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　广西大学附属中学2025年九年级5月阶段性(第八次）测试数学试题
1．（2025·广西壮族自治区模拟）下列各数中，是正数的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·广西壮族自治区模拟）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广西壮族自治区模拟）2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广西壮族自治区模拟）九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．140°
7．（2025·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广西壮族自治区模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·广西壮族自治区模拟） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·广西壮族自治区模拟）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·广西壮族自治区模拟）如图是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
12．（2025·广西壮族自治区模拟）已知二次函数的图象经过点，若，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·广西壮族自治区模拟）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
14．（2025·广西壮族自治区模拟）分解因式：　 　．
15．（2025·广西壮族自治区模拟）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是　 　．（参考数据：，，．
16．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为　 　．
17．（2025·广西壮族自治区模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．（2025·广西壮族自治区模拟）在中，是的角平分线．
（1）过点D作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的度数．
19．（2025·广西壮族自治区模拟）为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下：
【收集数据】
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：
80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100
【整理、描述数据】
按如下分段整理描述样本数据：
　
七年级 4 6 2 8
八年级 3 6 7
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 89 96
八年级 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___，___，___；
（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，____同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数．
20．（2025·广西壮族自治区模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
21．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求和的长．
22．（2025·广西壮族自治区模拟）综合与实践：
某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息：
材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表：
车速（）
制动距离（）
探究任务：
（1）以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式；
（3）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（4）若某驾驶员驾驶这种新型汽车以5的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．
23．（2025·广西壮族自治区模拟）【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：由正数的定义可知四个数中，只有是正数，
故答案为：A．
【分析】根据正数的定义：正数是指大于0的数，据此即可求解
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为： C
【分析】根据对称轴的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可求解
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是
故答案为：C。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是由物体上方向下做正投影得到的视图，据此即可判断
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵结果有30名同学举手，其中男生10名，女生20名，
∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是．
故答案为：D。
【分析】根据概率的公式：，然后再代入数据即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图可得： ，
，
，
（两直线平行同位角相等）．
故答案为：B。
【分析】根据平行线的基本性质：两直线平行，内错角相等；再根据两直线相交，对顶角相等，再根据直角三角形的互余性质，可得， ，即可求出的度数，进而即可求出的度数。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项、积的乘方法则：、同底数幂乘法法则：和完全平方公式，然后对各个选项进行逐一分析求解即可
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示如图：
，
故答案为：B。
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解的原则，即可求解。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
10．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：溶液呈碱性，
，
将给定的溶液加水稀释，
值逐渐减小，逐渐接近，
故答案为：B。
【分析】根据溶液的碱性，可先确定，然后再根据给定的溶液加水稀释，值逐渐减小，且逐渐接近，然后再结合各个选项中的图像，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象。
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10-2=8，则AE=EH，EF=EH-HF．
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE-HF）2，解得AE=13m．
故答案为：A。
【分析】先对圆弧形拱桥进行建模：桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H，然后再根据垂径定理，求出FH的值，从而得到AE和EH，EF和HF的关系，最后再根据勾股定理：AE2=AF2+EF2，代入数据即可求出AE的长
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为，
令，则，
解得：或，
∴当或当时，，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴点离对称轴要比点离对称轴远，，
∴，
∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，
∴，
解得：，
综上所述，，
故答案为：B。
【分析】根据抛物线，可知抛物线的开口向上，根据对称轴的公式，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，据此可得，求出，则点A在对称轴的左边，点B在对称轴的右边， 得出不等式，最后再进行解不等式求解
13．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，
由折射率的定义得，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，
根据勾股定理，，
即，
解得，
故答案为：3.75。
【分析】过点作于点，根据折射率的定义得，，代入数据，求出，设，在中，根据勾股定理： ，代入数据即可求解。
16．【答案】8
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为，
在矩形和矩形中，轴，轴，
M为的中点，
点C的横坐标为b，则纵坐标为，
A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8，
，，，，
阴影面积，
解得：，
故答案为：8。
【分析】根据反比例函数 的图象恰好经过点M、P，可设点P、M的坐标，然后再根据轴，、M为BC的中点，最后再根据中点坐标公式，求出C点的坐标，然后再根据题干中A、B和C坐标的条件，求出PA、PE、OB和CB的长，根据 阴影面积，代入数据，即可求出k的值。
17．【答案】解：（1）
（2）
方程左右同乘可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根的运算法则，对算术平方根化简，然后再进行加减乘除即可
（2）分式两边同时乘以x（x-1），将分式方程化为整式方程，然后再进行求解，最后再检验即可。
18．【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：，
是的角平分线，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先用尺规作，然后再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，据此即可求解；
