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广东省东莞市三校2025年九年级第二次模拟联考数学试题
1．（2025·东莞模拟）深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·东莞模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·东莞模拟）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（　　）
A．－1 B．7 C．1 D．2
5．（2025·东莞模拟）骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
7．（2025·东莞模拟）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·东莞模拟）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形
9．（2025·东莞模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．那么表示9班学生的识别图案是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）如图，矩形的边，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若，则的面积为；
②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是；
④若，则；
⑤连接，则直线．
其中正确的命题个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2025·东莞模拟）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　
12．（2025·东莞模拟）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是　 　．
13．（2025·东莞模拟）若，，则代数式的值为　 　．
14．（2025·东莞模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是　 　．
15．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
16．（2025·东莞模拟）计算：．
17．（2025·东莞模拟）如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接．
（1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）是的切线吗？请说明理由．
18．（2025·东莞模拟）电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】（1）小明共调查了________辆A型纯电动汽车，并直接补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角为________；
【分析数据】
（3）由下表填空：________，________；
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
19．（2025·东莞模拟）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
20．（2025·东莞模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
21．（2025·东莞模拟）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
22．（2025·东莞模拟）【问题情境】
数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
【思考尝试】
如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【实践探究】
如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________．
23．（2025·东莞模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标；
（3）如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是：
.
故答案为：C．
【分析】认真观察 这个构件，从前面看，得到的图形并结合各选项即可求解．
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，计算正确，符合题意；
B.与不能运算，故此选项错误，不符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D.，计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案为：C．
【分析】观察方程组可知，将方程组的两个方程相减，可得到，结合已知可得关于m的方程，解方程即可求解．
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，
则图中阴影部分的面积是，
故答案为：B．
【分析】先用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再用角角边可得△COE≌△AOF，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据阴影部分的面积的构成即可求解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案为：A．
【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，根据同弧所对圆周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根据sin∠CDO=sin∠OBC=计算即可求解．
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，
得到的平面图形一定是菱形，
故答案为：．
【分析】由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，根据四边都相等的四边形是菱形可求解．
9．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为6班学生；
B、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为10班学生；
C、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为9班学生；
D、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为7班学生；
故答案为：C．
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴点，
∴，
∴
．
所以①正确；
∵，
∴点，
∴．
如图，过点E作于点M，
则．
在线段上取一点N，使得，连接，
在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴．
∵，
∴点N与点C关于直线对称．
所以②正确；
由题意，得点F与点不重合，
∴，
∴．
所以③不正确；
设，则，
设直线的关系式为，则
，
解得，
∴.
令，得，
∴点．
令，得，
∴点．
可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
过点E作轴于点M，则，
在中，，
由勾股定理，得，
在中，，
由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴．
所以④正确，⑤正确．
可知正确的有4个．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得点，根据两点间距离可得CE，CF，再根据，结合矩形，三角形面积可判断①；根据题意可得点，根据两点间距离可得CE，CF，过点E作于点M，则，在线段上取一点N，使得，连接，根据勾股定理可得MN，再根据边之间的关系可得BN，根据勾股定理可得NF，则，再根据垂直平分线性质可判断②；由题意，得点F与点不重合，根据反比例函数的性质可判断③；设，则，设直线的关系式为，根据待定系数法将点E，F坐标代入解析式可得，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，即，过点E作轴于点M，则，根据勾股定理可得DE，EG，再根据边之间的关系建立方程，解方程可判断⑤.
