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2025年春季学期高一年级校联体第一次联考
数学 参考答案
一、单选题
1．答案：B
解析：因，则．
故选：B
2．答案：A
解析：由可得：，所以，又，
所以．故选：A
3．答案：B
解析：如图①，过作于E，
由等腰梯形可得是等腰直角三角形，即，
四边形ABCD的面积为，即B正确．故选B．
4．答案：C
解析：方法一（割补法）：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为.故答案选C.
5．答案：B
解析：由单位向量，的夹角为，
则，
由，可得，
即，则，解得，
故选：B．
6．答案：D
解析：设，则，且，
在中，，
∴，即，
．
故选：D．
7．答案：A
解析：因为在中，，，，
所以，．
故选：A．
8．答案：B
解析：，F为的中点,
,
设
又,
,，所以解得.
故选：B.
二、多选题
9．答案：ACD
解析：由题意，复数，
对于A项：，故A正确；
对于B项：，所以复数z的虚部等于－2，所以B项错误；
对于C项：，所以C项正确；
对于D项：，对应的点在复平面的第三象限，所以D项正确。
故选：ACD．
10．答案：CD
解析：因为与的夹角为钝角，所以，所以，所以A不正确；
，所以的最小值为2，所以B不正确；
与垂直的单位向量为或所以C正确；
若，可得：，解得则或，所以D正确；
故选：CD.
11．答案：AC
解析：对于A，根据余弦定理得，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立．所以，所以A正确．
对于B，因为，所以△ABC外接圆的半径为2，所以B错误.
对于C，由选项A 得，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确．
对于D，因为，所以，，所以，所以D错误．
故选：AC．
填空题
12．答案：－4
解析：因为，，，所以，所以
解析：，，
14．答案
解析：如图，因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得，又，设圆柱的母线长为l，则，解得，所以圆柱的外接球的半径，
所以外接球的表面积为．
15．答案：(1) (2)
解析：(1) ， ， 1分
， 2分
， 3分
， ， 4分
， 5分
，
与的夹角为． 7分
11分
13分
16．答案：(1)； (2)
解析：(1)由正弦定理得． 2分
因为，所以， 3分
5分
因为中，，所以． 7分
(2)由，及余弦定理． 9分
得，解得或（舍）， 11分
所以 15分
17．答案：（1）表面积，体积（2），
解析：（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
2分
圆锥侧面积， 4分
圆锥的底面积， 5分
圆锥的表面积； 6分
． 8分
（2）由（1）可得：圆锥的体积为
又圆柱的底面半径为，高（母线）为 9分
圆柱的体积为 10分
剩下几何体的体积为； 12分
由（1）得圆锥的表面积； 13分
14分
15分
18．答案(1) （2）1
解析：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则 1分
由，得， 2分
所以. 3分
由是的中点，得，所以. 5分
设，则.
因为三点共线，所以，即①， 6分
因为三点共线，所以，即②， 7分
联立①②解得点的坐标为， 8分
所以， 9分
所以， 10分
所以实数的值为. 11分
（2）因为上的点满足，
设，则. 12分
因为，所以，解得， 13分
所以点的坐标为， 14分
所以. 15分
又， 16分
所以. 17分
19．答案：(1) (2)
解析：(1)，
由正弦定理得：， 1分
整理得：， 3分
在中，，
， 4分
即，， 5分
即； 6分
(2)由正弦定理得， 7分
∴， 8分
∴ 9分
10分
∴ 11分
13分
在锐角中， ， 14分
∴， 15分
∴ 16分
∴周长的取值范围为． 17分2025年春季学期高一年级校联体第一次联考
数 学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A．1 B．2 C． D．4
2．在三角形中，，，，则
A． B． C．或 D．或
3．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为
A． B．
C． D．
4．底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为
A．28 B．58 C．56 D．
5．已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为
A．1 B．2 C． D．
6．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为
A． B．
C． D．
7．在中，，，，则
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，，F为的中点，G为上的一点，且，则实数m的值为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是
A．z的模为
B．复数z的虚部等于
C．
D．z对应复平面内的点在第三象限
10．设向量，，则下列叙述正确的是
A．若与的夹角为钝角，则
B．的最小值为
C．与垂直的单位向量可为
D．若，则
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则
A．的最大值为6
B．△ABC外接圆的半径为4
C．△ABC周长的最大值为
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，若∥，则________．
13．在△ABC中，若点D满足，则＝________（以向量、为基底表示向量）．
14．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为3，P为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知非零向量，满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角A的大小；
（2）若，，求△ABC的面积．
17．（15分）已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
18．（17分）如图，在△ABC中，是的中点，点E满足与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设H是BE上一点，且，求的值．
19．（17分）已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求A的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．

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