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2025年湖南省长沙市中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的倒数是，则的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于年月日至日在北京举行会议上指出了进一步全面深化改革的总目标，突出“七个聚焦”，其中之一就是聚焦提高人民生活品质乐观预期，到年中国人均有望达到美元，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.某几何体如图所示，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列判断正确的是( )
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是属于必然事件
B. “平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
C. 检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
D. 甲、乙两个舞团女演员身高的方差分别为．，则甲舞团女演员的身高更整齐
7.如图，在圆中，是直径，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.据某省统计局发布，年该省有效发明专利数比年增长假定年的年增长率保持不变，年和年该省有效发明专利分别为万件和万件，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式： ．
12.在函数中，自变量的取值范围是______．
13.某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有三位同学成为晋级的候选人，具体情况如表，如果从这三位同学中选出一名晋级总体水平高且状态稳定，你会推荐______．
甲 乙 丙
平均分
方差
14.某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为______．
15.老师在个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球．
小明说：“号箱中放的是黄色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是红色的”
小亮说：“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是绿色的”
小强说：“号箱中放的是紫色的，号箱中放的是黄色的，号箱中放的是蓝色的”
小佳说：“号箱中放的是橙色的，号箱中放的是绿色的，号箱中放的是紫色的”
老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个”
那么号箱子中放的是______色的球．
16.如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的点，，的对应点分别为点，，，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为______点不与点重合．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如题图是一台手机支架，题图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测得，点到的距离为，，．
在题图中，过点作，垂足为，则______；
求点到的距离结果保留小数点后一位，参考数据：，，，
20.本小题分
某校组织七年级学生进行了线上直播观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查的方式对部分学生进行问卷调查，对调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
学习此次被调查的学生总人数为______人，并根据题意补全条形统计图；
在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是______；
请你根据调查结果，统计该校七年级名学生中，观看“专家系统”有多少人？
请用画树状图或列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率．
21.本小题分
如图，是等腰直角三角形，，点是上一点点不与点、重合，延长至点，使．
求证：≌；
求证：．
22.本小题分
所谓棋者，弈也下棋者，艺也下棋不仅仅是消遣游戏，还影响着人们的道德观念、行为准则、审美趣味和思维方式在中国具有代表性的棋类就是象棋和围棋某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买副象棋和副围棋共需元，购买副象棋和副围棋共需元．
求每副象棋和围棋的价格；
若学校准备购买象棋和围棋总共副，且总费用不超过元，则最多能购买多少副围棋？
23.本小题分
如图，在 中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，过点作直线交于点；以点为圆心适当长为半径作弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点作射线，点在上，已知．
求证：；
求的周长．
24.本小题分
如图，，连接，，的平分线交于点，．
【问题探究】
如图，判断与的数量关系，并说明理由；
如图，点在的延长线上，连接交于点，若，平分吗？为什么？
【问题解决】
如图，点是线段上一点，连接，，过点作交于点在射线上取一点，连接，若，求的度数．
25.本小题分
平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求抛物线解析式；
如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标；
将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点设的顶点横坐标为，的长为．
求关于的函数解析式；
与轴围成的区域记为，与内部重合的区域不含边界记为当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.丙
14.
15.蓝
16.或
17.解：原式
．
18.解：
，
当时，原式．
19.【解析】如图：
，，
，
，
，
故答案为：；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，，
，
，
点到的距离为．
20.【解析】此次被调查的学生总人数为人．
选择主题的人数为人．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：．
在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是．
故答案为：．
人．
答：观看“专家系统”有约人．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的结果有种，
班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率为．
21.【解析】证明：是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌；
由知：≌，
，
，
，
．
22.【解析】设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元．
依题意得，
解得，
每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元；
设购买副围棋，则购买副象棋，
依题意得：，
解得，
整数的最大值是，
最多能购买副围棋．
23.【解析】证明：由条件可知，
四边形为平行四边形，
，
，
，
则；
解：由条件可知，
，．
的周长为．
24.【解析】，理由如下：
，
，
平分，
，
；
平分，理由如下：
如图所示，过点作，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
平分；
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
点在点下方，
．
25.【解析】抛物线与轴交于，
，
解得，
二次函数表达式为．
，
令，，
解得或，
令，得，
，，，
设，
作轴于点，如图，
，
，
即，
，
解得或舍去，
点的横坐标为；
将抛物线沿水平方向平移，顶点的纵坐标不变，为，
新抛物线的表达式为，
，
，
．
的取值范围为或．
由得，画出大致图象如图，
随着的增大而增大，
或，
中含，，三个整数点不含边界，
当内恰有个整数点，时，
当时，，
当时，，
，
，
或，
；
当内恰有个整数点，时，
当时，，
当时，，
，
，
或，
；
当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去；
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