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广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2024-2025学年八年级下学期第二次训练数学试题
1．（2025八下·榕城月考）我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·榕城月考）若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·榕城月考）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·榕城月考）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025八下·榕城月考）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．（2025八下·榕城月考）不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·榕城月考）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1)
8．（2025八下·榕城月考）已知、、为的三边长，且，则是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
9．（2025八下·榕城月考）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当越来越大时，的值越来越接近于1
10．（2025八下·榕城月考）如图，和都是等边三角形，、、三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形．⑥MN∥BD．其中，一定正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
11．（2025八下·榕城月考）因式分解： 　 　．
12．（2025八下·榕城月考）若分式 的值为零，则x的值为　 　.
13．（2025八下·榕城月考）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则点到的距离为　 　．
14．（2025八下·榕城月考）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
15．（2025八下·榕城月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是　 　．
16．（2025八下·榕城月考）解方程： = ．
17．（2025八下·榕城月考）先化简，再求值：，已知是满足的整数，选择一个合适的代入求值．
18．（2025八下·榕城月考）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）．
（1）在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形．
19．（2025八下·榕城月考）（1）已知，求分式的值；
（2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简．
20．（2025八下·榕城月考）利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简．
（1）若，求的值；
（2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长．
21．（2025八下·榕城月考）2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求每个B款吉祥物的售价；
（2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
22．（2025八下·榕城月考）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：．
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用配方法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
23．（2025八下·榕城月考）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；．根据轴对称图形与中心对称图形的概念并结合各选项的图案即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵、的值均扩大为原来的3倍，
∴将分式中的、分别换为、，
，故A不符合；
，故B符合；
，故C不符合；
，故D不符合，
故答案为 ：B．
【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，
∴此选项不符合题意；
B．，等式的右边不是几个整式的积的形式，
∴此选项不符合题意；
C．，从左边到右边的变形属于因式分解，
∴此选项符合题意；
D．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，
∴此选项符合题意.
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解”依次判断即可求解．
4．【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：①方程中，分母不含有未知数，不是分式方程；
∴结论不符合题意；
②方程中，分母含有未知数，是分式方程；
∴结论符合题意；
③方程中，分母不含有未知数，不是分式方程；
∴结论不符合题意；
④方程中，分母含有未知数，是分式方程，
∴结论符合题意.
∴分式方程有：②④.
故答案为：B．
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解得：，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故答案为：D．
【分析】解分式方程，根据分式方程的解为非负数并结合分式有意义的条件“分母≠0”可得关于a的不等式，解不等式组即可求解．
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解得：
∵
解得：
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组和不等式的解集，最后根据题干：不等式组的解集为不等式解集的一部分，据此即可求出m的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故答案为：C．
【分析】求出最简公分母为(2x﹣1)，然后利用等式性质去分母即可.
8．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵、、为的三边长，
∴
∴
即
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件：，求出三角形三边关系，进而确定三角形的形状.
9．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【解答】解：A、当时，≠，原说法错误，此选项不符合题意；
B、当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，此选项不符合题意；
C、当时，∵，
∴，原说法错误，此选项不符合题意；
D、当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、把x=2代入等式的左边计算即可判断求解；
B、解方程即可判断求解；
C、用求差法，计算的值即可判断求解；
D、当x越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；故②正确；
③∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BPD=120°，
∴∠APM=60°；故③正确；
④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CP平分∠BPD，
但没有条件得出CP平分∠MCN，
故④错误；
⑤在和中，
，
，
，
为等腰三角形，，
是等边三角形，故选项⑤正确；
⑥∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MNBC；故⑥正确．
正确的有：①②③⑤⑥，共5个．
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，根据补角可得∠ACD=∠BCE=120°，再根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△BCE（SAS），则AD=BE，可判断①；根据全等三角形性质可得∠CAD=∠CBE，再根据全等三角形判定定理可得△ACN≌△BCM（ASA），则AN=BM，∠BMC=∠ANC，可判断②；根据角之间的关系可判断③；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，根据全等三角形性质可得CQ=CH，再根据角平分判定定理可判断④；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断⑤；再根据全等三角形性质可得CN=BM，根据全等三角形判定定理可得△CMN为等边三角形，则∠CMN=60°，再根据直线平行判定定理可判断⑥.
