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广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年下学期九年级3月测试数学试卷（一模）
1．（2025·深圳模拟）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
3．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（m+2）2＝m2+4 B．m5﹣m3＝m2
C．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 D．﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4﹣2m2
4．（2025·深圳模拟）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．20
6．（2025·深圳模拟）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·深圳模拟）已知实数a，b，满足，，则的值为　 　．
10．（2025·深圳模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
11．（2025·深圳模拟）如图，矩形中，，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为　 　．
13．（2025·深圳模拟）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为　 　．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中，，中选取一个合适的数代入求值．
16．（2025·深圳模拟）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：
平均数 众数 中位数
A学校 85.5 80 n
B学校 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）；
（3）本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．
17．（2025·深圳模拟）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
18．（2025·深圳模拟）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于，且每盒售价不得高于80元．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？
19．（2025·深圳模拟）【问题背景】
人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距”的定义如下：坐标平面内的两点，，，之间的距离为．例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的“曼距”．
【初步理解】
（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生在处．而在该地区附近有两辆警车，车位于处，车位于处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派 车（填或前去处理事故．
（2）如图1，正方形的中心位于坐标原点，四个顶点均位于坐标轴上，且．则下列说法：
①若点是正方形一边上的一点，则；②若点是正方形内的一点，则；
③若点是正方形外的一点，则；④若点是正方形内的一点，则．
其中不正确的是　　（填序号）．
【探究应用】
（3）如图2，某消防支队位于坐标原点，轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过，，三点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点，为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点的位置应选在何处？请作答以下问题：
①圆弧所在的圆的圆心的坐标为　　，该圆的半径大小为　　；
②请利用网格格点，在图2中，画出使最小时点的位置（不要求证明）；
③的最小值为　　．
20．（2025·深圳模拟）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：
将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系．
【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）；
【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由；
【能力提升】
（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据中心对称的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，然后再将各个选项进行分析即可求解。
2．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数为，
故答案为：A。
【分析】根据正数和负数的概念：正数大于0，0大于负数
根据正数和负数的性质，可得，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，据此求解即可．
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 故A不符合题意；
不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故C符合题意；
﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4+2m2，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式、合并同类项的方法、积的乘方运算和单项式乘多项式的方法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得，然后再根据平行线的性质，可得，则，代入数据即可求解。
5．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴，
∴．
经检验， 是方程的解，且符合题意．
故答案为：A。
【分析】用红球的个数除以箱子里球的总数，然后令其等于频率，最后再进行求解即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作法得平分，
∴，
∴．
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和公式，求出，再根据题干中的作图方法，可知是的角平分线，最后再根据三角形的外角定理：，代入数据即可求解。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
根据题意，得．
故答案为：D。
【分析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等，可建立方程：，据此即可求解
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：A。
【分析】连接，根据 AB是半圆O的直径，可得，然后再根据，可得，则可判断，从而得到，再利用三角形面积公式得到，进而可得，易证，根据相似三角形的性质，求出的值，进而可求出的值，设，则，在 中，根据勾股定理：，代入数据，求出得到的值，最后再根据正切函数的定义：，代入数据即可求解。
9．【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
10．【答案】2027
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：。
