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专题09 一元二次方程及其应用（37题）
一、单选题
1．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
9．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
14．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
17．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
19．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ．
22．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
23．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
24．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ．
25．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
26．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
27．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
28．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
29．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ．
30．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
31．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
三、解答题
32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
33．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
34．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
35．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
36．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根．
(1)当时，求及m的值．
(2)求证：．
37．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
《专题09 一元二次方程及其应用（37题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B C C B A A D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B A C D A B D C C C
1．B
本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可．
设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即．
根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：．
故选B．
2．C
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
解：∵是方程的两个实数根，
∴．
故选：C
3．C
本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．
解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：
；
故选：C．
4．B
本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可．
解：对于方程，
其根的判别式为：，
∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得，
故选：B．
5．C
本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．
解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，
①当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，故①正确；
②当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
即当时，的最大面积为，故②错误；
③当点M在上时，
∵的面积为，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，的面积为；
当点M在上时，
∵，，
∴，即，
此时，
解得：，
∴当时，的面积为；
∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．
故选：C
6．C
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7．B
本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
解：设年平均增长率为x，
可得方程，
解得或（舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故选：B
8．A
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．A
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
解：一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．D
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案.
解：对于方程 ，设其根为和，
根据根与系数的关系：
∴，；
故选：D
11．B
本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
12．A
本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
解：设矩形的宽为，则矩形的宽为，
∴
故选：A.
13．C
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：C．
14．D
解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键．
解：选项A：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项B：
，，，
，有两个相等的实数根，不符合题意；
选项C：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项D：
，，，
，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
15．A
本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程．
解：设该书店每月盈利的平均增长率为，
由题意得： ，
故选：A．
16．B
此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可．
解：对于方程，其判别式为：
由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根．
故选：B
17．D
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围．
解：对于方程，其判别式为：，
方程有实数根需满足，即：，
解得；
故选：D．
18．C
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
19．C
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案．
解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故选：C．
20．C
本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故选：C．
21．
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．
解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：
22．/
本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
解：如图，设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为cm，
故答案为：．
23．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
24．
首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可．
解：根据题意得，四边形的面积
四边形面积
∵四边形的面积等于四边形面积的2倍
∴
整理得，
∴
设，
∴
解得或（舍去）
∴
故答案为：．
此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
25．
本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
26．
本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可．
解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
27．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
28．
本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
29．
本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
解：∵关于的方程的一个根是，
∴
解得：，
故答案为：．
30．/
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
31．10
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
先根据题意得到，，则将变形为，即可求解．
解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
32．，
本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
解：，
，
，
或，
∴，
33．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．
解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
34．(1)
(2)
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．
（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
35．(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
36．(1)，；
(2)详见解析．
本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可；
（）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
（1）解：把代入方程得，
∴ ，
∴，即，
解方程得，，，
故，；
（2）证明：方程可化为，
∵，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得，，
∵，
∵，
∴．
37．(1)
(2)①；②见解析
本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．
（1）解：二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
（2）①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数的表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．

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