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山西省晋中市平遥县2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题
一、单选题
1．我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（ ）
A．135 B．85 C．105 D．115
8．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线，分别交于点D和点E．若，则长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
9．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若的长为，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
11．等腰三角形两底角相等的逆命题是 ．
12．若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
13．已知关于的分式方程无解，则的值为 ．
14．赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是 ．
15．如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒．
三、解答题
16．计算：
(1)因式分解：；
(2)解方程：
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在四边形中，
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，并作线段的垂直平分线分别交、于点、，连接和．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若所作图中，求的度数．
19．今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
20．下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（提公因式）
（提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
（运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)已知，求式子的值；
(2)已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长．
21．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下：
A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高．
项目问题 是购买A车还是B车？
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义．
数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车B车每千米行驶费用a元元总行驶费用元元
数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车B车保险6500元/年保险2900元/年车机服务1230元/年保养元
项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用；
项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案．
22．综合与探究
课本再现：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：D，E分别是的边的中点；
求证：，且；
知识应用
（2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点．
求证：四边形是平行四边形．
②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____．
参考答案
1．A
解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
2．B
解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．C
解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
4．A
解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故选：A．
5．C
解：∵正五边形一个内角的度数为，
∴正m边形的一个内角的度数为，
∴，
解得．
故选：C．
6．D
解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，根据题意，得．
故选D．
7．A
解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B.
9．C
解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
所以关于x的不等式的解集是，
所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合．
故选：C．
10．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，
故选：B．
11．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
12．2
解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
13．3
解：去分母，得，
∵原分式方程无解，
∴当方程产生增根时方程无解，
即当时方程无解，
代入上述整式方程可得；
故答案为：3．
14．
解：连接，如图，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵的面积为24，
∴；
故答案为：．
15．2或或4．
解：当点Q在上时，时，，
∴，
∴，解得：．
当点Q在BC上时，
如图：当时，，， ；
∴，解得：；
如图：当时，，
∴，解得，
综上所述，满足条件的t的值为2或或4．
故答案为：2或或4．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：原方程即为，
去分母，得，
解得，
经检验：是原方程的解．
所以原方程的解是．
17．，
解：原式，
，
，
，
，
将 代入得
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如图所示：
（2）解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元
(2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套
（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴或13，
故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套．
20．(1)
(2)等腰的周长为32或34．
（1）解：
，
∵，，
∴，
∴原式；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
当，，，符合三角形的定义，
∴的周长为；
当，，，符合三角形的定义，
∴的周长为；
∴等腰的周长为32或34．
21．任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析
解：任务1：由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
（元），
答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；
任务2：设A车的行驶费用为元，B车的行驶费用为元；
由题意得，
，
①当时，，
解得，
∴当时，B车的行驶费用更低；
②当时，，
解得，
∴当时，两种车的行驶费用相同；
③当时，，
解得，
∴当时，A车的行驶费用更低．
22．（1）见解析；（2）①见解析；②；
解：（1）证明：延长至F，使，连接，如图，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，且；
（2）①证明：连接，如图，
∵F，G分别是边的中点，
∴，
∵E，H分别是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点G，如图，
则，，
∴，
∴，
∴的周长为，面积为
故答案为：；．

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