（2）利用三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后再根据平行线的性质，即可求解
（1）解：如图，线段即为所求．
（2），
是的角平分线，
，
，
．
19．【答案】（1）4，91，95
（2）甲
（3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，
所以（人），
答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由八年级的分数得，分数在有4个，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
。
故答案为：4，91，95。
（2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前．
故答案为：甲。
【分析】（1）根据八年级的学生分数，找出分数在 之间的分数个数，即可求出a的值；先对八年级20个学生的分数从小到大进行排列，然后再找出第11和12个之间的两个分数，然后求这两个分数的平均数，即可求出b的值；找出八年级20个学生成绩中出现次数最多的分数，即可求出c的值
（2）根据（1）和表格中的数据可知，八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，据此即可解答；
（3）用不低于95分，即的人数除以样本的数据，然后再乘以八年级的学生总人数，即可求出八年级不低于95分的人数
（1）解：由八年级的分数得，分数在有4个，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
．
故答案为：4，91，95；
（2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前．
故答案为：甲．
（3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，
所以（人），
答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．
20．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量。
（2）解：①；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；不等式的解及解集；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据“第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳”，据此可建立方程组；，
然后解方程组即可
（2）①设小亮安排m个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安排开合跳的个数，然后再化简即可；
②设小亮安排m个深蹲，根据“深蹲的数量不少于开合跳的数量”，据此可建立不等式：，然后解不等式，求出m的范围；设消耗的总热量为千卡，据此建立等量关系：，然后再根据函数的性质，即可求出的最大值
（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量；
（2）解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
21．【答案】（1）证明：连接。
为的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
（直角三角形的两个锐角互余）；
，，
平分，即；
，
，
，即，
是半径，
为的切线。
（2）解：由（1）知：，，，
，
，
，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
。
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理，可得，再根据直角三角形的互余性质，可得，又根据，，可得平分，根据题干信息，可得，进而可得，即可证明。
（2）根据（1）中的结论，，，，根据正弦函数的定义：，代入数据，求出的值，进而求得，过点作于点，则．然后再根据正弦函数的定义：，代入数据，求出CG的值，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出BG的值，根据，，易证，然后再根据三角形相似性质，可得，代入数据即可求出的值。
22．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：设与的关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
这个函数的表达式为：。
（3）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为。
（4）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，，
制动非安全距离为：，
有碰撞危险。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；作图-二次函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）将表格中的各个点在数轴上描出来，然后再进行连线即可求解。
（2）设与的关系式为：，从题干表格中找出任意两个点的坐标，然后将这两个坐标代入关系式中，即可求出该解析式。
（3）令，代入（2）中求得的二次函数解析式，求出x的值，然后再根据x的取值范围，最后再进行取舍即可
（4）令，代入（2）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而可算出制动非安全距离，然后再与所给的进行比较，即可判断。
（1）解：如图所示，
（2）解：设与的关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
这个函数的表达式为：；
（3）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为；
（4）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，，
制动非安全距离为：，
有碰撞危险．
23．【答案】（1）①45；②；
解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②。
【分析】（1）如图1，根据正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可求出G、B、E共线，，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可求解。
（2）如图2，在上截取，连接，易证，从而得到，从而得到，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可证明。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据正方形的基本性质，可得， ，根据勾股定理：，代入数据， 求出的值，据此可求出BM和DM的值，由旋转性质，易得，进而可得，易证，进而可得，设，则， 在中，利用勾股定理：，代入数据，即可求出x的值，从而可得MN的值。
1 / 1　广西大学附属中学2025年九年级5月阶段性(第八次）测试数学试题
1．（2025·广西壮族自治区模拟）下列各数中，是正数的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：由正数的定义可知四个数中，只有是正数，
故答案为：A．
【分析】根据正数的定义：正数是指大于0的数，据此即可求解
2．（2025·广西壮族自治区模拟）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为： C
【分析】根据对称轴的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可求解
3．（2025·广西壮族自治区模拟）2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是
故答案为：C。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是由物体上方向下做正投影得到的视图，据此即可判断
5．（2025·广西壮族自治区模拟）九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵结果有30名同学举手，其中男生10名，女生20名，
∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是．
故答案为：D。
【分析】根据概率的公式：，然后再代入数据即可求解。
6．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图可得： ，
，
，
（两直线平行同位角相等）．
故答案为：B。
【分析】根据平行线的基本性质：两直线平行，内错角相等；再根据两直线相交，对顶角相等，再根据直角三角形的互余性质，可得， ，即可求出的度数，进而即可求出的度数。
7．（2025·广西壮族自治区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项、积的乘方法则：、同底数幂乘法法则：和完全平方公式，然后对各个选项进行逐一分析求解即可
8．（2025·广西壮族自治区模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示如图：
，
故答案为：B。
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解的原则，即可求解。
9．（2025·广西壮族自治区模拟） 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则，
，即：；
故答案为：C．
【分析】第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．
10．（2025·广西壮族自治区模拟）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：溶液呈碱性，
，
将给定的溶液加水稀释，
值逐渐减小，逐渐接近，
故答案为：B。
【分析】根据溶液的碱性，可先确定，然后再根据给定的溶液加水稀释，值逐渐减小，且逐渐接近，然后再结合各个选项中的图像，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象。
11．（2025·广西壮族自治区模拟）如图是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10-2=8，则AE=EH，EF=EH-HF．
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE-HF）2，解得AE=13m．
故答案为：A。
