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专题01 实数及其运算（30题）
一、单选题
1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
5．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·天津·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
10．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题
12．（2025·浙江宁波·中考真题）的立方根是 ．
13．（2025·江西·中考真题）化简：
14．（2025·浙江·中考真题） ．
15．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ．
16．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
17．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”）
18．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
19．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
20．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
21．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ．
22．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
三、解答题
23．（2025·河南·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
24．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
25．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
26．（2025·新疆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
27．（2025·内蒙古·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
28．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
（2）计算：
29．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．
30．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
《专题01 实数及其运算（30题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A D D A C C B
题号 11
答案 C
1．A
本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
解：1. 确定数的正负性：
D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然，
故A选项大于B选项，
故选：A.
2．B
本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
3．B
本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
4．A
本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．
解：∵，
∴最小的数为；
故选：A
5．D
比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
6．D
本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数．
解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ．
圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ，
故选D．
7．A
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；
根据，可得，即可得到答案
解：∵，
∴，
∴估计的值在1和2之间，
故选：A
8．C
本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
解：设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
9．C
本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴的值在3和4之间；
故选C．
10．B
本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
11．C
本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
12．
根据立方根的定义即可求解．
解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
13．2
本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答．
解：∵，
∴．
故答案为2．
14．2
本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
解：，
故答案为：2．
15．
本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出．
解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
16．
本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
17．<
本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答．
解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
18．3（答案不唯一）
本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答．
解：∵，
∴，
∵，
∴整数可以是，
故答案为：3（答案不唯一）
19．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解．
解：∵
∴关于a的不等式组即
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为，
∴
解得：
故答案为：．
20． 2 11
本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
解；（1）∵，
∴15进行一次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行二次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为，
故答案为；11．
21．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．
解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形的边长为2，
，
∴面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形的边长为，
则，
……，
，
则的值为：，
故答案为：．
22．
本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：
．
23．（1）0；（2）1
（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
解：（1）
；
（2）
．
此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
24．(1)
(2)
本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
25．（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析
本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则；
（2）可求出，据此可得结论．
解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
26．(1)
(2)
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
27．(1)
(2)
本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可；
（2）利用分式的乘法的运算法则化简即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
28．（1）原计算第一步开始出错；；（2）
本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
29．（1）
（2），
（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可．
解：（1）原式
；
（2）
，
是使不等式成立的正整数，
且为正整数，
，2，3，
又，，
，3，，
，
当时，原式．
本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
30．（1）；（2），
本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可．
解：（1）原式
；
（2）
，
是使不等式成立的正整数，
且为正整数，
，2，3，
又，，
，3，，
，
当时，原式．

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