【分析】把代入 ，求出，然后再整体代入即可求解。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意得：，
四边形是矩形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
；
故答案为：。
【分析】根据题意，可知， 根据四边形是矩形，可求出 ，在直角三角形ABE中，根据勾股定理： 求出的值，进而可知是等腰直角三角形，然后再根据矩形的面积公式：，代入数据求出矩形ABCD的面积，根据扇形的面积公式，可求出扇形ADE的面积，根据，代入数据即可求解。
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵绕着点B旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵反比例函数的图象经过点D和点E，
∴，，
解得：。
故答案为：。
【分析】 设 ，根据点A的坐标，求出AB的长，然后再直角三角形ABC中，根据勾股定理：，代入数据，求出AC的值；根据旋转的性质，可知，，根据三角形内角和公式和直角三角形的互余性质，可得：
， 求出的值，进而可求出的值，再根据直角三角形的性质，可得，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出EG的值，进而可求出D和E的坐标，然后再将D和E代入反比例函数 中，即可求出k的值。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数的定义，可求出的值，设，，利用勾股定理分别求出、和的值，进而可求出的值，再求出，则，和的值，进而得的值，，根据得的值，设，，则，，由正切函数，然后再将数据代入，即可求解．
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值，分别对各个式子进行求解化简，最后再将各个式子进行相加减，据此即可求解
15．【答案】解：原式
，
；；
，，，
当时，
原式。
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据平方差公式进行分解，再将除法换算成乘法，再进行约分化简，然后再根据分式的意义，确定a的值，然后再将a的值代入化简后的分式中，即可求解。
16．【答案】（1）85；87
（2）
（3）解：将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可得，，
将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．
故答案为：85；87．
（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，
故答案为：
【分析】（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，据此可求出m的值；B学校一共有10个学生，因此就有10个成绩，先对10个成绩从小到大排序，中位数位于第5和第6这两个数的平均数，据此即可求出n的值
（2）观察折线统计图中A和B学校两条折线的波动程度，可知，波动越大，方差越大，据此即可求解
（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，然后列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，最后再利用概率公式，据此即可求出答案。
（1）解：（1）由折线统计图可得，，
将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．
故答案为：85；87．
（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，
故答案为：．
（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，
列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
故答案为：．
17．【答案】（1）解：如图所示：
由题意知，
在中，，则，即，
。
（2）解：如图所示：
，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形所示，可知，根据直角三角形的互余性质，可得，代入数据即可求解。
（2）根据题意，可知，在中，，可知三角形ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形性质得到；在中，，根据正切函数的定义：，代入数据即可求解。
18．【答案】（1）400
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最大值，为元，
答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：（盒），
故答案为：400；
【分析】（1）根据“每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒”，用60减去50，然后再乘以10，最后再用500减去10（60-50），求出每盒提高10元时，粽子的日销售量
（2）根据“销售额=销售量×销售价”列出函数解析式，然后再根据函数的性质进行求解即可．
（1）解：（盒），
故答案为：400；
（2）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最大值，为元，
答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元．
19．【答案】（1）B；（2）④；
（3）①，，
②
③
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：（1），，
，
应该派前去处理事故，
故答案为：；
（2），
设所在直线方程为
把代入
得
解得
所在直线方程为：，
当在第一象限内，
当在上时，，故①正确；
当在正方形内时，过作交于，此时，，
，故②正确；
同理，当在正方形外，，
，故③正确；
正方形为轴对称图形，也是中心对称图形，
当在其他象限时，①②③同样成立；
取为上一点，，
，故④错误；
故答案为：④；
（3）①②如图：
，
，
故答案为：，；
③过作轴垂线，过作轴垂线，两线相交于，
为等腰直角三角形，
，
，，
故答案为：。
【分析】（1）根据新定义要求，分别求出和的长，然后再进行比较，据此即可判断；
（2）根据正方形的性质，可得正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，根据，设CD所在直线方程为 ，将D坐标和C坐标代入，求出的直线方程，然后再根据P点在CD上，求出的长，从而确定P点的位置；当P在正方形内时，过作轴垂线，交于点，根据坐标关系即可得出②③，令在上，求出的长，即可判断④的正误；
（3）①根据垂径定理作和的垂直平分线，交点即为，根据勾股定理求出即为半径；②③因为为定值，也为定值，所以需要在，之间，且尽量大。
20．【答案】证明：（1），；
如图1，
，，理由如下：
连接，延长，交的延长线于点，交于点O，
，
∴，
∵
∴
，，
由旋转可得，，
，，
，
∵
∴
，
，
，
∴，，
，
，
，
证明：（2）；
如图3，
延长至，使，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）设，如图4，
当点在内部时，由（1）知，，，，
，
，
，
，
、、共线，
，
，
，
，（舍去），
，
，
如图5，
当点在外部时，
，
，
，
、、共线，
，
，
，
，（舍去），
，
综上所述：．
【分析】（1）连接，延长，交的延长线于点，交于点O，根据，可求出和，再根据，据此即可证明三角形BGF和三角形DEF全等，进而可得出，，再根据旋转性质，可得，，进而可得出，，由此可得，然后根据题干条件，易证，从而可得，据此即可证明
（2）延长至，使，根据，易证四边形是平行四边形，由旋转性质，可得，，，进而求出，可证得C、B、E、D共圆，从而，，可证得，从而，据此即可求解
（3）设 当点在内部时，由（1）可求出等于90度，再结合 ，可推出 ，易证得C、D、F共线，然后再根据，可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果.
