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重庆市九龙坡区高2025届学业质量调研抽测（第二次）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M满足CM={1,2,5},则
A.3M
B.2∈M
C.5∈M
D.4∈M
2.从小到大排列的一组数据：80,86,90,96,110,120,126,134，则这组数据的下四分位数为
A.88
B.90
C.123
D.126
3.已知命题p:a=-1,命题q:复数x=1-a2+(a-1)i(a∈R)为纯虚数，则命题p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每
人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案
总数为
A.20
B.24
C.30
D.36
5.已知函数f儿是定义在R上的偶函数，且f(回在(-o,0)上为增函数，设a=(兮)子，b=3,c=(-3,则
fa),fb),f(c)的大小关系是
A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(a)>f(c)>f(b)C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(a)>f(b)
6.若函数f(m)=sin(om+行)(o>0)在(0，)上有且仅有1个零点和1个极值点，则u的取值范围是
A(号]
B.(号，]
c.1,]
D.(合]
7.已知抛物线C:y=8x,O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于A,B两点，且直线OA,OB的斜率之积为
-2,则点O到直线l的最大距离为
A.2
B.3
C.4
D.6
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且am>0,4Sn=a品+1-2an+1+1,将数列{an}与数列{n2-1}的公共项从小
到大排列得到新数列小，则∑名=
A
B.
c器
D”
·1·[1
门
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部
选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分
9.已知O为△ABC内部的一点，满足OA+O+OC=d,1OC1=21OB1=2,OB·OC=0,则
A.1OAI=√5
B.COsLAOB=5
C.1AB1=22
D.A6=3A店+3AC
10.如图，已知正四棱柱ABCD-AB,CD,的底面边长为2，侧棱长为4，点E,F分别为BB,DD的中点，则
D
C
A
B
F
E
D
A.AC⊥CF
B.平面EAC∥平面FAC
C,三棱锥C-BCP的体积为号
D.四面体EACF的外接球的表面积为12π
1.已知双曲线C: -菁=1的左右顶点分别为A,B,双曲线C的右焦点为R,点M是双曲线C上在第一象限
内的点，直线MF交双曲线C右支于点N,交y轴于点P,且PM=M,PN=NF.设直线MA,MB的倾斜
角分别为a,B,则
A.点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为多
B.设R(4,1),则IMR|+IMF1的最小值为√37-2
C.1+4为定值
D.当2tana+tanB取最小值时，△MAB的面积为2√
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2.(3r-的展开式中的常数项是
13.过点P(-2,0)的直线1与曲线y=√一x2+2x+2有公共点，则直线1的斜率的最大值为
14.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且f)=3,f(5)=5,则∑f(k)=
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c,且csinA+√3 acosC=√3b.
(1)求角A的值：
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围.
·2·1
]数学参考答案及评意见
一、选择圆：本大愿共8小愿，每小题6分，共0分
1-4:DACC 5-8:BA.CA
二、选择恩：本大恩共3小恩，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中：有多项符合愿目要
求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分、
9.ACD
10.BD
11.BCD
三、填空题：本大圆共3小厕，每小圆5分，共15分.
12.45
14.-10
四、.解答恩：本大思共5小恩，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赛，
15.(I)csin+3acosC=36
.'.sin Csin A+3sin AcosC=3sin B.
…2分
.sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,
sin Csin4=V5 cos AsinC,C∈(0，π)，.sinC≠0，∴tanA=√5，…5分
Ae(0,r）,月=写：…6分
3
(Ⅱ)由正弦定型得：
sin sin B sin(3C)I 3cosC
sin C
sinC 2'2sinC
8c=bcm4=56=5+5cosS-5t.5
6=
2
=40=422sinC
4 2 2tanC
,…10分
=号AuC为角三形04=
3
2
小2分
6
2
3
印AMBC面积的取值范围5V5
3
8
2
82
…l3分
第1页·预祝考试顺利
16.解：(1）多件的直径5服从正态分布W(1.5,0.2282),则
P(4-2o≤5≤4+2o)=P0.5-2×0.228≤5≤15+2×0.228)=0.9545.
