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重庆市垫江县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，适合全面调查（普查）的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．对长江流域水质情况的调查
C．调查市场上学生牛奶的质量情况 D．飞机起飞前对机身各部位进行安全检查
3．若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．估计的值在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
5．下列命题中是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等
C．有两个平方根是
D．对顶角相等
6．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　）
A．19 B．20 C．22 D．25
7．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中3人购买了2D电影票，9人购买了3D电影票，共花费570元．已知每张3D电影票的售价比每张电影票的售价多10元，设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是3；
②27是“可拆分”整数；
③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种；
④最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．国家级旅游景区重庆洪崖洞民宿风貌区是兼具观光旅游、休闲度假等功能的旅游区，在2025年“五一”假期中累计接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为 ．
12．已知是关于的方程的一个解，则的值为 ．
13．已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为
14．如图，将向右平移得到，且点在同一条直线上，若，则的长为 ．
15．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．则图中阴影部分的面积为 ．
16．一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，，是“九九数”．最小的“九九数”为 ．若“九九数”能被13整除，则满足条件的的最大值为 ．
三、解答题
17．（1）化简：
（2）计算：
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．填空：如图，已知，试说明：．
解：（已知），
① ② （ ③ ）
④ （ ⑤ ）．
⑥ （平角的定义），
（等量代换）．
20．某校为了解学校八年级学生的身高情况，随机抽取该校八年级男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位：cm）
组别 身高/cm
A
B
C
D
E
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)该校八年级一共抽取了___________名女生进行调查，样本中女生身高在组的人数有___________人，样本中男生身高频数最多的是___________组（填组别）．
(2)求扇形统计图中组对应的圆心角度数：
(3)若该校八年级共有男生400人、女生380人，请估计身高在之间的学生约有多少人．
21．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点，都在格点（正方形网格的交点称为格点）．将向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到．
(1)直接写出的三个顶点的坐标；
(2)在图中画出平移后的：
(3)点是轴上的一动点，连接，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．垫江柚子以其卓越的品质，成为了我国柚类栽培中的优良品种，至今已有170余年的栽种历史．垫江柚子有白柚和红柚两种，已知5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元．
(1)求每千克白柚和红柚的售价？
(2)某公司准备购买垫江柚子发放给员工，计划购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．购买总金额不超过2980元，请你帮该公司设计有几种购买方案，并说明哪种方案最省钱．
23．阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数的系数，据此图2可以列出方程为：．
请你根据上述材料中的方法，完成下列任务：
任务一：
（1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解；
任务二：
（2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数．
24．已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点在直线之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
参考答案
1．C
解：A、是有限小数，可表示为分数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不符合题意；
C、属于无理数，符合题意；
D、是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
2．D
解：选项A：调查某批次汽车的抗撞击能力，抗撞击测试具有破坏性，全面调查具有破坏性，故需抽样调查；
选项B：对长江流域水质情况的调查，长江流域范围极大，全面检测所有区域水质成本过高，故需抽样调查；
选项C：调查市场上学生牛奶的质量情况，市场上牛奶数量庞大，全面检测耗时耗力，故需抽样调查；
选项D：飞机起飞前对机身各部位进行安全检查，为确保绝对安全，必须对每个部位逐一检查，避免遗漏隐患，故需全面调查；
故选：D.