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案为：且
【分析】根据二次根式有意义的调节结合分式有意义的条件得到x+1≥0，x-2≠0，进而化简即可求解.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，
到达“－－－”上方的由2种，
故则“馬”随机移动一次，
到达的位置在“－－－”上方的概率是，
故答案为：．
【分析】观察已知图形并结合"马走日"可知：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，到达“－－－”上方的由2种，然后根据概率公式计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】2＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，
得：，
解得：2＜x≤4．
故答案为：2＜x≤4．
【分析】根据题意"第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28"可列关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
15．【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限，
∵，
∴，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，
坐标为和，
∴此时点Q的运动路径长为；
同理，点Q可能在第二、三、四象限，
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限，根据题意建立方程，化简可得，则此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，坐标为和，根据勾股定理可得此时点Q的运动路径长为，同理，点Q可能在第二、三、四象限，即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，即，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
18．【答案】（1）20，
补全条形统计图如下：
（2）72；
（3）430，450；
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠；所以选择B型号的纯电动汽车较为合适
【知识点】扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）（辆），
“”的数量为：（辆），
故答案为：20；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：；
故答案为：72；
（3），．
故答案为：430；450；
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用乘续航里程为的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
19．【答案】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
20．【答案】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过O作于O，过A作于G，在中，根据锐角三角函数sin∠AOG=求出AG的值，然后根据点A位于最高点时到地面的距离=AG+OM即可求解；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，在中，根据锐角三角函数sin∠OCB=求出BC的值；在中，根据锐角三角函数sin∠B1OD=求出的值，然后根据 水桶B上升的高度=BC+B1D计算即可求解.
（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
21．【答案】解：（1）过点作于点C交于点D，则为切点，
∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的竖直高度；
（2）过点作AD⊥OB于点D，
则A点到地面的距离为BD长，设BD=x，则OE=OB-BD=（75-x）cm，
∴，即，
解得，
∴点A的高度升高为；
（3）如图，，
∴，
∴，
∴圆心O运动的路径长为．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长，然后根据线段的和差CD=OC-OD可求解；
（2）过点作AD⊥OB于点D，根据可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据线段的和差即可求解；
（3）根据锐角三角函数tan∠DBO=可求得的度数，由直角三角形两锐角互余可求得圆心角的度数，然后根据弧长公式“L=”计算即可求解．
22．【答案】【问题情境】：，；
【思考尝试】：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
【实践探究】：如图3，过点作，并使得，则，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【拓展迁移】：
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：【问题情境】：∵等腰和等腰，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展迁移】：∵，
∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大，
，
∴此时最小，即的长最小，
，
，
，
，
，
，
∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为，
故答案为：．
【分析】【 问题情境 】根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理可得∠BFC =90°，即可求出答案.
【 思考尝试 】根据正方形及等腰直角三角形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，由平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
【 实践探究 】过点作，并使得，则，连接，根据矩形性质可得，则，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
【 拓展迁移 】点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大，由，可得此时最小，即的长最小，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：令，则，
．
令，则，
，
将点，代入，
得，
，
（2）解：令，即，解得：，，
．
将点，代入直线的关系式中，
，
解得，
直线的解析式为：．
点M在抛物线上，点N在直线上，
设，则，
，
∵，
，
∴．
ⅰ．如图1，当邻边时，，
解得：，（舍去），
．
与平行，
；
ⅱ．如图2，当邻边时，
则，
，则，
解得或（舍去），即M与A重合，
，；
ⅲ．如图3，当时，，
，即M与N关于x轴对称，
，
解得或（舍），
，．
综上：点Q的坐标为或或
（3）
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，
，，
．
，，
，
．
，
，
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
．
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点B，C坐标代入BC直线解析式可得直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得MN，根据等腰直角三角形性质可得，则，分情况讨论：当邻边时，建立方程，解方程可得，根据直线平行性质即可求出答案；当邻边时，则，即，可得，解方程即可求出答案；当时，，则，即M与N关于x轴对称，根据对称性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得在以为圆心，2为半径的圆上运动，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：令，则，
．
令，则，
，
将点，代入，
得，
，
；
（2）解：令，即，解得：，，
．
将点，代入直线的关系式中，
，
解得，
直线的解析式为：．
点M在抛物线上，点N在直线上，
设，则，
，
∵，
，
∴．
ⅰ．如图1，当邻边时，，
解得：，（舍去），
．
与平行，
；
ⅱ．如图2，当邻边时，
则，
，则，
解得或（舍去），即M与A重合，
，；
ⅲ．如图3，当时，，
，即M与N关于x轴对称，
，
解得或（舍），
，．
综上：点Q的坐标为或或；
（3）解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，
，，
．
，，
，
．
，
，
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
．
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
．
1 / 1广东省东莞市三校2025年九年级第二次模拟联考数学试题
1．（2025·东莞模拟）深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数.
2．（2025·东莞模拟）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是：
.
