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专题25 图形的平移翻折对称（33题）
一、单选题
1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·黑龙江·中考真题）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．　
8．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
10．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·四川泸州·中考真题）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·福建·中考真题）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·江西·中考真题）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·四川眉山·中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·云南·中考真题）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·四川广安·中考真题）下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·山东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·四川内江·中考真题）古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·四川凉山·中考真题）以下字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·重庆·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
22．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ．
23．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ．
24．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为 ．
25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为 ．
26．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
27．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ．
28．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ．
三、解答题
29．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长．
31．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，点在延长线上，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
32．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米）
(1)求直吊臂的长；
(2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？
33．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
《专题25 图形的平移翻折对称（33题）-2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B B C C B C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C D A A C D B D D B
题号 21
答案 B
1．B
本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键．
根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题．
解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变，
∴平移后的点坐标为，
故选：B．
2．B
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可．
解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
3．C
本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横，上下纵，正加负减”是解答本题的关键．
根据平移规律，向右平移2个单位时，点的横坐标增加2，纵坐标不变，即可解答．
解：点向右平移2个单位，横坐标变为，纵坐标保持3不变．
所以，点的坐标为，、
故选：C．
4．D
本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答.
解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是；
故选：D.
5．B
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
6．B
本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
7．C
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
8．C
本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
9．B
本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B．
10．C
此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
11．C
本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
12．D
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
13．A
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：A．
14．A
本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可.
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A.
15．C
本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意，
故选：C．
16．D
本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A.不是轴对称图形，不合题意；
B.不是轴对称图形，不合题意；
C.不是轴对称图形，不合题意；
D.是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
17．B
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
18．D
本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解.
解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
19．D
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
20．B
本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
解：由轴对称图形的定义可知，四个字母中，只有字母“”是轴对称图形，
故选：B．
21．B
本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
22．
本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
根据点的平移规律即可求解．
解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位，
∴平移后点的坐标为，即，
故答案为：．
23．
本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
直接运用平移规律“上加下减”即可解答．
解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
24．
本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键．
根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可．
解：沿方向平移个单位长度得到，
，，
四边形的周长
的周长
．
故答案为：．
25．或
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；②当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得．
解：当为锐角时，如图，
根据题意得，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，即，解得，
∴，，
由折叠得，
∴；
∴，
过点作于点，则，
∴，
∴，即，
∴
∴，
∴；
当为钝角时，如图，
过点作于点，则，
∴，
同（1）可得，，
∴，
同理可得
∴；
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
26．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解．
解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴周长为，
当四点共线时取得最小值，
∵是关于的对称点，
∴，
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴当时，取得最小值，即周长最小
又∵，，
∴
∴周长最小为
故答案为：．
27．6
本题主要考查矩形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，由勾股定理得，所以，，再证明，可得，设，则，在中由勾股定理得，求出的值即可得到．
解：∵四边形是矩形，
∴；
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由旋转得，，，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：6．
28．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，
∴，，
∴点对应点的坐标为，
故答案为：．
29．(1)
(2)抛物线上存在点，使，的坐标为或
(3)的最小值为
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解；
（2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，即可求解；
（3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即
∴二次函数解析式为
将代入得，
解得：，
∴二次函数关系式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
当时，，则
∴，，
设，则
①当在直线的下方时，
如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，
∴，，
设关于的对称点为，则，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴点与点重合，
∴
当在的上方时，作点关于的对称点
∵都是等腰直角三角形，
∴在轴上，
综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为或
（3）解：如图，在上取一点，使得
∴
设，则
在中，
∴，即
解得：
∴
∴
∵，
在上取一点，使得，垂足为，
∴
∴
即,
如图，作关于的对称点，连接交于点
∴
∴当在上时取得最小值，最小值为的长，
在中，
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴的最小值为．
30．(1)作图见解析
(2)
（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可；
（2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
由作图可得：，，，
∴，
∴即为所求作的三角形；
（2）解：如图，∵矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：；
∴．
本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键．
31．（1）见解析；（2）4；（3）
（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解；
（3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解．
解：（1）由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
32．(1)直吊臂的长为10米
(2)上升了5米
本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据，即可解，即可求解；
（2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解．
（1）解：由题意得，，
∵，米，
∴在中，（米），
答：直吊臂的长为10米；
（2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则，
由题意得：米，米，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
在中，米，
∴（米），
∴货物上升了5米．
33．探究发现：，；实践应用：；拓展延伸：
探究发现：图形面积分割法得出，根据得出；
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解；
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解．
解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键．

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