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专题18 三角形及全等三角形（40题）
一、单选题
1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
3．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
11．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
12．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）．
A． B． C． D．
14．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
15．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
16．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
18．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，
20．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ．
21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的圆周角，，则 ．
22．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是
23．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
24．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．

25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ．
26．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
27．（2025·湖南·中考真题）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是 ．
三、解答题
28．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作出的中点；
(2)在图2中作出的重心．
29．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
30．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
31．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
32．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为________度，最大值为________度；
②面积的变化情况是（ ）
A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小
(2)当时，求的面积．
33．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
34．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
(1)求的度数；
(2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
35．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践
如图，在边长为8的正方形中，作射线，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形，连接交射线于点，连接．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断与的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若，请你用含的代数式直接写出的正切值________．
【用数学的语言表达】
（3）设，正方形的面积为．请求出与的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
36．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．

(1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
(2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
37．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
38．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
39．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上．
(1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由．
40．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．
《专题18 三角形及全等三角形（40题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D C D B A C A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 C A A D C B C C
1．B
本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识；
根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可.
解：∵的中线交于点F，
∴，
∴，，故D选项结论正确；
∴，，
∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误；
故选：B.
2．B
本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
3．B
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
4．D
本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
解：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明的大小关系，
∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；
故选：D
5．C
该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可．
解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
6．D
本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵折叠
∴
∴
∵，即
∴，故A不正确
∵
∴，故B不正确
∵折叠，
∴
∵，故C不正确，D选项正确
故选：D．
7．B
本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴
故选：B．
8．A
本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出．
解：∵，，
∴，
∵，
，
∴；
故选：A．
9．C
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案．
解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
如图所示，设交于O，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
10．A
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：A．
11．C
本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．
容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误．
解：如图1，过点作，交于点，
∵在正方形中，
∴，，，，
∴、是等腰三角形，
又∵，，
∴，
∴，，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，，
∴，故结论②正确；
∴，即是等腰三角形，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故结论①正确，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确，
过点作，如图2；
设，由可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论④正确，
∵，，
∴不一定等于，，
∴ 不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选C．
12．A
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．
解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
13．A
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．
解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
14．D
本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得．
解：如图，连接，交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
15．C
本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可．
解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形的周长为，
解法二：
∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴菱形的周长为，
故选：．
16．B
本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故选：．
17．C
本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
18．C
本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可.
解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，而，
∴，
∴，
故选：C
19．/70度
本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解．
解：∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵、是圆O的切线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．
本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案．
解：∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：．
21．
本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
解：∵是的圆周角，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
22．或或
本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数．
解：①当与的夹角为时，
即,如图：
，,
,
,
;
②当与的夹角为时，
即,如图：
，,
,
,
;
或，如图：
，,
,
,
;
综上，的度数可以是或或．
故答案为：或或．
23．6或8或9
本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
解：过点D作交于点E，
①当时，如图（1），
∵是等边三角形，，
∴，，即是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
②当时，如图（2）
同理可得，，
∴，即，
∴，
∴．
③当时，如图（3）
同理可证，
∴
∴．
∴．
④当时，如图（4）
同理可证，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
24．/
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求．
解：过点作垂线交于点，即
，即是的垂直平分线，
∵，
在同一线上，
，
故答案为：．

25．
此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案．
解：连接，
由作图可知， 垂直平分，
∴，
∵点N恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
26．5
如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出．
解：如图，在中，，，，
则，
∵是等边三角形，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的平分线交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴直线和直线重合，
即点在上运动，
∵的面积，
则最大时，的面积最大，
根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大，
此时，如图，
则，
∴，
∴，
故答案为：5．
该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键．
27．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是的中位线，则可得到．
解：由作图方法可得垂直平分，
∴点D为的中点，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
28．(1)见解析
(2)见解析
本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义．
（1）利用矩形的性质即可作出的中点；
（2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形．
（1）解：如图，点即为所作；
；
（2）解：如图，点即为所作；
．
29．(1)详见解析
(2)
本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用证明全等即可；
（2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求．
（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
30．信号杆的高为
本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答．
解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
31．(1)
(2)见解析
本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明．
（1）解：∵与相切与点，
∴，
∴，
∵，
∴;
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
32．(1)①，；②C．
(2)
（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答；
（2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可．
（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值；
当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值．
∵，，
∴，即有最大值为．
故答案为：，．
②由特殊情况分析：点与点重合时，；
过没有点的限制，点与点重合时，；
∴面积的变化情况是先增大后减小．
故选：C．
（2）解：如图2，过N作延长线于G
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平方米）．
本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键．
33．(1)；
(2)．
本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可；
（2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
34．(1)
(2)
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案；
（2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则.
（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
35．（1），理由见解析；
（2）；
（3）与的函数解析式为．
（1）由正方形的性质，得出线段之间的数量关系和角之间的数量关系，综合应用全等三角形的判定和性质即可确定与的位置关系；
（2）由正方形的性质，可得线段之间的位置关系，综合应用相似三角形的判定和性质，可得边之间的比例关系，化简整理即可；
（3）根据点的位置变化，进行分类讨论，应用勾股定理即可得出每种情况下正方形的面积，对各种情况所得结果进行整理即可．
（1）解：
理由：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）解：当点在对角线上时，如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点在上，点在上时，如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点在对角线的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
综上所述，，
答：与的函数解析式为．
本题考查正方形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形全等和相似的判定定理，会用分类讨论的思想方法解决问题．
36．(1)①，理由略；②
(2)
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证；
②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，

由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
37．(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；
（2）同（1）思路即可求解．
（1）①证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
②解：，理由如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
38．(1)
(2)，理由见解析
(3)
本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案；
（2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案；
（3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案．
（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
39．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论；
（3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论．
（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
当点E与点A重合时，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵正方形，
∴，
∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3），理由如下：
由（2）可知：，
∴，，
作于点，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∵，
∴．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
40．见解析
本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论．
证明：，
．
在和中，
，
，
．

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