11．【答案】(x-2y)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
=x2-2 x 2y+(2y)2
=(x-2y)2，
故答案为：(x-2y)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为0的条件，则
解得：
故答案为：2.
【分析】分式的值为0，则分子＝0且分母≠0 ，建立方程和不等式求解即可。
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则为点到的距离，
∵是直角三角形，，
∴，且，
在中，是的角平分线，∠C=90°，
∴，CD=ED，
∴BD=2CD，
在中，由勾股定理得：CD2+BC2=BD2，
∴CD2+（）2=（2CD）2，
解得：CD=3，
∴DE=CD=3.
故答案为：．
【分析】过点作于点，则为点到的距离，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得CD=DE，∠CBD=∠ABD=∠ABC，在Rt△CBD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=BD，即BD=2CD，在Rt△CBD中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程求出CD的值，于是DE=CD可求解.
14．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝，
∴CQ的最小值为．
故答案为：.
【分析】取AB的中点E，连接CE，PE．结合已知用边角边可得△QBC≌△PBE，由全等三角形的对应边相等可得QC＝PE，根据垂线段最短可知：当EP⊥AC时，QC的值最小；在Rt△AEP中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得QC=PE=AAE可求解.
16．【答案】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17．【答案】解：
，
当或时，原分式无意义，是满足的整数，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，最后根据是满足的整数，但不能为0，，选一个合适的数字，代入化简后的代数式计算即可求解．
18．【答案】（1）解：作线段的垂直平分线交于点D，如图：
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：作线段的垂直平分线交于点D，如图：
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．【答案】解：（1）设（），则，，，
把，，代入，
原式
．
（2）原式
．
【知识点】分式的加减法；比例的性质
【解析】【分析】（1）设，则，，，然后代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据题意，将分式变形计算即可．
20．【答案】（1）解：，
，
或
（2）解：，
，
，
在直角中，
，
，，
，
∵．
∴；
【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出的值；
（2）先根据已知条件得到根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半得AB=AD求得AB的值，用边角关系求出BD的值，根据线段的和差BC=CD+BD求得BC的值，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求出的长并结合题中已给的因式分解的方法化简即可．
21．【答案】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴每个B款吉祥物的售价为30元．
（2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，
根据题意得．解得．
又∵m为正整数，∴m的最大值为4．
∴李老师最多可购买4个A款吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个B款吉祥物的售价是x元，则每个A款吉祥物的售价是（x+20）元，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出B款吉祥物的售价；
（2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买（10-m）个B款吉祥物，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论。
22．【答案】（1）解：
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法，结合平方差进行因式分解即可求出答案.
（2）根据配方法化简，结合完全平方公式即可求出答案.
（3）移项，结合配方法化简，再根据偶次方的非负性可得a，b，c值，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
23．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），则∠MDB＝∠NDC＝30°，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得BM＝CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据全等三角形判定定理可得△DBM≌△DCE（SAS），则DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，根据补角可得∠MDB+∠NDC＝60°，再根据角之间的关系可得∠EDN＝∠MDN，再根据全等三角形判定定理可得△MDN≌△EDN（SAS），则MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC，即可求出答案.
（4）根据三角形周长可得△AMN的周长＝2AB，再根据等边三角形性质可得AB＝BC＝AC，则△ABC的周长＝3AB，即可求出答案.
