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福建省龙岩市新罗区新罗区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．下列各点在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．排球对墙垫球锻炼空间预判能力（智育）、提升身体协调性（体育）、培养坚持不放弃的毅力（德育）、展现动作节奏流畅之美（美育）、并在爱护器材中养成责任意识（劳育），体现了五育的全面融合，甲、乙、丙、丁四名学生各进行10次排球对墙垫球测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名学生中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，是一次函数图象上的两点，则m和n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．某文具超市有A，B，C，D四种笔记本销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，6元，某天的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值是（ ）
A．3元 B．4元 C．4.2元 D．4.5元
8．“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．21 C．14 D．10
10．若（m，n为两个连续奇数，，），则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数 B．总是奇数
C．总是无理数 D．可能是有理数，可能是无理数
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．一组数据：8，12，5，15，21，则这组数据的中位数是 ．
13．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则 ．
14．已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ．
15．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ．
16．如图，正方形的边长为4，点E为正方形内与点D不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

19．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积．
20．有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
21．某校准备购进一批篮球和足球供训练使用．若购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元．
(1)求篮球和足球的单价各是多少元？
(2)现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？
22．甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：
命中的环数/环 5 6 7 8 9 10
甲命中次数 1 2 4 2 1 0
乙命中次数 1 4 2 1 1 1
(1)乙同学10次射击命中环数的众数是______环；
(2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；
(3)经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2．根据所学的统计知识，从数据的集中趋势和数据波动的大小这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平．
23．折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，．
(1)折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形的边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°；
(2)现要折出角，小明同学采用下面的方法：
步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2；
步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形的边上），使得______．
请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为．
24．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)求m和k的值；
(2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E．
①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）；
②当时，求t的值；
③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
25．在菱形中，，动点E在边上，连接，．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值．
参考答案
1．A
解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A
2．C
解：A、，所以2，2，3不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
C、，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，符合题意；
D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
故选：C．
3．B
解：A、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意；
B、当时，，则点在正比例函数的图象上，符合题意；
C、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意；
D、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意；
故选：B．
4．A
解：，，，
，
这四名学生中成绩最稳定的是甲，
故选：A．
5．D
解：∵，
A、，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，由两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，则，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意；
故选：D．
6．D
解：将，代入一次函数，
则，，
解得：，，
即，
故选：D．
7．C
解：这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值为
5×10%+4×25%+3×40%+6×25%=4.2（元）．
故选：C．
8．A
解：直角三角形直角边的较短边为，
正方形的面积．
故选：A．
9．C
解：如图，过点作，分别交、于点M、N，
则四边形、、、都是矩形，
，，，，，
四边形是矩形，
，
，即，
，
阴影部分的面积为，
故选：C
10．B
解：m，n为两个连续奇数，，
，
，
，
，
为奇数，
是偶数，
是奇数，
故选：B．
11．x≥4．
解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
12．
解：数据从小到大排列为：5，8，12，15，21，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：
13．6
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
解：由条件可知，
∴交点坐标为，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
15．
设绳索长为尺，
可列方程为：，
故答案为：．
16．
解：如图，连接，
∵正方形，正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四点共线时，取得最小值，且最小值为的长，
∵正方形的边长为4，
∴，
的最小值为，
故的最小值为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．见解析
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．（1）一次函数的表达式为；（2）
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4），
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）由（1）可得一次函数的表达式为，
∴令y=0时，则有，解得：，
∴点，
∵B（0，4），
∴，
∴．
20．(1)
(2)
（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
21．(1)一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元
(2)最多需花费13860元．
（1）解：设篮球和足球的单价各是元和元，
由题意，得：，
解得：．
答：一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元．
（2）解：设购进足球a个，则购进篮球个，总花费为w，
根据题意可得，，
解得，，
∵，
∵
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，即（元）．
∴最多需花费13860元．
22．(1)6
(2)，
(3)甲的射击水平更好一些，理由见解析
（1）解：∵乙同学10次射击命中环数最多的是6环，
∴众数是6；
故答案为：6；
（2）解：甲同学10次射击命中环数的平均数为：
，
方差为：
；
（3）解：从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样；
从离散程度看，，，甲的成绩比乙更加稳定；
从集中趋势看，甲的众数比乙大；
故甲的射击水平更好一些．
23．(1)45
(2)点C落在上，点C的对应点为点N，证明见解析
（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得：，
故答案为：45；
（2）解：步骤2：使得点C落在上，点C的对应点为点N，
证明：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，连接
∴垂直平分，
∴，
∵再一次折叠纸片，使点C落在上，得到折痕，点C的对应点为点N，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
24．(1)，
(2)①，；②或；③是，
（1）解：把代入，得
，
∴．
把代入，得
，
∴．
（2）解：①轴，轴，且，
直线，当时，，
，
直线，当时，，
，
，
，．
故答案为：，．
②直线：，当时，，
，
，
，
，
解得或，
的值为或．
③作直线，
设直线的解析式为，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
解得，
直线的解析式为，
顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为．
25．(1)4
(2)见解析
(3)
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴．
（2）证明：延长到点H，使得，连接，
则，
∵点G是AF的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：过点D作于点Q，在上截取，连接，
∵菱形中，，
∴，，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M，
根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，
此时，，
设菱形的边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
∴．

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