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专题17 几何图形初步及相交线、平行线（40题）
一、单选题
1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南·中考真题）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川宜宾·中考真题）下列立体图形是圆柱的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ）
A．安 B．全 C．校 D．园
10．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A．B． C． D．
11．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·四川达州·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．平行四边形是轴对称图形
C．若有意义，则x的取值范围是全体实数
D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
13．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
16．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　）
A． B． C． D．
22．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·湖北·中考真题）数学中的“”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·四川德阳·中考真题）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
29．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·云南·中考真题）如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为 ．
32．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
33．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
34．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ．
35．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为 ．
36．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
37．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ．
三、解答题
38．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
39．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：．
40．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
《专题17 几何图形初步及相交线、平行线（40题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D A D A B B B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D A D B A B A D C B
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 A C D C B C D A C D
1．C
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键．
由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答．
解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选C．
2．C
此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案．
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
3．A
本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答．
解：∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
4．D
本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
5．A
根据几何体形成的基本原理解答即可．
本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键．
解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故选：A．
6．D
本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键．
根据立体图形的特点逐一识别即可．
解：A：此图为球，故不正确；
B：此图为圆锥，故不正确；
C：此图为圆台，故不正确；
D：此图为圆柱，故正确；
故选：D．
7．A
本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，
利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意；
B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意．
故选：A．
8．B
本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解．
解：已知，则的余角为，
故选：B．
9．B
本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”．
故选：B．
10．B
本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键；
根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可．
解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
11．D
本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键．
先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ．
解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ．
∴
故选：D ．
12．A
本题考查了两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键；
根据两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线定理等知识逐项判断即可得解.
解：A. 两点之间线段最短，故本选项说法正确；
B. 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项说法错误；
C. 若有意义，则x的取值范围是，故本选项说法错误；
D. 三角形的中位线将三角形分成两部分，其中小三角形和四边形的面积比为，故本选项说法错误；
故选：A.
13．D
本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解，
解：由作图可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
14．B
本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出，结合图形即可求解．
解：∵
∴，
∵，
∴，
故选：B．
15．A
本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可．
解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短．
故选：A
16．B
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
17．A
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后的度数，然后用旋转前的度数减去旋转后的度数即可得到木条旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转后的度数是解题的关键．
解：如图2所示，
，
旋转后的，
要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是．
故选：A．
18．D
本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．
解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
19．C
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
20．B
本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可．
解：∵，
∴，；
故选B．
21．A
此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
如图所示，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
22．C
本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选C
23．D
此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，再由对顶角相等得到即可．
解：如图，
∵，两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
∴，
故选：D
24．C
本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可．
解：由量角器可知，，
，
即所量内角的度数为，
故选：C．
25．B
本题考查了平行线的性质．直接根据平行线的性质作答即可．
解：∵，，
∴
故选：B．
26．C
此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解．
解：如图：
由题意得，，
∴，
∴
故选：C．
27．D
此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质；
根据两直线平行，内错角相等，即可解答．
解：如图，
∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴，
∴，
故选：D．
28．A
本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解.
解：根据题意可得：平分，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A.
29．C
本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案.
解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
30．D
本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．
解：∵，
∴，
故选：D．
31．
本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出.
在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值.
解：在上取点，使，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当在上时，取最小值，为.
故答案为.
32．/
本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
解：如图，设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为cm，
故答案为：．
33．
本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
34．
本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ．
根据两直线平行，内错角相等即可求解．
解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
35．
此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
由翻折得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为．
36．/0.75
本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为．
解：如图所示，过点作于，
在中，，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当有最小值时，有最小值，
∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
37．
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键．
由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答．
解：∵在中，，，，
∴，
如图，设与交于点O，过O作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴、
∴当线段长最小，则线段的长最小，
由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小；
∵，
∴，解得：．
∴线段长最小为．
故答案为：．
38．作图见解析
本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可．
解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
39．见解析
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行得到，再证明即可．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
40．(1)见解析
(2)11
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可；
（2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

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