故答案为：C．
【分析】认真观察 这个构件，从前面看，得到的图形并结合各选项即可求解．
3．（2025·东莞模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，计算正确，符合题意；
B.与不能运算，故此选项错误，不符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D.，计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘以多项式，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·东莞模拟）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（　　）
A．－1 B．7 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案为：C．
【分析】观察方程组可知，将方程组的两个方程相减，可得到，结合已知可得关于m的方程，解方程即可求解．
5．（2025·东莞模拟）骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得∠DEF，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·东莞模拟）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，
则图中阴影部分的面积是，
故答案为：B．
【分析】先用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再用角角边可得△COE≌△AOF，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据阴影部分的面积的构成即可求解．
7．（2025·东莞模拟）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案为：A．
【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，根据同弧所对圆周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根据sin∠CDO=sin∠OBC=计算即可求解．
8．（2025·东莞模拟）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，
得到的平面图形一定是菱形，
故答案为：．
【分析】由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，根据四边都相等的四边形是菱形可求解．
9．（2025·东莞模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．那么表示9班学生的识别图案是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为6班学生；
B、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为10班学生；
C、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为9班学生；
D、第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为7班学生；
故答案为：C．
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）如图，矩形的边，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若，则的面积为；
②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是；
④若，则；
⑤连接，则直线．
其中正确的命题个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴点，
∴，
∴
．
所以①正确；
∵，
∴点，
∴．
如图，过点E作于点M，
则．
在线段上取一点N，使得，连接，
在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴．
∵，
∴点N与点C关于直线对称．
所以②正确；
由题意，得点F与点不重合，
∴，
∴．
所以③不正确；
设，则，
设直线的关系式为，则
，
解得，
∴.
令，得，
∴点．
令，得，
∴点．
可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
过点E作轴于点M，则，
在中，，
由勾股定理，得，
在中，，
由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴．
所以④正确，⑤正确．
可知正确的有4个．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得点，根据两点间距离可得CE，CF，再根据，结合矩形，三角形面积可判断①；根据题意可得点，根据两点间距离可得CE，CF，过点E作于点M，则，在线段上取一点N，使得，连接，根据勾股定理可得MN，再根据边之间的关系可得BN，根据勾股定理可得NF，则，再根据垂直平分线性质可判断②；由题意，得点F与点不重合，根据反比例函数的性质可判断③；设，则，设直线的关系式为，根据待定系数法将点E，F坐标代入解析式可得，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，即，过点E作轴于点M，则，根据勾股定理可得DE，EG，再根据边之间的关系建立方程，解方程可判断⑤.
11．（2025·东莞模拟）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案为：且
【分析】根据二次根式有意义的调节结合分式有意义的条件得到x+1≥0，x-2≠0，进而化简即可求解.
12．（2025·东莞模拟）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，
到达“－－－”上方的由2种，
故则“馬”随机移动一次，
到达的位置在“－－－”上方的概率是，
故答案为：．
【分析】观察已知图形并结合"马走日"可知：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，到达“－－－”上方的由2种，然后根据概率公式计算即可求解．
13．（2025·东莞模拟）若，，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式将代数式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是　 　．
【答案】2＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：依题意，
得：，
解得：2＜x≤4．
故答案为：2＜x≤4．
【分析】根据题意"第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28"可列关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
15．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限，
∵，
∴，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，
坐标为和，
∴此时点Q的运动路径长为；
同理，点Q可能在第二、三、四象限，
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限，根据题意建立方程，化简可得，则此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，坐标为和，根据勾股定理可得此时点Q的运动路径长为，同理，点Q可能在第二、三、四象限，即可求出答案.
16．（2025·东莞模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025·东莞模拟）如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接．
（1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）是的切线吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得，，再根据三角形内角和定理可得，则，即，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是的切线，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
18．（2025·东莞模拟）电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】（1）小明共调查了________辆A型纯电动汽车，并直接补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角为________；
【分析数据】
（3）由下表填空：________，________；
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
【答案】（1）20，
补全条形统计图如下：
（2）72；
（3）430，450；
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠；所以选择B型号的纯电动汽车较为合适
【知识点】扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）（辆），
“”的数量为：（辆），
故答案为：20；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：；
故答案为：72；
（3），．
故答案为：430；450；
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用乘续航里程为的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
19．（2025·东莞模拟）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，
由题意得：，解得．
，即，
，
随m的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
20．（2025·东莞模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
【答案】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过O作于O，过A作于G，在中，根据锐角三角函数sin∠AOG=求出AG的值，然后根据点A位于最高点时到地面的距离=AG+OM即可求解；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，在中，根据锐角三角函数sin∠OCB=求出BC的值；在中，根据锐角三角函数sin∠B1OD=求出的值，然后根据 水桶B上升的高度=BC+B1D计算即可求解.
