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重庆市垫江县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．对于函数自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
3．下列各点中，在函数的图像上的是（　　）
A． B． C． D．
4．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．下列说法正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
6．如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是（　　）
A．是的函数
B．摩天轮旋转一周所用的时间为
C．摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是
D．摩天轮的半径是
7．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．，2， C．，， D．3，4，6
9．如图所示是按照一定规律排列的一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形……按此规律，图形⑥中共有n个小三角形，这里的n的值是（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
10．如图，E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．2025年春节期间，重庆洪崖洞景区接待游客超1370000人次，将数据1370000用科学记数法表示为 ．
13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为 ．
14．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ．
15．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
16．一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是 ；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)先化简，再求值：，其中．
18．学行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，①__________，
．
平分，平分，
，．
②__________，
③__________
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④__________．
19．某校为了解学生对人工智能的了解情况，举办了人工智能有关的知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100．
八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：89，86，87，83，85，88，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级平均数众数中位数方差七年级88a89.510.3八年级8894b9.6
八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有1200名，八年级有1250名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
20．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
21．垫江，重庆东部的一颗璀璨明珠，这里不仅有迷人的风光，还有众多令人垂涎的特产．垫江特产丰富多样，其中鸭肉类特产有酱板鸭和蒸鸭两种类型，小惠打算购买若干酱板鸭和蒸鸭．
(1)小惠花费4300元购买了40袋酱板鸭和50袋蒸鸭，已知10袋酱板鸭和9袋蒸鸭的售价相同，求每袋酱板鸭和蒸鸭的售价分别是多少元？
(2)端午节将至，由于市场需求，酱板鸭和蒸鸭改袋装为盒装，其中每盒酱板鸭的售价是每盒蒸鸭售价的1.2倍，小惠分别用了2400元、3600元购买酱板鸭和蒸鸭，一共购买了100盒，求每盒蒸鸭的售价．
22．为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，）
(1)求B与C两点之间的距离；
(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟）
23．如图，在中，，，，动点P从B出发，沿着折线B→C→A运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设P点运动的时间为x秒（），的面积为y．
(1)直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围：___________；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质：___________；
(3)直接写出的取值范围：___________．
24．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
(1)如图1，延长交于点，若，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
(3)如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
参考答案
1．A
解：选项A：，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式，故符合题意．
选项B：，，被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式，故不符合题意．
选项C：，，含完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故不符合题意．
选项D：，，含完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故不符合题意．
故选：A．
2．A
解：函数中，分母不能为零，否则分式无意义，
∴，即
故选：A．
3．D
选项A：代入，计算得，与不相等，故A不在图像上．
选项B：代入，计算得，与不相等，故B不在图像上．
选项C：代入，计算得，与不相等，故C不在图像上．
选项D：代入，计算得，与相等，故D在图像上．
故选：D．
4．D
解：∵，
∴．
∴
故选：D．
5．C
解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，选项错误；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误；
C. 三个角都是直角的四边形是矩形，选项正确；
D. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项错误．
故选：C．
6．D
解：由题意可得：
A、由图象可得：变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意；
B、由图象可得：摩天轮转一周所用的时间是，说法正确，故本选项不合题意；
C、由图象可得：摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是，说法正确，故本选项不合题意；
D、摩天轮的半径是：，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
7．A
解：∵一次函数经过点，
，
解得：，
，
∴方程组的解是．
故选：A．
8．A
解：A、∵，
∴以1，，2为三边长能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，
∴以，2，为三边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴以，，为三边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴以3，4，6为三边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
9．B
解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
．
故选：B．
10．B
解：过E作于M，交于N，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
11．5
解：
，
故答案为：5．
12．
解：．
故答案为：．
13．y＝2x+1
由一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x﹣3，可知k＝2
则一次函数为y＝2x+b，
将A的坐标（1，3）代入，得：2+b＝3，
解得：b＝1
这个一次函数的解析式是y＝2x+1．
故答案为y＝2x+1．
14．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵将边沿方向平移到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的面积为 ．
故答案为：．
15．8
解：解不等式，得，
解集为，
，
解得，
由于分式方程有非负整数解，
且，
，
且，
且，
取整数且使方程有非负整数解，
取，
故满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：．
16．
解：，
，
，
能被5整除，
或5，
，
，，
．
．
设
．
，
有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时，，
，
．
当，即时，，不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即不合题意，舍去．
当，即时，，能被7整除．
，，，，符合题意，
的最小值为．
故答案为：，．
17．(1)8
(2)
（1）解：
；
（2）解：原式，
当时，
原式．
18．(1)作图见解析
(2)，，，四边形是菱形
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形是菱形．理由如下：
由上可知，四边形是平行四边形，
又平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：，，，四边形是菱形．
19．(1)，，
(2)七年级的成绩更好，理由见解析（答案不唯一）
(3)1100
（1）解：七年级成绩的众数；
八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为人；组数据是89，86，87，83，85，88，89共7人．
将八年级成绩从小到大排列，、组共人，为前5个，
组7人，为第6到12个；组8人，为第13到20个，
中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在组，
组数据排序后为，第10个是88，第11个是89，
所以，
八年级成绩的中位数；
，即，
故答案为：、、；
（2）解：七年级的成绩更好，理由如下：
两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好；
（3）解：八（3）（人），
答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有1100人．
20．(1)①；②
(2)
(3)
（1）解：①在中，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为，
故答案为：；
②∵直线与直线交于点，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点，
当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方，
∴的解集为；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
21．(1)每袋酱板鸭45元，每袋蒸鸭50元
(2)56元
（1）解：设每袋酱板鸭元，每袋蒸鸭元，
根据题意得：，
解得．
答：每袋酱板鸭45元，每袋蒸鸭50元；
（2）解：设每袋蒸鸭元，
根据题意得：
解方程得：，
经检验：为原方程的解．
答：每袋蒸鸭56元．
22．(1)
(2)甲先到点，见解析
（1）解：过点作于点，
由题意得，，
∴，，
∴在中，，在中，，
答：B与C两点之间的距离为；
（2）解：如图：
由题意得，，
∴甲跑步的时间为：（分钟），
由题意得，，，
则，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴乙跑步的时间为：（分钟），
∵，
∴甲先到点．
23．(1)
(2)图见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
(3)
（1）解：过A作于D，如图，
∵在中，，，，
∴,
由得，
当点P在边上时，，，
则；
当点P在边上时，，，
则，
综上，y关于x的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解：列表：
x 0 5 8
y 0 6 0
描点、连线，函数图象如图所示：
由图可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：当时，由得，由得，
由图可知，当时，，
故答案为：
24．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，

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