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专题16 二次函数解答题压轴题（32题）
一、解答题
1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标；
(3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________；
(4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________．
4．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
5．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：；
(3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值．
6．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
7．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
(1)求的值；
(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长．
8．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
9．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
10．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
(1)求，的值及点的坐标．
(2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
(3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
11．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
(3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为．
(1)求，的值．
(2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为．
①求的值；
②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
13．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
14．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中．
(1)求b、c的值；
(2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标；
(3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
15．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
16．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．

(1)若，，，则四边形的面积为___________；
(2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
(3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
17．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
18．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
19．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
20．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
21．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值．
(3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
23．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
24．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
25．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
26．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
27．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
28．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
29．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
30．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
31．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
32．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
《专题16 二次函数解答题压轴题（32题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
1．(1)
(2)，
(3)存在，P点坐标为，或，或
（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答．
（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（不合），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
2．(1)，
(2)存在，或
本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解；
（2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
3．(1)
(2)，
(3)
(4)
（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式；
（2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标；
（3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标；
（4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围．
（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为
（2）解：作，交轴于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴所在直线的解析式为，
又∵点在抛物线上，
∴，
解得，，，
∴，
（3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形，
∴，
∵点是第四象限内抛物线上的一点，，
∴点为延长线与抛物线的交点，
由旋转可知，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
设所在直线的解析式为，则
，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
由得，或，
∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴
故答案为：
（4）解：如图，连接，交于点，连接，
∵点和点关于轴对称，点在轴上，，
∴点在轴上，，
∵过点，且平行于轴，，
∴，
又∵于点，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
根据题意可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作于点，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
取中点记为，连接，则
又∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值，
作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形，
∴，，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值，
∵，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
4．(1)
(2)
(3)或
（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可；
（2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
5．(1)
(2)见解析
(3)时，的最大值为
（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出；
（3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：将代入得，
，
解得：
∴
（2）证明：设直线的解析式为，代入得，
∴
∴直线为，
∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上，
∴，，，
①当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当时，，
∴，
∵，即，
∴，即，
（3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，即
又∵
∴
∵的解析式为
∴，
又∵
∴
∴，即
又∵，
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
当时，有最大值为．
本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)8
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
7．(1)
(2)2
(3)①②或
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可；
（3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可；
②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可．
（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为，
∴，
∵过点作对称轴的垂线，垂足为，
∴，，
∴；
（3）①当时，，当时，，
∴，，
由（2）可知：，，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
综上：；
②∵轴，
∴关于对称轴对称，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：或（舍去）；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴
综上：或．
8．(1)
(2)
(3)①，在抛物线上②
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可．
（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，
∴，，
∴，
∴的面积；
（3）①由题意，作图如下：
连接，作于点，
由（2）可知：，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴点在抛物线上；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
同①可得，，
∴点在射线上运动，
∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．
9．(1)
(2)①；②
本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解；
②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为．
（1）解： ，
∴该抛物线的解析式为，
，
∴该抛物线顶点的坐标为；
（2）①∵点在抛物线上，
∴，即，
又，点，
，
∴抛物线解析式为，
如图，点在第四象限，过点作轴于点，
，
∴，
，
∴．
∴，
又，
∴，
，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
整理得，，
解得
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
②∵，
∴，
在轴上点的左侧取点，使，连接．
，得．
，
．
∴，则．
在中，根据勾股定理，，
．
∴．
．
又点，得．
．即
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．
将代入，得．
解得（舍）．
∴．
点．
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段可以看作是由线段经过平移得到的，
点的坐标为．
10．(1)，
(2)不能，理由见解析
(3)①；②
本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论；
（3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解．
（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
（2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点,
（3）①∵，
当重合时，则
∵是的中点，
∴,
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①，
整理，得，
，
由，
则，
整理得，，
则或，
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
则或，
当时，代入②解得，
或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．
当时，代入②解得，不符合题意，
故
11．(1)
(2)
(3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．
（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴当，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴当，即：时，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵过点，且与直线垂直，
