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专题14 二次函数的图象与性质（30题）
一、单选题
1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
5．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
12．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
15．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若且，则
D．若两点都在抛物线的图像上，则
二、解答题
17．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
18．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
19．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
21．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
22．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1)求，的值．
(2)当点在线段上时，求的最大值．
(3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个．
23．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线．
①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________．
24．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为．
(1)求，的值．
(2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．
①求的值；
②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
25．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
26．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
27．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
28．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．
①若，且，比较与的大小；
②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
29．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
(1)当、时，求此函数图象的对称轴；
(2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
30．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
(3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
《专题14 二次函数的图象与性质（30题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D C A B A B C
题号 11 12 13 14 15 16
答案 B D B D D D
1．C
本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选C．
2．B
本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
3．C
本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解．
解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
4．D
本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
5．C
本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案.
解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
由函数的图象可得：当时，，即，
即，故结论②错误；
∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B，
∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个，
故选：C.
6．A
本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
7．B
题目主要考查二次函数的性质，与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可．
解：∵抛物线过点和（），
∴设抛物线为，
∴，
∴，，
∵且，
∴，，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，结论②错误；
∵抛物线与直线的交点满足，
∴解得或，
若点为，对称点的横坐标为（为对称轴），
∴，
∵，
∴；
但若点为另一交点，其横坐标可能远离对称轴，导致超出范围，结论③不一定成立，错误；
当时，方程的根为和，
即，
∵，
∴不等式的解集为，结论④正确．
综上，正确结论为①④，共2个，
故选：B．
8．A
本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
9．B
先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④．
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，
∴此时，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴当时，，故①正确；
当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，故②错误
在中，当时，解得或，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③错误；
∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
点P在上运动时，
函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10．C
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
解： 二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
11．B
本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
12．D
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；当时，，当当时，则原函数解析式为，则当时，，据此可判断C．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
当时，则原函数解析式为，
当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
13．B
证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合y关于x的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可.
解：∵，，是角平分线．
∴，，设，
∴，
如图，在上取点，使，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵y关于x的函数图象过点，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴该图象上最低点的坐标为；
故选：B
本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键.
14．D
由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意.
解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，
∴，，，
∴，故①符合题意；
∵顶点的坐标为，
∴当时，最大，
当时，，
∴，
∴，故②不符合题意；
∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴，故③符合题意；
如图，为等边三角形，
∴，，，，
∴，
记的横坐标分别为，
∴，
∴，
当，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D
本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键.
15．D
本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解.
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
16．D
本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项A，B正确，不符合题意；
∵且，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴；故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若两点都在抛物线的图像上，
∵，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
17．(1)
(2)；见解析
(3)或
本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分两种情况解答，即可求解．
（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，n的值为或．
18．(1)，，
(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
(3)
（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
19．(1)，
(2)存在，或
本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解；
（2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
20．(1)
(2)
(3)8
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
21．(1)
(2)①；②
本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解；
②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为．
（1）解： ，
∴该抛物线的解析式为，
，
∴该抛物线顶点的坐标为；
（2）①∵点在抛物线上，
∴，即，
又，点，
，
∴抛物线解析式为，
如图，点在第四象限，过点作轴于点，
，
∴，
，
∴．
∴，
又，
∴，
，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
整理得，，
解得
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
②∵，
∴，
在轴上点的左侧取点，使，连接．
，得．
，
．
∴，则．
在中，根据勾股定理，，
．
∴．
．
又点，得．
．即
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．
将代入，得．
解得（舍）．
∴．
点．
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段可以看作是由线段经过平移得到的，
点的坐标为．
22．(1)，
(2)
(3)2，0，4，无数
本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解；
（2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可．
（1）解：对于二次函数，当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵二次函数的图象（记为）经过点，
∴，
解得：
∴，；
（2）解：∵，，
∴二次函数解析式为，
∵直线与轴垂直，
∴，，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，取得最大值为；
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，
∵，
设直线表达式为：，
代入点，
则，
解得：，
∴直线表达式为，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
即，
同理可得，
∴当时，，
整理得：，
∴或，
对于，；
对于，，
∴当时，对应的t值有2个；
当时，，方程无解，
∴对应的t值有0个；
当时，
整理得：，
∴或，
对于方程，，
对于方程，，
∴当时，对应的t值有4个；
当时，
∵，，
∴始终成立，
∴当且时，始终成立，
∴当时，对应的t值有无数个，
故答案为：2，0，4，无数．
23．(1)，
(2)①；②
(3)或
（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标；
（2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答；
②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答．
（3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答．
（1）解：对于抛物线，令，则，
∴，
∵点C向右平移2个单位长度，得到点D，
∴，
∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴抛物线的顶点E的坐标为．
（2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值．
对于抛物线，令，则，
解得，，
∴，
设过点，的直线解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∵点F在射线上，，，
∴，
∴由点，可得直线的解析式为，
解方程组得，
∴当的值最小时，点M的坐标为；
②∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
连接，，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴轴，即，
∴，
∴．
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为．
（3）解：①当点P在x轴上方时，
取点，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴．
过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴在中，，
∵对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当点P在x轴下方时，由对称性可得．
综上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键．
24．(1)
(2)①3；②或．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案；
②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可．
（1）解：∵抛物线过，，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线得解析式为，
∴点P的坐标为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴；
②∵，，
∴轴，即，
∴当四边形是直角梯形时，只有或，
如图2-1所示，当时，
∵点C的坐标为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
如图2-2所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点Q作轴于H，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或．
本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)见解析
本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可；
（2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可；
（3）根据当时，，即可证明．
（1）解：因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
（2）解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．
26．(1)
(2)①；②见解析
本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．
（1）解：二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
（2）①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数的表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．
27．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
28．(1)对称轴是直线
(2)；，
本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值．
（1）解：由题意得，将点代入得，
，即，
所以，
故所求抛物线的对称轴是直线．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为．
又，
故．
因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以．
于是，
故．
②由题意知，，．
∵，
∴．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，．
故，即．
于是．
依题意知，是与无关的定值．
则，解得．
经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．
所以，．
29．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答；
（2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出，然后代入进行求解即可．
（1）解：当、时，二次函数可化为：，
∴此函数图象的对称轴为．
（2）解：当时，二次函数可化为：，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴抛物线开口方向向上，
∵在时，y随的增大而减小；
∴，
∵在时，随的增大而增大；
∴，
∴．
（3）解：∵若点，，均在该函数的图象上，
∴，
，
∴
；
；
∵，
∴，整理得：
∵，为两个不相等的实数，
∴，
∴，解得：．
30．(1)
(2)
(3)或或或
（1）直接由待定系数法即可求解；
（2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解．
（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，顶点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：由（2）得顶点，设，
由旋转得，
当时，
过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
∴或；
当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
或，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或．
本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型．

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