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专题02 有理数及其运算（33题）
一、单选题
1．（2025·广西·中考真题）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
3．（2025·甘肃平凉·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃平凉·中考真题）计算（ ）
A． B． C．-3 D．3
5．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数化为三进制数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
11．（2025·陕西·中考真题）计算：（ ）
A．1 B． C．9 D．
12．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·甘肃·中考真题）（ ）
A． B． C． D．3
14．（2025·甘肃·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·江苏苏州·中考真题）据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出品40317000万元，创历史同期新高，同比增长．数据40317000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·四川内江·中考真题）2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到字节，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·江苏连云港·中考真题）2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·四川遂宁·中考真题）统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
20．（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ）
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
二、填空题
21．（2025·黑龙江·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）中国年水资源总量约为亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将用科学记数法表示为 ．
23．（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ．
24．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
25．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ．
26．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ．
三、解答题
27．（2025·广西·中考真题）（）计算：
（）化简：
28．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
29．（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
30．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
（2）计算：
31．（2025·湖北·中考真题）计算：．
32．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
33．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．
材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
《专题02 有理数及其运算（33题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B B A B B A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B C D C B C C C B B
1．C
本题考查了科学记数法，将13000000用科学记数法表示，需满足形式（其中，为整数）．
解：确定和：将13000000的小数点从末尾向左移动位，得到，
此时，
故科学记数法为．
故选：C．
2．B
本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
3．C
本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其转换为的形式，其中，为整数．通过移动原数的小数点确定和的值．据此进行表示即可．
解：451420000000，
故选：C．
4．D
本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可．
解：；
故选 ：D．
5．B
本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
解：将数据用科学记数法表示应为．
故选：B．
6．B
本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．
解：；
故选B．
7．A
本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可．
将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数．
∵二进制数的各位权值从右到左依次为，
对应数值为：
∴二进制数对应的十进制数为 11．
将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”：
，余数为2；
，余数为0；
，余数为1．
将余数倒序排列，得到三进制数为．
故选：A．
8．B
本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解．
解：
故选：B．
9．B
本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可．
解：，
故选 ：B．
10．A
此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
11．B
本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答．
解：，
故选：B．
12．C
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：，
故选：C．
13．D
本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键．
解：，
故选：D．
14．C
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
解：．
故选：C．
15．B
本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法解题即可．
解：．
故选：B．
16．C
本题考查了科学记数法．将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数．
解：，
故选：C．
17．C
本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
解：
故选：C．
18．C
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，正确确定a与n的值是关键．
解：150亿用科学记数法表示为；
故选：C．
19．B
本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
20．B
本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中（ ）与（整数位数减 ）的确定是解题的关键．
先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式．
解：计算25马赫的速度：（米/秒）
用科学记数法表示：（米/秒）,
故选：B．
21．
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：157亿，
故答案为：．
22．
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
解：将数据用科学记数法表示为；
故答案为：．
23．
本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
解：，
故答案为：．
24．6
本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可．
解：，
故答案为：．
25．
本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案．
解：；
故答案为：．
26．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
解：4.6万；
故答案为：．
27．（）；（）
（）先算乘法，再进行加法运算即可；
（）先算乘法，再合并同类项即可；
本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键．
解：（）原式
；
（）原式
．
28．(1)
(2)，
(3)
本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
（1）解：，
答：该铜棒的伸长量．
（2）解：，
解得：，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．
（3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
29．（1）；（2）
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
解：（1）原式

；
（2）解：①+②，得，
．
将代入②，得，
．
所以原方程组的解是．
30．（1）原计算第一步开始出错；；（2）
本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
31．
本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
解；
．
32．(1)小明的猜想不正确，反例：
(2)见解析
(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是
（1）举反例即可；
（2）①当且时，可得，得，不合题意；
②当且时，可得，可得，得，即得．
（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．
（1）解：小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是，
本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
33．任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元．
任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解；
任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解；
任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．
解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；
任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，
∴最低购买费用为元，
答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元．

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