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专题12 一次函数及其应用（44题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
3．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
9．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·湖北荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
14．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
15．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
16．（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ．
17．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ．
18．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ．
19．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可）
20．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
21．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ．
三、解答题
22．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
24．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元．
(1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元．
(2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是________．
②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________．
26．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
27．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间 1 6 18 50
小华离家的距离
②填空：小华从公园返回家的速度为____________；
③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
28．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
29．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
(1)求与的函数关系式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
30．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求的面积．
31．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
32．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
33．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
34．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
35．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
36．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
37．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
38．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
39．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
(1)求a与k的值；
(2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积．
40．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
41．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
42．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
43．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
44．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
《专题12 一次函数及其应用（44题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A B D B A A D
题号 11 12
答案 D C
1．A
本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解．
解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：，
由图象可代入得：，
解得：，
∴，
当，则
故选：A．
2．D
本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值．
解：∵ 一次函数的图象经过点，
∴ 将，代入解析式，得：
，
解得：，
故选：D．
3．A
本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．
解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
选项中只有3符合要求，
故选：A．
4．A
本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
解：设直线的解析式为，代入
∴
∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
5．B
本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答．
解：设过点，的直线解析式为，
把点，分别代入，
得，
∴，
∴，
∵过点，的直线向上平移3个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
当时，则，
即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；
当时，则，
即在直线上，故D选项不符合题意；
当时，则，
即在直线上，故C选项不符合题意；
故选：B
6．D
本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
7．B
本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
解：满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
8．A
本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
9．A
本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
10．D
根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
∵一次函数过，
把代入得，即．
又随的增大而增大，
．
选项A：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项B：点，代入得，
把代入得，
化简得，不满足，舍去．
选项C：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项D：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，满足．
综上，只有选项D符合条件，
故选：．
11．D
本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．
解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
12．C
观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．
解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，
∴图象过一、二、三象限，
故选C．
此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
13．
根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得．
解：当时，，
点的坐标是，
点在直线上，
设点的坐标是，
则点的坐标是，点的坐标是，
四边形是正方形，
，，
，
解得：，
的坐标是，
正方形的边长为，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
设点的坐标为，
则点的坐标是，点的坐标是，
，
四边形是正方形，
，，
，
解得：，
，
的坐标是，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
的坐标是，的坐标是，
，
的坐标是，点的坐标是，
，
，，
，
又四边形和均为正方形，
轴，轴，
，
，
，且相似比为，
，
当时，，
同理可证，且相似比为，
则，
，
．
故答案为：．
本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．
14．2（答案不唯一，满足即可）
本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可．
解：由题意，平移后的解析式为：，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴，
∴；
∴的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
15．0.8
本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量．
解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．
物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．
当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．
设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．
故答案为： ．
16．（答案不唯一）
本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可．
解：∵一次函数中随的增大而增大，
∴，
故可取．
故答案为：（答案不唯一）．
17．
本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键．
解：当时，，，
∵直线与直线的交点在轴上，
∴，
∴．
18．
本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故答案为：．
19．（答案不唯一）
本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可．
解：∵，
∴当时，，
∴点B的坐标可以为；
故答案为：（答案不唯一）
20．（答案不唯一）
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解．
解：当时，，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
21．/
本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解．
解：依题意，，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
设
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：．
22．(1)
(2)，
(3)存在，P点坐标为，或，或
（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答．
（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（不合），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
23．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)或
(3)点C坐标为或
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可求得；