∴，设直线的解析式为：，
在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，即：，
联立，整理，得：，
∴，，
∵为的中点，
∴，
联立，
同理可得：，
假设存在点，使得总是平分，如图，作，
∵平分，
∴
∴，
∴，
设，则：，
解得：
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
12．(1)
(2)①3；②或．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案；
②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可．
（1）解：∵抛物线过，，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线得解析式为，
∴点P的坐标为，
在中，当时，，
∴点C的坐标为；
∵抛物线过点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴；
②∵，，
∴轴，即，
∴当四边形是直角梯形时，只有或，
如图2-1所示，当时，
∵点C的坐标为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
如图2-2所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点Q作轴于H，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或．
本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
13．(1)
(2)①，②5
（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可．
（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解；
14．(1)
(2)或；
(3)存在，这两个交点之间的距离为
（1）理解题意，分别把代入，进行计算，即可作答．
（2）先得，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答．
（3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线解析式为，求出，即可作答．
（1）解：依题意，分别把代入，
得，
解得．
（2）解：由（1）得，
则，
令，则，
∴，
故，
分别过点E、D作如图所示：
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，
设的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴，
设的解析式为，
把，分别代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
依题意，把代入，
得，
则，
即点，
∵点为抛物线上第一象限内一点，且，
∴，
整理得，
∴；
此时的，故是符合题意的；
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上：或；
（3）解：存在，过程如下：
由（2）得，
整理
∵为抛物线的顶点，
∴，
∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．
如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为，
把代入，
得，
∵点在，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
则，
即
∴是等腰三角形，
过点作，
∵，
∴，
则，
∴，
令，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍去）或，
∴，
∴平移后的抛物线解析式为，
令则，
∴，
即，
∴，
则，
∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为．
本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
16．(1)
(2)，最大为
(3)是，
（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果；
（2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果．
（1）解：∵，，，
∴四边形的面积
；
（2）∵在中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当四边形的面积最大时，的面积最大，
过点作，过点作，则：，
∵四边形的面积
∴四边形的面积最大，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）直线是过定点：
由（2）知：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴为的中点，
∵过点的直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴直线：，
即：，
，
∴当，即：时，，
∴直线过定点．
本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键．
17．(1)
(2)或
(3)存在，，的最小值为
（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可；
（2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可；
（3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可．
（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点
∴设，；
∵旋转，
∴，
当点在轴上方时，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或；
（3）存在；
在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：，的最小值为．
本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
18．(1)
(2)①；②存在，或或
(3)
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值．
（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
19．(1)
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为或或
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可；
（3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可．
（1）解；把代入到中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；如图2-1所示，当点P在下方时，
∵，
∴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点P的坐标为；
如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H，
∵，
∴，
∴
设，
∴，
解得，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线，
∵，
∴由对称性可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或．
本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解．
20．(1)
(2)点P的坐标为，的最小值为
(3)点N的坐标为或
（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题．
（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
21．(1)，
(2)
(3)存在定点
（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解；
（2）设直线为，设点，，可得且，即可求解；
（3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解．
（1）解：把代入，
．
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
；
（2）解：∵，N是抛物线顶点，
∴，
设直线的解析式为，
，，
∴，解得：，
直线的解析式为，
，
可设直线为，
设点，，
且．
解得：．
（3）解：存在定点满足条件．
设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，
，
．
，，．
作，，，，，．
，
．
即，
，
，
．
．
．
，
直线不垂直于轴，
，
，
，
直线解析式，
无论为何值，，，
∴过定点，故存在定点．
此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)或
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；
（3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解．
23．（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道
本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可
解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；
24．（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4）
（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得答案；
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论；
（4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论．
解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键．
25．(1)
(2)①，②
（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可；
（2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：作于点，作于点，
∵均为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵平移，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：，
当点与点重合时，，
∴当与重叠部分为四边形时，；
②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴，
由（1）和（2）①可知：，，，
∴，
∴当时，的值最小，为；
∴；
设交轴于点，则：，
∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为，
∴；
当，随着的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时点轴，如图：
此时重叠部分为五边形，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴；
综上：．
本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
26．（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）
本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；
解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，
∴把代入，得：，解得：；
故设该平台的高度为．
27．(1)
(2)
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．
（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
28．(1)
(2)能安全通过，见解析
本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可．
（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
29．（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断；
（2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解；
（3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到；
（4）根据题意得，，令，解方程即可求解．
解：（1）①对于，
由于，
所以不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于，代入点，
得，
解得，
所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：③；
（2）∵一次函数是“不动点函数”，
∴代入点，
得，
整理得，
当即且时，为任意实数；
当即时，；
（3）由抛物线得，
顶点坐标为，
∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴；
（4）根据题意得，，
∴令，
整理得，
解得，，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键．
30．(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可．
（1）解：∵，面积为，
∴，
∴．
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得．
∵四边形是正方形
∴，
∴
∴，
得，
即，
∴．
，
∵
∴，
得，
即，
解得．
∵，
∴图1的正方形面积较大．
（2）解：∵四边形是长方形
∴，，
∵
∴；
得，
则，，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为．
在图4中，同理得，
得，
∴，，
同理得，
得，
则，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为．
31．(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
32．(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．

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