3．D
选项A：
两边同时减2，不等号方向不变，原式应为，故A错误；
选项B：
当时，不等式成立；当时，不等号方向改变为；当时，两边相等．由于的符号不确定，B不一定成立；
选项C：
两边同时乘以，不等号方向改变，原式应为，故C错误；
选项D：
两边同时除以正数3，不等号方向不变，故D正确；
故选：D
4．A
解：∵，
∴介于4和5之间．
∴的值在1到2之间．
故选：A．
5．D
A． 内错角相等：需两直线平行时成立，缺少前提条件，故为假命题．
B． 绝对值相等的两数相等：反例（如3和绝对值相等但不等），故为假命题．
C． 有两个平方根：负数无平方根（平方根定义在非负数范围内），故为假命题．
D． 对顶角相等：根据对顶角性质定理，对顶角一定相等，故为真命题．
故选：D．
6．A
解：搭一个小正方形需要4根小棒，；
搭两个小正方形需要7根小棒，
搭三个小正方形需要10根小棒，
搭四个小正方形需要13根小棒，；
搭五个小正方形需要16根小棒，；
搭六个小正方形需要19根小棒，；
∴搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为19．
故选：A．
7．C
解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，
∴，
∵为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
8．B
解：方程组为
①乘以2：
②乘以3：
两式相减：，得．
将y代入①：，解得．
∵，
∴，
由，解得．
综上，a的取值范围是，
故选：B．
9．B
解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，解依题意得：
∴．
故选：B．
10．B
解：设M为一个“可拆分”整数，A、B为两个不相等的正整数，且，
∴，
即，
∵A、B为两个不相等的正整数，
∴A、B的最小值为1和2，
此时，
∴最小的“可拆分”整数是5，①错误；
∵27是“不可拆分”整数，∴②错误；
∵，
∴一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种，③正确；
由上可得，
当或99时，，它们都可以化成两个不相等的正整数的积，
∴97、98或99都是“可拆分”整数，
当时，，
∵97是质数，
∴不存在不相等的正整数A和B使成立，
∴最大的“不可拆分”的两位整数是96，④正确；
∴正确的有2个；
故选：B．
11．
解：，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个解，
∴
解得，
故答案为：．
13．或
解：∵点到两坐标轴的距离相等，且点，
∴，
∴或，
解得：或，
∴点A的坐标为：或；
故答案为：或．
14．3
解：∵向右平移得到，
∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
15．/平方厘米
解：设小长方形的长、宽分别为，，
由题意可列方程组为，
解得，
则小长方形的长为，宽为
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：．
16．
解：根据题意可得，最小的“九九数”千位上数字为1，则个位上的数字为8，百位上的数字为0，则十位上的数字为9，
∴最小的“九九数”为，
设“九九数”M千位上数字为a, 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，，
则
若“九九数”M能被13整除，则能被整除，
则设，
∵
∴
∴，则且为整数，
当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为，
故答案为：，
17．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）
．
18．，数轴见解析
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如图：
19．；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
解：（已知），
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）．
（平角的定义），
（等量代换）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；．
20．(1)，，B
(2)：
(3)332人．
（1）解：由题意可得抽取的男生人数为（人），
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴该校八年级一共抽取了名女生进行调查，
样本中女生身高在组的人数有为：（人），
样本中男生身高频数最多的是B组，
故答案为：，，B；
（2）解：，
即扇形统计图中组对应的圆心角度数为：
（3）解：（人）
答：估计该校身高在之间的学生约有332人．
21．(1)，，
(2)见解析
(3)或
（1）解：根据坐标系可得，，
（2）解：即为所求；
（3）解：
∴
设，则
∴
解得：
∴或
22．(1)每千克白柚和红柚的售价分别为元、元；
(2)共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱
（1）解：设每千克白柚和红柚的售价分别为x元、y元，
，
解得，，
答：每千克白柚和红柚的售价分别为元、元；
（2）解：设购买红柚的数量为a千克，则购买白柚的数量为千克，
根据题意可得，
解得，，
∵白柚、红柚的数量都为正整数，
∴或或或，
当时，（元），
当时，（元），
当时，（元），
当时，（元），
共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱
答：共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱．
23．
（1）两个方程分别为，，公共解为，
（2）1
（1）解：由图3得，①，
由图4得，②，
将这两个方程组成方程组得，，
将②得，，
得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
这个方程组的解是：，
即这两个方程的公共解是，；
（2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是，
由题意得，图5中表示的方程组可表示为，，
由题意可知，，
将代入①得，，解得：，
将，代入②得，，解得：，
被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是1．
24．(1)，理由见解析
(2)
(3)
（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
又
∴
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．

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