（3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标．
（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或；
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
24．(1)每个篮球60元，每个足球50元
(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：
或或，（三个方程组任选一个即可）
解得：；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
（2）设蓝球有个，则足球有个
，
解得：，
设购买的总费用是元，
，
，
随着的减小而减小；
∵且为整数，
当最小值为4时，最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
25．(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
(2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元
(3)①；②或或
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：
（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；
（3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．
（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
由题意得
解得
答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元
（2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元
由题意得：
随的增大而减小
购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍，
解得
取正整数
当时，取最小值，（元）
此时
答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元
（3）①设的解析式为
将点，代入
得
解得
所以，的解析式为，
当时，
所以，甲车的速度为
②的解析式为
将点代入
得，解得
所以的解析式为
当函数的图象在函数上方时
可列方程
解得
当函数的图象在函数下方时
可列方程
解得
当甲车到达地，乙离目的地时，
可列方程
解得
综上所述，的值为：或或．
26．(1)
(2)
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可正确求解；
（1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解；
（2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解；
（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，令，则；
∴；
一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；
对于一次函数，令，则；
∴；
∴
∵，，
∴；
解得：．
27．(1)①②③
(2)
本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息．
（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；
②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；
③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；
（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．
（1）解：①小华去书店的速度为，
1分钟时小华离家的距离为；
由图可知18分钟时，小华离家的距离为；
50分钟时，小华离家的距离为；
故答案为：；
②小华返回家的速度为
故答案为：；
③由①得小华去书店的速度为，
∴当时，；
由图可知，当时，；
当时，假设直线解析式为，
将代入解析式得，
解得
∴；
综上，；
（2）解：如图所示，为妈妈的图形，
根据题意可知，小华妈妈的速度为，
所以其直线解析式为，
当时，
令，
解得，经验证，符合题意；
令，
解得，经验证，符合题意；
结合图形，当时，．
28．(1)，
(2)10
（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
29．(1)
(2)
该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令，求解即可．
（1）解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为．
（2）解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
30．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)8
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
（1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
（1）解：由题意得：将点代入得：，
所以反比例函数的表达式为；
将点代入可得：，
∴，
将点，代入得：，解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点，
将代入一次函数得：，解得，
∴，
∴，
由（1）已得：，，
∴的边上的高为，的边上的高为，
∴的面积为．
31．(1)；
(2)
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
32．(1)，
(2)
本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．
（1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案．
（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为，
令，则，
点B的坐标为；
（2）解：如图，过点C作，垂足为E，
，，
，
令，则，
，
点D的坐标为，
点C的坐标为，
点C在一次函数的图象上，
，
解得．
33．(1)；
(2)，．
本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解．
（1）解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
∴
∴直线的解析式为，
∵点是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式，
解得或，
∵，
∴．
34．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
35．(1)
(2)
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解；
（2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解；
（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，令，则；
∴；
一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；
对于一次函数，令，则；
∴；
∴；
解得：
36．（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断；
（2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解；
（3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到；
（4）根据题意得，，令，解方程即可求解．
解：（1）①对于，
由于，
所以不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于，代入点，
得，
解得，
所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：③；
（2）∵一次函数是“不动点函数”，
∴代入点，
得，
整理得，
当即且时，为任意实数；
当即时，；
（3）由抛物线得，
顶点坐标为，
∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴；
（4）根据题意得，，
∴令，
整理得，
解得，，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键．
37．(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
(2)点，直线l平移的距离为．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可．
（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
（2）解：作一三象限的角平分线，如图，
∵，∴，
根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称，
∴，
作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，设直线l向上平移个单位经过点，
∴平移后的直线为，
∴，
解得，
∴直线l平移的距离为．
38．(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为．
(2)点P的坐标为或
（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可．
（2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可．
（1）解：把代入反比例函数，则，
则反比例函数解析式为：，
把代入，
则，
∴，
再把，代入，
则，
解得：，
则一次函数的解析式为：．
（2）解：令时，则，
∴，
∵点D与点A关于点O对称，
∴
设点，
∵，
∴
又∵，，
∴，，，
∵与相似，，
∴分两种情况：或，
当时，
即，
解得：，
此时，点，
当，
即，
解得：，
此时，
综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键．
39．(1)，
(2)16
本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键．
（1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可；
（2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
40．(1)；
(2)
(3)
本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围；
（3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解．
（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
41．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)点的坐标为或
本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据即可求解．
（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
42．(1)，；
(2)或
此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可．
（1）解：设反比例函数解析式为，
∵经过点，
∴．
∴反比例函数为，
∵在图象上，，
∴，
设一次函数解析式为，
∴，解得，
∴一次函数为；
（2）解：∵轴，
∴，，
∵，
∴，
解得：或或或
∵点在第二象限，
∴或．
43．(1)；
(2)
(3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则．
（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为；
（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则，
由轴对称的性质可得；
∵，，
∴，
∴的周长，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为．
44．(1)
(2)
(3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可；
（2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可；
（3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案.
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.

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