1 / 1广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年下学期九年级3月测试数学试卷（一模）
1．（2025·深圳模拟）萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据中心对称的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，然后再将各个选项进行分析即可求解。
2．（2025·深圳模拟）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数为，
故答案为：A。
【分析】根据正数和负数的概念：正数大于0，0大于负数
根据正数和负数的性质，可得，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，据此求解即可．
3．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A．（m+2）2＝m2+4 B．m5﹣m3＝m2
C．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 D．﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4﹣2m2
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 故A不符合题意；
不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故C符合题意；
﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4+2m2，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式、合并同类项的方法、积的乘方运算和单项式乘多项式的方法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解。
4．（2025·深圳模拟）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C。
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得，然后再根据平行线的性质，可得，则，代入数据即可求解。
5．（2025·深圳模拟）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴，
∴．
经检验， 是方程的解，且符合题意．
故答案为：A。
【分析】用红球的个数除以箱子里球的总数，然后令其等于频率，最后再进行求解即可。
6．（2025·深圳模拟）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作法得平分，
∴，
∴．
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和公式，求出，再根据题干中的作图方法，可知是的角平分线，最后再根据三角形的外角定理：，代入数据即可求解。
7．（2025·深圳模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
根据题意，得．
故答案为：D。
【分析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等，可建立方程：，据此即可求解
8．（2025·深圳模拟）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：A。
【分析】连接，根据 AB是半圆O的直径，可得，然后再根据，可得，则可判断，从而得到，再利用三角形面积公式得到，进而可得，易证，根据相似三角形的性质，求出的值，进而可求出的值，设，则，在 中，根据勾股定理：，代入数据，求出得到的值，最后再根据正切函数的定义：，代入数据即可求解。
9．（2025·深圳模拟）已知实数a，b，满足，，则的值为　 　．
【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
10．（2025·深圳模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】2027
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：。
【分析】把代入 ，求出，然后再整体代入即可求解。
11．（2025·深圳模拟）如图，矩形中，，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意得：，
四边形是矩形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
；
故答案为：。
【分析】根据题意，可知， 根据四边形是矩形，可求出 ，在直角三角形ABE中，根据勾股定理： 求出的值，进而可知是等腰直角三角形，然后再根据矩形的面积公式：，代入数据求出矩形ABCD的面积，根据扇形的面积公式，可求出扇形ADE的面积，根据，代入数据即可求解。
12．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵绕着点B旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵反比例函数的图象经过点D和点E，
∴，，
解得：。
故答案为：。
【分析】 设 ，根据点A的坐标，求出AB的长，然后再直角三角形ABC中，根据勾股定理：，代入数据，求出AC的值；根据旋转的性质，可知，，根据三角形内角和公式和直角三角形的互余性质，可得：
， 求出的值，进而可求出的值，再根据直角三角形的性质，可得，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出EG的值，进而可求出D和E的坐标，然后再将D和E代入反比例函数 中，即可求出k的值。
13．（2025·深圳模拟）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数的定义，可求出的值，设，，利用勾股定理分别求出、和的值，进而可求出的值，再求出，则，和的值，进而得的值，，根据得的值，设，，则，，由正切函数，然后再将数据代入，即可求解．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值，分别对各个式子进行求解化简，最后再将各个式子进行相加减，据此即可求解
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中，，中选取一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
；；
，，，
当时，
原式。
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据平方差公式进行分解，再将除法换算成乘法，再进行约分化简，然后再根据分式的意义，确定a的值，然后再将a的值代入化简后的分式中，即可求解。
16．（2025·深圳模拟）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：
平均数 众数 中位数
A学校 85.5 80 n
B学校 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）；
（3）本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．
【答案】（1）85；87
（2）
（3）解：将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可得，，
将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．
故答案为：85；87．
（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，
故答案为：
【分析】（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，据此可求出m的值；B学校一共有10个学生，因此就有10个成绩，先对10个成绩从小到大排序，中位数位于第5和第6这两个数的平均数，据此即可求出n的值