∴.P1.044≤5≤1.5)=0.47725.…
…分
(Ⅱ)由愿意知，这批号件直径在[1.2,1.4)的概率为三，1的取值为0,1,2,3,4，
周Pg0-c净器w-=0-c守-”-器
PW=4=C学'=256·
即1的分布列为：
7
0
1
2
3
4
81
27
27
心
1
256
64
128
64
256
440*作544中+*下t40*44000000000中000
…9分
∴B()=0×
81+1×
27
27
3
+2×
+3×
+4×
…l0分
25664128
64
256
⑩设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件A,“抽取的零件为乙机器生产”记为事件A,,
“抽取的乎件为次品”记为事件B,
则P4=号P4)-号P81A)=03,P814)=02.
P(8)=P(4)P(B14)+P(4)P(B14)=2x0.3+x0.2=
2
15·
…13分
3
2
×0.3
P(4|B)=
P4B-P4)P(B4)-
3
P(B)
P(B)
15
这个零件是甲机器生产的概率为
3
……15分
17.证明：(I)当点M为线段PC的中点时，取BP的中点N,连接MN,N,
MNIIBC.且MN=2BC,
…2分
又O为D的中点，底面ABCD是矩形，
A0WBC,且A0=二BC,
2
.MN∥AO,且N=AO,
B
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数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知全集 ,集合 满足 ,则
A. B. C. D.
2. 从小到大排列的一组数据:80,86,90,96,110,120,126,134,则这组数据的下四分位数为
A. 88 B. 90 C. 123 D. 126
3. 已知命题 ,命题 : 复数 为纯虚数,则命题 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某学校举行运动会, 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛,每人只能参加一个项目,每个项目至少有一个人参加,若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛,则不同参赛方案总数为
A. 20 B. 24 C. 30 D. 36
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且 在 上为增函数,设 , ,则 的大小关系是
A. B.
C. D.
6. 若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 为坐标原点,直线 与抛物线 相交于 两点,且直线 的斜率之积为 -2 ,则点 到直线 的最大距离为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8. 设等差数列 的前 项和为 ,且 ,将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为 内部的一点,满足 ,
,则
A. B.
C. D.
10. 如图,已知正四棱柱 的底面边长为 2,侧棱长为 4,点 , 分别为 的中点,则
A.
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为
D. 四面体 的外接球的表面积为
11. 已知双曲线 的左右顶点分别为 ,双曲线 的右焦点为 ,点 是双曲线 上在第一象限内的点,直线 交双曲线 右支于点 ,交 轴于点 , 且 . 设直线 的倾斜角分别为 ,则
A. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为
B. 设 ,则 的最小值为
C. 为定值
D. 当 取最小值时, 的面积为
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中的常数项是_____.
13. 过点 的直线 与曲线 有公共点,则直线 的斜率的最大值为_____.
14. 已知函数 满足 ,且 ,
则 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中,角 所对的边分别 ,且 .
(I)求角 的值；
( II )若 为锐角三角形,且 ,求 面积的取值范围.
16.(本小题满分 15 分)
某工厂采购了甲、乙两台新型机器, 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量, 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8,2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(I)经统计,零件的直径 服从正态分布 ,据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(II)以频率估计概率,若在这批零件中随机抽取 4 个,记直径在区间 内的零件个数为 ,求 的分布列和数学期望;
(III)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中,甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍, 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3 , 乙机器生产的零件的次品率为
0.2 , 现从这批零件中随机抽取一件, 若检测出这个零件是次品, 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量 ,则 ,
17. (本小题满分 15 分)
如图,在四棱锥 中,底面 为矩形,侧面 是边长为 2 的正三角形, 平面 平面 为侧棱 的中点, 为 的中点, 为线段 上一点.
(I)若点 为线段 的中点,求证:直线 平面 ；
( II )若 ,且点 到平面 的距离为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 .
(I)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 处的法线. 若曲线 在点(0, - 1)处的法线与直线 平行,求实数 的值;
(II)当 时,若对任意 ,不等式 恒成立, 求 的最小值;
( III )若 存在两个不同的极值点 且 ,求实数 取值范围.
19.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的中心为坐标原点,焦点在 轴上,离心率为 ,点 在椭圆 上.
(I) 求 的方程;
(II) 过点 且斜率存在的两条直线 互相垂直,直线 交 于 两点,直线 交 于 两点, 分别为弦 和 的中点,直线 交 轴于点 ,其中 .
① 求 ；
② 设椭圆 的上顶点为 ,记 的面积为 ,令 ,
,求证: .

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