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惠州一中2026届高二（下）4月阶段考试（A）卷
考试时长：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，定义，，则中元素个数是( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
3.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )
A. B. C. D.
4.函数，，若，，，则，，的大小为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设，是一个随机试验中的两个事件，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.下列关于数列的判断中正确的是( )
A. 对一切都有
B. 对一切都有
C. 对一切都有，且存在使
D. 对一切都有，且存在使
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有名学生和名教师排成一排，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的排法
B. 当名教师相邻时，共有种不同的排法
C. 当名教师不相邻时，共有种不同的排法
D. 当名教师不排在两端时，共有种不同的排法
10.如图，直线与半径为的圆相切于点，射线绕着点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆于点，设，且恒满足，射线扫过圆内部阴影部分的面积为，则下列正确的是( )
A. B. 的单调递增区间为
C. 点为的对称中心 D. 在瞬时变化率最大
11.将，，，，，填入行列的表格中，每格填一个字母，若随机变量表示列字母相同的数量，则( )注：横为行，竖为列
A. 的所有可能取值有，， B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为，则 ．（用数字填写答案）
13.已知某次数学测试卷中有道选的单选题，学生小明能完整做对其中道题，在剩下的道题中，有道题有思路，还有道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从个选项中随机选一个答案．小明从这题中任选题，则他做对的概率为 ．
14.已知有穷数列的首项为，末项为，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列．
Ⅰ求和
Ⅱ若，求数列的前项和．
16.本小题15分
甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有个大小和质地相同的球，其中有个白球，个红球．
甲、乙先后不放回地各摸出个球，求两球颜色相同的概率；
甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为，求的分布列和期望．
17.本小题15分
函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
若，求
求的取值范围．
18.本小题17分
如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．
求的值；
求证：数列是等比数列
求
19.本小题17分
已知函数．
当时，求函数的单调区间
若有个零点，，，其中．
求实数的取值范围
求证：．2026届高二（下）4月阶段考试（A）卷答案
1.【答案】
解：，，故有种取法，有种取法，
由分步乘法计数原理得元素个数是．故本题选B．
2.【答案】
解：的展开式的通项公式为，令，求得，
可得常数项为 ，故选：．
3.【答案】
解：由题意可得，从该地市场上买到一个合格产品的概率是．
故选B．
4.【答案】C
解：函数，，则，
函数在上单调递增，
，，，
，
，即，故选C ．
5.【答案】
解：已知，因为，令，得，或，
且当时，，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，所以选项A符合题意，
故选：．
6.【答案】C
解：因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，所以．故选：C ．
7.【答案】C
解：，
，
函数恰有一个极值点，
只有一个解，即只有一个解，
只有一个解，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
又当时，，当时，，
故选：C．
8.【答案】
解：我们先证明一个不等式：．
证明：要证，即证，
即证：，
由均值不等式可得，
故不等式成立；
我们再证明一个不等式：．
证明：由二项式定理可得，
而当时，，
故，
故；综上所述，故A正确，BCD错误，故选：．
9.【答案】
解：名学生和名教师排成一排，则共有种不同的排法，故A正确；
先排名学生，有种排法，将两名教师相邻排列，有种排法，然后将两名教师这一整体，插到三个学生形成的四个空中的一个空，则有种排法，故当名教师相邻时，共有种不同的排法，故B错误；
由上述分析可知，当名教师不相邻时，共有种不同的排法，故C正确；
当名教师不排在两端时，先从名学生中选两名排到两端，则有种排法，然后将两名教师及剩余的一名学生进行全排列有种排法，故共有种不同的排法，故D错误．故选：．
10.【答案】
解：对于，因为
，故A正确；
对于，因为，故的单增区间为，故 B错误；
对于，因为，
所以点为的对称中心，故C正确；
对于，因为，故在瞬时变化率最大，故D正确．故选：．
11.【答案】
解：对于，若列字母相同，余下的一列字母一定相同，故的取值不可能为，所以的所有可能取值有，，，故A正确；
对于，将，，，，，放入行列的表格中，每格一个字母的总填法有，每列字母均不相同的填法有，所以，故B正确
对于，，由的所有可能取值为，，，，，
结合期望与方差公式得，，故C正确，D错误．故选ABC．
12.【答案】
解：展开式的通项为，
令，则，所以，即，解得，故答案为．
13.【答案】【答案】
解：设事件为“小明选到能完整做对的题”，事件为“小明选到有思路的题”，事件为“小明选到没有思路的题”，事件为“小明答对该题”，
则，，，，，，
．故答案为．
14.【答案】
解：依题意，首项和末项相差，而任意相邻两项之间满足，，
当时，即后一项与前一项的差均为，数列的个数为；
当时，即后一项与前一项的差出现一个，九个，数列的个数为；
当时，即后一项与前一项的差出现两个，七个，数列的个数为；
当时，即后一项与前一项的差出现三个，五个，数列的个数为；
当时，即后一项与前一项的差出现四个，三个，数列的个数为；
当时，即后一项与前一项的差出现五个，一个，数列的个数为，
所以符合上述要求的不同数列的个数为．故答案为：．
15.解：设已知数列的公差为，则，
由，得，
所以 ………………………2分
所以 ………………………4分
………………………6分
由知，
又，所以 ………………………9分
……………11分
所以． ………………………13分
16.解：两球均为白球的概率为， ………………………2分
两球均为红球的概率为， ………………………4分
故两球颜色相同的概率． ………………………5分
由题意知，，，． ………………………6分
， ………………………7分
， ………………………8分
， ………………………10分
，
………………………12分
另法：
………………………12分
所以的分布列为：
………………………14分
所以所求数学期望． ………………………15分
17.解：，
，且
故在点处的切线方程为 ………………………3分
又与相切，
将直线代入得
由
得 为所求 ………………………6分
，曲线在点处的切线方程为
，即 ………………………8分
由得，
设在点处的切线方程为，
即，
． ………………………10分
令，则
当或时，，此时函数单调递减
当或时，，此时函数单调递增
又，，，
………………………13分
，解得
故实数的取值范围为. ………………………15分
18.解：依题意，每一个顶点有个相邻的顶点，其中两个在同一底面．
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， ………………………1分
在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， ………………………2分
所以 ………………………3分
． ………………………5分
因为， ………………………7分
所以 ………………………8分
又因为，所以， ………………………9分
所以数列是等比数列． ………………………10分
因为，
所以，所以． ………………………11分
设，
则，
则，
所以，
所以，
所以． ………………………14分
又因为， ………………………16分
所以． ………………………17分
19.【答案】解：当时，，
， ………………………2分
则在恒成立，
所以在单调递增， ………………………3分
故的单调递增区间为，无单调递减区间． ………………………5分
，
………………………6分
，，则除外还有两个零点．
，
令，
当时，在恒成立，则，所以在单调递减，不满足，舍去
………………………7分
当时，要是除外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得
………………………8分
当时，设的两个零点为，，则，，
所以
当时，，，则单调递增
当时，，，则单调递减
当时，，，则单调递增
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有个零点，，．………………11分
综上，实数的取值范围为 ………………………12分
因为，
所以若，则，所以． ………………………13分
当时，先证明不等式恒成立，设，
则，
所以函数在上单调递增，于是，
即当时，不等式恒成立． ………………………15分
由，可得，因为，
所以，即，两边同除以，
得，
所以 ………………………17分

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