1 / 1广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2024-2025学年八年级下学期第二次训练数学试题
1．（2025八下·榕城月考）我国新能源汽车产业飞速发展，自主品牌开启出海大时代．下列是新能源汽车的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；．根据轴对称图形与中心对称图形的概念并结合各选项的图案即可判断求解．
2．（2025八下·榕城月考）若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵、的值均扩大为原来的3倍，
∴将分式中的、分别换为、，
，故A不符合；
，故B符合；
，故C不符合；
，故D不符合，
故答案为 ：B．
【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·榕城月考）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，
∴此选项不符合题意；
B．，等式的右边不是几个整式的积的形式，
∴此选项不符合题意；
C．，从左边到右边的变形属于因式分解，
∴此选项符合题意；
D．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，
∴此选项符合题意.
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解”依次判断即可求解．
4．（2025八下·榕城月考）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：①方程中，分母不含有未知数，不是分式方程；
∴结论不符合题意；
②方程中，分母含有未知数，是分式方程；
∴结论符合题意；
③方程中，分母不含有未知数，不是分式方程；
∴结论不符合题意；
④方程中，分母含有未知数，是分式方程，
∴结论符合题意.
∴分式方程有：②④.
故答案为：B．
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义并结合各选项即可判断求解．
5．（2025八下·榕城月考）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解得：，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故答案为：D．
【分析】解分式方程，根据分式方程的解为非负数并结合分式有意义的条件“分母≠0”可得关于a的不等式，解不等式组即可求解．
6．（2025八下·榕城月考）不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解得：
∵
解得：
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组和不等式的解集，最后根据题干：不等式组的解集为不等式解集的一部分，据此即可求出m的取值范围.
7．（2025八下·榕城月考）解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1)
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故答案为：C．
【分析】求出最简公分母为(2x﹣1)，然后利用等式性质去分母即可.
8．（2025八下·榕城月考）已知、、为的三边长，且，则是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵、、为的三边长，
∴
∴
即
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件：，求出三角形三边关系，进而确定三角形的形状.
9．（2025八下·榕城月考）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当越来越大时，的值越来越接近于1
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【解答】解：A、当时，≠，原说法错误，此选项不符合题意；
B、当时，去分母得，解得，经检验是方程的解，原说法错误，此选项不符合题意；
C、当时，∵，
∴，原说法错误，此选项不符合题意；
D、当越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确，此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、把x=2代入等式的左边计算即可判断求解；
B、解方程即可判断求解；
C、用求差法，计算的值即可判断求解；
D、当x越来越大时，的值越来越接近于1，说法正确.
10．（2025八下·榕城月考）如图，和都是等边三角形，、、三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④平分；⑤是等边三角形．⑥MN∥BD．其中，一定正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，∠BMC=∠ANC；故②正确；
③∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BPD=120°，
∴∠APM=60°；故③正确；
④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ=CH，
∴CP平分∠BPD，
但没有条件得出CP平分∠MCN，
故④错误；
⑤在和中，
，
，
，
为等腰三角形，，
是等边三角形，故选项⑤正确；
⑥∵△ACN≌△BCM，
∴CN=BM，
而∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形；
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠BCM，
∴MNBC；故⑥正确．
正确的有：①②③⑤⑥，共5个．
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，根据补角可得∠ACD=∠BCE=120°，再根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△BCE（SAS），则AD=BE，可判断①；根据全等三角形性质可得∠CAD=∠CBE，再根据全等三角形判定定理可得△ACN≌△BCM（ASA），则AN=BM，∠BMC=∠ANC，可判断②；根据角之间的关系可判断③；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，根据全等三角形性质可得CQ=CH，再根据角平分判定定理可判断④；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断⑤；再根据全等三角形性质可得CN=BM，根据全等三角形判定定理可得△CMN为等边三角形，则∠CMN=60°，再根据直线平行判定定理可判断⑥.
11．（2025八下·榕城月考）因式分解： 　 　．
【答案】(x-2y)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
=x2-2 x 2y+(2y)2
=(x-2y)2，
故答案为：(x-2y)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
12．（2025八下·榕城月考）若分式 的值为零，则x的值为　 　.
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为0的条件，则
解得：
故答案为：2.
