资源简介

2024-2025学年高一下学期期中模拟试题（四）
测试范围：人教A版第5、6、7章（三角函数+平面向量+复数）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（ ）
A．2 B． C． D．1
2．已知复数在复平面内对应点在射线上，且，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在梯形中，，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．.
7．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
8．在正方形中，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知向量，，，设，所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
11.．已知为锐角，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设为实数，满足、、构成一个钝角的三边长，则的取值范围为 ．
13．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为 .用表示
14．已知的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，，，，则的面积的最大值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
16．（15分）已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
17．（15分）已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
18．（17分）已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
19．（17分）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；
(1)若，判断的形状并说明理由；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
试卷第4页，共4页2024-2025学年高一下学期期中模拟试题（四）答案+解析
答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A D A B B B C BCD ABD AC
12． 13． 14．
15. 解：（1），．…………………6分
（2）．………………………………13分
16. 解（1）.………………………………………7分
（2）的周长为.…………………………………15分
17. 解 （1）或．………………7分
（2）.………………………………………………15分
18. 解 （1），.…………4分
（2）在上单调递增，在上单调递减，
在上的值域为.…………………11分
（3）的取值范围是.……………………………… 17分
19. 解 （1）是等边三角形. ………………………8分
（2）的取值范围是.…………………… …17分
详解：1. D. 解析 设外接圆半径为，根据正弦定理可得，
所以，即外接圆半径为.
2. A 解析 不妨设，则，可得，，因此，复数的虚部为.
3. 答案 D
解析 由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．
4. 答案 A 解析 根据题意，当时，向量，，
则，有，则有，
反之，若，则，
则，解可得或1，不一定成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
5. 答案 B 解析 因为，
所以，又因为，
所以，，.
6. 答案 B 解析 ∵，
∴.
7. 答案 B 解析 因为，，
故，由于在上，所以，故，
则，又，，，
所以，则
.
8. 答案 C 解析
建立平面直角坐标系，设正方形的棱长为，
因为，则，，，，
所以，，
所以.
9. 答案 BCD
解析 对于A选项，，所以，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.
10. 答案 ABD
解析 向量，
由，可得
即，解得 ，所以A正确.
，所以
又，所以，所以D正确,C不正确.
,则，故B正确.
11. 答案 AC
解析 由已知，所以，
则，因此是方程的两根，
解得．当时，因为，所以，此时不存在，
故，，，则，
因为均为锐角，所以，．故选AC.
12. 答案
解析 设的内角为最大角，则，
再由三角形三边关系可得，解得，
所以，，解得.
13. 答案
解析 ∵夹角为，，
∴，
∴所以向量在向量方向上的投影向量为.
14. 答案
解析：的面积，
如图，过作的平行线，交于点.
在中，，，，.
由余弦定理，得，
所以，
当且仅当时，的最大值为，
故的面积，最大为.
四、解答题
15. 解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．…………………………6分
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．…………………………13分
16. 解析（1）由，得，
由正弦定理，得，
由于，所以.
因为，所以.…………………………7分
（2）由余弦定理，得，
又，所以.①
又的面积为，即，即，即.②
由①②得，
则，
得.所以的周长为.…………………………15分
17. 解 （1）设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．…………………………7分
（2）由，得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.…………………………15分
18. 解 （1）依题意，.……4分
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以在上的值域为.…………………………11分
（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，
而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.…………………………17分
19. 解 （1）是等边三角形.理由如下：
在中，由得：，
由余弦定理得，即，
由正弦定理及，得，即，
而及，则或，
当时，即，有，此时，所以是等边三角形；
当，即时，，有，与矛盾，
所以是等边三角形. …………………8分
（2）由（1）知，，由余弦定理得，为锐角，而是锐角三角形，则，得，
，得，因此，
，令，则，
对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当或时，，于是，
因此，即有，
所以的取值范围是.…………………………17分
试卷第2页，共7页

展开更多......

收起↑