（2）观察折线统计图中A和B学校两条折线的波动程度，可知，波动越大，方差越大，据此即可求解
（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，然后列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，最后再利用概率公式，据此即可求出答案。
（1）解：（1）由折线统计图可得，，
将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．
故答案为：85；87．
（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，
故答案为：．
（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，
列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
故答案为：．
17．（2025·深圳模拟）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】（1）解：如图所示：
由题意知，
在中，，则，即，
。
（2）解：如图所示：
，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形所示，可知，根据直角三角形的互余性质，可得，代入数据即可求解。
（2）根据题意，可知，在中，，可知三角形ACD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形性质得到；在中，，根据正切函数的定义：，代入数据即可求解。
18．（2025·深圳模拟）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于，且每盒售价不得高于80元．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？
【答案】（1）400
（2）解：根据题意，可得
，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最大值，为元，
答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：（盒），
故答案为：400；
【分析】（1）根据“每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒”，用60减去50，然后再乘以10，最后再用500减去10（60-50），求出每盒提高10元时，粽子的日销售量
（2）根据“销售额=销售量×销售价”列出函数解析式，然后再根据函数的性质进行求解即可．
（1）解：（盒），
故答案为：400；
（2）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最大值，为元，
答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元．
19．（2025·深圳模拟）【问题背景】
人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距”的定义如下：坐标平面内的两点，，，之间的距离为．例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的“曼距”．
【初步理解】
（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生在处．而在该地区附近有两辆警车，车位于处，车位于处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派 车（填或前去处理事故．
（2）如图1，正方形的中心位于坐标原点，四个顶点均位于坐标轴上，且．则下列说法：
①若点是正方形一边上的一点，则；②若点是正方形内的一点，则；
③若点是正方形外的一点，则；④若点是正方形内的一点，则．
其中不正确的是　　（填序号）．
【探究应用】
（3）如图2，某消防支队位于坐标原点，轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过，，三点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点，为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点的位置应选在何处？请作答以下问题：
①圆弧所在的圆的圆心的坐标为　　，该圆的半径大小为　　；
②请利用网格格点，在图2中，画出使最小时点的位置（不要求证明）；
③的最小值为　　．
【答案】（1）B；（2）④；
（3）①，，
②
③
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【解答】解：（1），，
，
应该派前去处理事故，
故答案为：；
（2），
设所在直线方程为
把代入
得
解得
所在直线方程为：，
当在第一象限内，
当在上时，，故①正确；
当在正方形内时，过作交于，此时，，
，故②正确；
同理，当在正方形外，，
，故③正确；
正方形为轴对称图形，也是中心对称图形，
当在其他象限时，①②③同样成立；
取为上一点，，
，故④错误；
故答案为：④；
（3）①②如图：
，
，
故答案为：，；
③过作轴垂线，过作轴垂线，两线相交于，
为等腰直角三角形，
，
，，
故答案为：。
【分析】（1）根据新定义要求，分别求出和的长，然后再进行比较，据此即可判断；
（2）根据正方形的性质，可得正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，根据，设CD所在直线方程为 ，将D坐标和C坐标代入，求出的直线方程，然后再根据P点在CD上，求出的长，从而确定P点的位置；当P在正方形内时，过作轴垂线，交于点，根据坐标关系即可得出②③，令在上，求出的长，即可判断④的正误；
（3）①根据垂径定理作和的垂直平分线，交点即为，根据勾股定理求出即为半径；②③因为为定值，也为定值，所以需要在，之间，且尽量大。
20．（2025·深圳模拟）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：
将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系．
【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）；
【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由；
【能力提升】
（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）．
【答案】证明：（1），；
如图1，
，，理由如下：
连接，延长，交的延长线于点，交于点O，
，
∴，
∵
∴
，，
由旋转可得，，
，，
，
∵
∴
，
，
，
∴，，
，
，
，
证明：（2）；
如图3，
延长至，使，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）设，如图4，
当点在内部时，由（1）知，，，，
，
，
，
，
、、共线，
，
，
，
，（舍去），
，
，
如图5，
当点在外部时，
，
，
，
、、共线，
，
，
，
，（舍去），
，
综上所述：．
【分析】（1）连接，延长，交的延长线于点，交于点O，根据，可求出和，再根据，据此即可证明三角形BGF和三角形DEF全等，进而可得出，，再根据旋转性质，可得，，进而可得出，，由此可得，然后根据题干条件，易证，从而可得，据此即可证明
（2）延长至，使，根据，易证四边形是平行四边形，由旋转性质，可得，，，进而求出，可证得C、B、E、D共圆，从而，，可证得，从而，据此即可求解
（3）设 当点在内部时，由（1）可求出等于90度，再结合 ，可推出 ，易证得C、D、F共线，然后再根据，可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果.
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