【分析】分式的值为0，则分子＝0且分母≠0 ，建立方程和不等式求解即可。
13．（2025八下·榕城月考）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则点到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则为点到的距离，
∵是直角三角形，，
∴，且，
在中，是的角平分线，∠C=90°，
∴，CD=ED，
∴BD=2CD，
在中，由勾股定理得：CD2+BC2=BD2，
∴CD2+（）2=（2CD）2，
解得：CD=3，
∴DE=CD=3.
故答案为：．
【分析】过点作于点，则为点到的距离，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得CD=DE，∠CBD=∠ABD=∠ABC，在Rt△CBD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=BD，即BD=2CD，在Rt△CBD中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程求出CD的值，于是DE=CD可求解.
14．（2025八下·榕城月考）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
15．（2025八下·榕城月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，
∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，
∴PE＝AE＝，
∴CQ的最小值为．
故答案为：.
【分析】取AB的中点E，连接CE，PE．结合已知用边角边可得△QBC≌△PBE，由全等三角形的对应边相等可得QC＝PE，根据垂线段最短可知：当EP⊥AC时，QC的值最小；在Rt△AEP中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得QC=PE=AAE可求解.
16．（2025八下·榕城月考）解方程： = ．
【答案】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17．（2025八下·榕城月考）先化简，再求值：，已知是满足的整数，选择一个合适的代入求值．
【答案】解：
，
当或时，原分式无意义，是满足的整数，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，最后根据是满足的整数，但不能为0，，选一个合适的数字，代入化简后的代数式计算即可求解．
18．（2025八下·榕城月考）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）．
（1）在图①中画出折痕所在的直线．直线与分别相交于点，连结（尺规作图，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形．
【答案】（1）解：作线段的垂直平分线交于点D，如图：
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：作线段的垂直平分线交于点D，如图：
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．（2025八下·榕城月考）（1）已知，求分式的值；
（2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简．
【答案】解：（1）设（），则，，，
把，，代入，
原式
．
（2）原式
．
【知识点】分式的加减法；比例的性质
【解析】【分析】（1）设，则，，，然后代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据题意，将分式变形计算即可．
20．（2025八下·榕城月考）利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简．
（1）若，求的值；
（2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长．
【答案】（1）解：，
，
或
（2）解：，
，
，
在直角中，
，
，，
，
∵．
∴；
【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题目已给的因式分解方法，对所求式子因式分解，即可求出的值；
（2）先根据已知条件得到根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半得AB=AD求得AB的值，用边角关系求出BD的值，根据线段的和差BC=CD+BD求得BC的值，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求出的长并结合题中已给的因式分解的方法化简即可．
21．（2025八下·榕城月考）2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求每个B款吉祥物的售价；
（2）为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
【答案】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴每个B款吉祥物的售价为30元．
（2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，
根据题意得．解得．
又∵m为正整数，∴m的最大值为4．
∴李老师最多可购买4个A款吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个B款吉祥物的售价是x元，则每个A款吉祥物的售价是（x+20）元，可列出关于x的分式方程，解方程即可求出B款吉祥物的售价；
（2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买（10-m）个B款吉祥物，可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论。
22．（2025八下·榕城月考）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：．
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用配方法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）解：
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法，结合平方差进行因式分解即可求出答案.
（2）根据配方法化简，结合完全平方公式即可求出答案.
（3）移项，结合配方法化简，再根据偶次方的非负性可得a，b，c值，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
23．（2025八下·榕城月考）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），则∠MDB＝∠NDC＝30°，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得BM＝CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据全等三角形判定定理可得△DBM≌△DCE（SAS），则DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，根据补角可得∠MDB+∠NDC＝60°，再根据角之间的关系可得∠EDN＝∠MDN，再根据全等三角形判定定理可得△MDN≌△EDN（SAS），则MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC，即可求出答案.
（4）根据三角形周长可得△AMN的周长＝2AB，再根据等边三角形性质可得AB＝BC＝AC，则△ABC的周长＝3AB，即可求出答案.
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