（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
21．（2025·东莞模拟）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
【答案】解：（1）过点作于点C交于点D，则为切点，
∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的竖直高度；
（2）过点作AD⊥OB于点D，
则A点到地面的距离为BD长，设BD=x，则OE=OB-BD=（75-x）cm，
∴，即，
解得，
∴点A的高度升高为；
（3）如图，，
∴，
∴，
∴圆心O运动的路径长为．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长，然后根据线段的和差CD=OC-OD可求解；
（2）过点作AD⊥OB于点D，根据可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据线段的和差即可求解；
（3）根据锐角三角函数tan∠DBO=可求得的度数，由直角三角形两锐角互余可求得圆心角的度数，然后根据弧长公式“L=”计算即可求解．
22．（2025·东莞模拟）【问题情境】
数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
【思考尝试】
如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【实践探究】
如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________．
【答案】【问题情境】：，；
【思考尝试】：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
【实践探究】：如图3，过点作，并使得，则，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【拓展迁移】：
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：【问题情境】：∵等腰和等腰，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展迁移】：∵，
∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大，
，
∴此时最小，即的长最小，
，
，
，
，
，
，
∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为，
故答案为：．
【分析】【 问题情境 】根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理可得∠BFC =90°，即可求出答案.
【 思考尝试 】根据正方形及等腰直角三角形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，由平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
【 实践探究 】过点作，并使得，则，连接，根据矩形性质可得，则，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
【 拓展迁移 】点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大，由，可得此时最小，即的长最小，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2025·东莞模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若点M为直线下方抛物线上一动点，轴交于点N，Q是平面内任意一点，若以M，N，Q，B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标；
（3）如图3，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰直角三角形，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．请直接写出长度的取值范围．
【答案】（1）解：令，则，
．
令，则，
，
将点，代入，
得，
，
（2）解：令，即，解得：，，
．
将点，代入直线的关系式中，
，
解得，
直线的解析式为：．
点M在抛物线上，点N在直线上，
设，则，
，
∵，
，
∴．
ⅰ．如图1，当邻边时，，
解得：，（舍去），
．
与平行，
；
ⅱ．如图2，当邻边时，
则，
，则，
解得或（舍去），即M与A重合，
，；
ⅲ．如图3，当时，，
，即M与N关于x轴对称，
，
解得或（舍），
，．
综上：点Q的坐标为或或
（3）
【知识点】旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，
，，
．
，，
，
．
，
，
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
．
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点B，C坐标代入BC直线解析式可得直线的解析式为：，设，则，根据两点间距离可得MN，根据等腰直角三角形性质可得，则，分情况讨论：当邻边时，建立方程，解方程可得，根据直线平行性质即可求出答案；当邻边时，则，即，可得，解方程即可求出答案；当时，，则，即M与N关于x轴对称，根据对称性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得在以为圆心，2为半径的圆上运动，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：令，则，
．
令，则，
，
将点，代入，
得，
，
；
（2）解：令，即，解得：，，
．
将点，代入直线的关系式中，
，
解得，
直线的解析式为：．
点M在抛物线上，点N在直线上，
设，则，
，
∵，
，
∴．
ⅰ．如图1，当邻边时，，
解得：，（舍去），
．
与平行，
；
ⅱ．如图2，当邻边时，
则，
，则，
解得或（舍去），即M与A重合，
，；
ⅲ．如图3，当时，，
，即M与N关于x轴对称，
，
解得或（舍），
，．
综上：点Q的坐标为或或；
（3）解：将点B绕A点顺时针旋转到，连接，，，
，，
．
，，
，
．
，
，
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
．
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
．
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