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专题15 二次函数的实际应用（26题）
一、单选题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
9．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若且，则
D．若两点都在抛物线的图像上，则
10．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
12．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
14．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
18．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
21．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
三、解答题
22．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
23．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：；
(3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值．
24．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．

(1)若，，，则四边形的面积为___________；
(2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
(3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
25．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
26．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1)求，的值．
(2)当点在线段上时，求的最大值．
(3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个．
《专题15 二次函数的实际应用（26题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B C D D D C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D C A D A A A B B B
1．B
本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
2．A
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方，
∴抛物线与直线两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
3．C
本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解．
解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
4．C
本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案.
解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
由函数的图象可得：当时，，即，
即，故结论②错误；
∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B，
∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个，
故选：C.
5．B
题目主要考查二次函数的性质，与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可．
解：∵抛物线过点和（），
∴设抛物线为，
∴，
∴，，
∵且，
∴，，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，结论②错误；
∵抛物线与直线的交点满足，
∴解得或，
若点为，对称点的横坐标为（为对称轴），
∴，
∵，
∴；
但若点为另一交点，其横坐标可能远离对称轴，导致超出范围，结论③不一定成立，错误；
当时，方程的根为和，
即，
∵，
∴不等式的解集为，结论④正确．
综上，正确结论为①④，共2个，
故选：B．
6．C
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
解： 二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
7．D
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；当时，，当当时，则原函数解析式为，则当时，，据此可判断C．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
当时，则原函数解析式为，
当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
8．D
由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意.
解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，
∴，，，
∴，故①符合题意；
∵顶点的坐标为，
∴当时，最大，
当时，，
∴，
∴，故②不符合题意；
∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴，故③符合题意；
如图，为等边三角形，
∴，，，，
∴，
记的横坐标分别为，
∴，
∴，
当，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D
本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键.
9．D
本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项A，B正确，不符合题意；
∵且，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴；故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若两点都在抛物线的图像上，
∵，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
10．C
本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．
解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，
①当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，故①正确；
②当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
即当时，的最大面积为，故②错误；
③当点M在上时，
∵的面积为，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，的面积为；
当点M在上时，
∵，，
∴，即，
此时，
解得：，
∴当时，的面积为；
∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．
故选：C
11．D
本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
12．C
首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可．
∵抛物线开口向上
∴
∵对称轴为直线
∴
∵抛物线与y轴交于负半轴
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为直线
∴
∵在抛物线上
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将代入
将，代入得，
∴
∵
∵对称轴为直线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是钝角三角形，故③正确；
∵
∴当时，，
∴方程转化为
解得；
∴当时，，
∴方程转化为
解得或6；
∵方程的两根为、
∴，，故④正确．
综上所述，其中正确结论有3个．
故选：C．
此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
13．A
本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
14．D
本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解.
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，点，当时，
∴抛物线的对称轴是直线，，，
故结论③④正确；
∴，即，，
故结论②正确；
∴，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
15．A
分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
解：当点E在上时，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；
当点E在上且l与相交时，作，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为直线一部分；
当点E在上且l与相交时，如图，
，，，
，
，
，
此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；
故选A．
本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．
16．A
本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
17．A
本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，二次函数的图象与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
解：，，
．
∵矩形，
∴，
，
．
，
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：A．
18．B
本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
解：∵，
∴当时，；
故选：B.
19．B
本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
解：，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
20．B
先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④．
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，
∴此时，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴当时，，故①正确；
当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，故②错误
在中，当时，解得或，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③错误；
∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
点P在上运动时，
函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
21．
本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
22．(1)
(2)①；②见解析
本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．
（1）解：二次函数的图象的对称轴为．
因为点在该函数的图象上，
所以，
所以，
所以．
（2）①由（1）可得，，
所以该函数的表达式为，
函数图象的顶点坐标为．
因为函数的最大值为，
所以，且，
解得，或（舍去）．
所以该二次函数的表达式为．
②因为点在函数的图象上，
所以．
由①知，点关于直线对称，不妨设，
则，即．
所以
，
所以．
23．(1)
(2)见解析
(3)时，的最大值为
（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出；
（3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：将代入得，
，
解得：
∴
（2）证明：设直线的解析式为，代入得，
∴
∴直线为，
∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上，
∴，，，
①当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当时，，
∴，
∵，即，
∴，即，
（3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，即
又∵
∴
∵的解析式为
∴，
又∵
∴
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
当时，有最大值为．
本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)，最大为
(3)是，
（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果；
（2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果．
（1）解：∵，，，
∴四边形的面积
；
（2）∵在中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当四边形的面积最大时，的面积最大，
过点作，过点作，则：，
∵四边形的面积
∴四边形的面积最大，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）直线是过定点：
由（2）知：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴为的中点，
∵过点的直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴直线：，
即：，
，
∴当，即：时，，
∴直线过定点．
本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；
（3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解．
26．(1)，
(2)
(3)2，0，4，无数
本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再将代入，解方程组即可求解；
（2）表示出，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，可求直线表达式为，则，表示出，，可得均为等腰直角三角形，则，，然后分别计算每一种情况即可．
（1）解：对于二次函数，当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵二次函数的图象（记为）经过点，
∴，
解得：
∴，；
（2）解：∵，，
∴二次函数解析式为，
∵直线与轴垂直，
∴，，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，取得最大值为；
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，即直线与直线交于点，
∵，
设直线表达式为：，
代入点，
则，
解得：，
∴直线表达式为，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
即，
同理可得，
∴当时，，
整理得：，
∴或，
对于，；
对于，，
∴当时，对应的t值有2个；
当时，，方程无解，
∴对应的t值有0个；
当时，
整理得：，
∴或，
对于方程，，
对于方程，，
∴当时，对应的t值有4个；
当时，
∵，，
∴始终成立，
∴当且时，始终成立，
∴当时，对应的t值有无数个，
故答案为：2，0，4，无数．

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