ)证明：由题，
设，抛物线的对称轴为直线，
方程有两个正根，，，解得，
由题意知，得．
，，，
，
令，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，，
由，，得，
，，，则，
，，，
，即．
19.【答案】解：设圆的半径为，
点在圆内，且两圆相切
设，，
，
圆心的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆．分
，，，，，
曲线的方程为分
由可知，
设的斜率为，则直线方程为，直线方程为
由，得点坐标为分
由，得分
所以的斜率分
设的方程为，
由，得
则，
分
到直线的距离分别为分
到直线的距离分别为分
所以四边形面积分
又，所以四边形面积的取值范围是分

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