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湖南省株洲市渌口区朱亭镇中学多校期末联考2024-2025学年
七年级下学期期末数学试题
注意事项：
1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.
3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.
4.本试卷共三道答题，27道小题，满分120分，时量共120分钟.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．下列实数：，，0，，是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．如果，那么下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（　　）
A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数
C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨
4．学校为了了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用的统计图是（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上均可
5．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中到轴的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，从小明家到公路l共有三条路线，其中路线．他选择路线到公路的距离近的理由是（　　）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．下列关于 的说法中，错误的是（　　）
A． 是无理数 B．2< <3
C．5的平方根是 D． 是5的算术平方根
9．记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将正确答案写在答题卡相应的横线上）
11．若点在第二象限，则的取值范围是　 　.
12．已知实数a，b满足，则的值为　 　．
13．已知，用含有y的式子表示x，结果为　 　．
14．已知是二元一次方程组的解，则m-n= 　 　．
15．如图是杆称在称重物时的示意图，已知，则的度数为　 　．
16．在平面直角坐标系中，点位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，……依此类推，经过2024秒钟后，点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
17．计算：．（5分）
18．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶关联点”（为常数，且）．（5分）
例如：点的“2阶关联点”为点，即点．
（1）点的“3阶关联点”的坐标为______．
（2）若点的“4阶关联点”为，求点的坐标．
（3）若点的“阶关联点”到两坐标轴的距离相等，求的值．
19．解不等式，并求出该不等式的最小整数解．（5分）
20．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．（5分）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，是的边AC上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为．（5分）
（1）写出各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______），
（2）在图中画出
（3）求的面积．
22．为促进学生健康成长，学校全面推行课后服务模式．在课后服务时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：（5分）
（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数；
（3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？
四、几何证明与计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
23．（7分）在下面的括号内，填上推理的依据.
如图， ∠A+∠B=180°， 求证∠C+∠D=180°.
证明： ∵ ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC （　　）.
∴ ∠C+∠D=180° （　　）.
24．（7分）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；（3分）
（2）若平分交于点E，，试说明．（4分）
五、应用题（本大题共1小题，共8分）
25．（8分）某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．
（1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？（4分）
（2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？（4分）
六、拓展延伸题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
26．（10分）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；（1.5分）
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；（1.5分）
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；（3分）
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．（3分）
27．（10分）如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，．
（1）求证：；（3分）
（2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数；（3分）
（3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．（4分）
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】B
【解析】【解答】解：
由①得，x＞-1，
由②得，x≤1，
∴不等式组的解集是-1＜x≤1.
故答案为：B.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（-3，4），
∴点P到y轴的距离是3，
故答案为：A.
7．【答案】B
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 是无理数，说法正确；
B、2＜ ＜3，说法正确；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误；
D、 是5的算术平方根，说法正确.
故答案为：C.
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】
【解析】【解答】解： ∵点在第二象限.
∴，解得.
故答案为：.
12．【答案】-1
【解析】【解答】解：由题意可知，a+1=0，解得a=-1；b-2023=0，解得b=2023；
∴==-1.
故答案为：-1.
13．【答案】
【解析】【解答】解：方程
解得：
故答案为：．
14．【答案】4
【解析】【解答】解：将代入，
得
解得
∴m-n=1-（-3）=4.
故答案为：4.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】（－1012，－1012）
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，
∵，
∴经过2024秒钟后，点P在第三象限，
∵P4的坐标为，
P8的坐标为，
…，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：
17．【答案】解：
．
18．【答案】（1）；
（2）点的坐标为
（3）或
19．【答案】，最小整数解为1．
20．【答案】解：
解不等式①可得：x>-1
解不等式②可得：x≤2
∴不等式组的解集为-1在数轴上表示解集如图，
21．【答案】（1）3，1；1，-1；4，-2
（2）解：△A1B1C1如图所示，
（3）解：的面积=3×3-×2×2-×3×1-×1×3
=9-2-1.5-1.5
=4．
【解析】【解答】解：是的边AC上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为
所以，平移后各点的横坐标加6、纵坐标减2，
故， ，C1（4，-2），
故答案为：3，1；1，-1；4，-2
22．【答案】（1）解：（人）
答：随机抽取的学生人数为120人。
（2）解：喜爱艺术：（人，
补全的条形统计图如图所示：
“其他”所对应的圆心角度数为
（3）解：（人，
选择“阅读”的学生大约有126人．
23．【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【解析】【解答】证明： ∵ ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）.
∴ ∠C+∠D=180° （ 两直线平行，同旁内角互补）.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
24．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：说明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴．
∴．
25．【答案】（1）解：设A，B两种品牌运动装的采购单价分别为x元，y元，
根据题意，得，
解得：，
∴A，B两种品牌运动装的采购单价分别为200元，220元；
（2）解：设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴，
∴该商家共有3种采购方案，
方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件；
方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件；
方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件．
26．【答案】（1）①B，C；②
（2）解：解不等式组，
得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，
得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有B、C；
②∵点是“爱心点”
∴且
整理得
故答案为：①B，C；②；
27．【答案】（1）证明：如图1，过点P作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，
，
由（1）结论可知：，
，
由（1）结论可知：，
，
；
（3）解：的度数不变．理由如下：连接，
设，，则，
FM平分∠PFD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，
的度数不变．

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