【分析】先对圆弧形拱桥进行建模：桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H，然后再根据垂径定理，求出FH的值，从而得到AE和EH，EF和HF的关系，最后再根据勾股定理：AE2=AF2+EF2，代入数据即可求出AE的长
12．（2025·广西壮族自治区模拟）已知二次函数的图象经过点，若，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为，
令，则，
解得：或，
∴当或当时，，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴点离对称轴要比点离对称轴远，，
∴，
∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，
∴，
解得：，
综上所述，，
故答案为：B。
【分析】根据抛物线，可知抛物线的开口向上，根据对称轴的公式，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，据此可得，求出，则点A在对称轴的左边，点B在对称轴的右边， 得出不等式，最后再进行解不等式求解
13．（2025·广西壮族自治区模拟）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．（2025·广西壮族自治区模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
15．（2025·广西壮族自治区模拟）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是　 　．（参考数据：，，．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，
由折射率的定义得，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，
根据勾股定理，，
即，
解得，
故答案为：3.75。
【分析】过点作于点，根据折射率的定义得，，代入数据，求出，设，在中，根据勾股定理： ，代入数据即可求解。
16．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为　 　．
【答案】8
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P，
设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为，
在矩形和矩形中，轴，轴，
M为的中点，
点C的横坐标为b，则纵坐标为，
A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8，
，，，，
阴影面积，
解得：，
故答案为：8。
【分析】根据反比例函数 的图象恰好经过点M、P，可设点P、M的坐标，然后再根据轴，、M为BC的中点，最后再根据中点坐标公式，求出C点的坐标，然后再根据题干中A、B和C坐标的条件，求出PA、PE、OB和CB的长，根据 阴影面积，代入数据，即可求出k的值。
17．（2025·广西壮族自治区模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
（2）
方程左右同乘可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根的运算法则，对算术平方根化简，然后再进行加减乘除即可
（2）分式两边同时乘以x（x-1），将分式方程化为整式方程，然后再进行求解，最后再检验即可。
18．（2025·广西壮族自治区模拟）在中，是的角平分线．
（1）过点D作，交于点（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：，
是的角平分线，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先用尺规作，然后再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，据此即可求解；
（2）利用三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后再根据平行线的性质，即可求解
（1）解：如图，线段即为所求．
（2），
是的角平分线，
，
，
．
19．（2025·广西壮族自治区模拟）为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下：
【收集数据】
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：
80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100
【整理、描述数据】
按如下分段整理描述样本数据：
　
七年级 4 6 2 8
八年级 3 6 7
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 89 96
八年级 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___，___，___；
（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，____同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数．
【答案】（1）4，91，95
（2）甲
（3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，
所以（人），
答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由八年级的分数得，分数在有4个，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
。
故答案为：4，91，95。
（2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前．
故答案为：甲。
【分析】（1）根据八年级的学生分数，找出分数在 之间的分数个数，即可求出a的值；先对八年级20个学生的分数从小到大进行排列，然后再找出第11和12个之间的两个分数，然后求这两个分数的平均数，即可求出b的值；找出八年级20个学生成绩中出现次数最多的分数，即可求出c的值
（2）根据（1）和表格中的数据可知，八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，据此即可解答；
（3）用不低于95分，即的人数除以样本的数据，然后再乘以八年级的学生总人数，即可求出八年级不低于95分的人数
（1）解：由八年级的分数得，分数在有4个，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
．
故答案为：4，91，95；
（2）解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前．
故答案为：甲．
（3）解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，
所以（人），
答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．
20．（2025·广西壮族自治区模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量。
（2）解：①；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；不等式的解及解集；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据“第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳”，据此可建立方程组；，
然后解方程组即可
（2）①设小亮安排m个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安排开合跳的个数，然后再化简即可；
②设小亮安排m个深蹲，根据“深蹲的数量不少于开合跳的数量”，据此可建立不等式：，然后解不等式，求出m的范围；设消耗的总热量为千卡，据此建立等量关系：，然后再根据函数的性质，即可求出的最大值
（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量；
（2）解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
21．（2025·广西壮族自治区模拟）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明：连接。
为的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
（直角三角形的两个锐角互余）；
，，
平分，即；
，
，
，即，
是半径，
为的切线。
（2）解：由（1）知：，，，
，
，
，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
。
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理，可得，再根据直角三角形的互余性质，可得，又根据，，可得平分，根据题干信息，可得，进而可得，即可证明。
（2）根据（1）中的结论，，，，根据正弦函数的定义：，代入数据，求出的值，进而求得，过点作于点，则．然后再根据正弦函数的定义：，代入数据，求出CG的值，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出BG的值，根据，，易证，然后再根据三角形相似性质，可得，代入数据即可求出的值。
22．（2025·广西壮族自治区模拟）综合与实践：
某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息：
材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表：
车速（）
制动距离（）
探究任务：
（1）以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式；
（3）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（4）若某驾驶员驾驶这种新型汽车以5的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：设与的关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
这个函数的表达式为：。
（3）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为。
（4）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，，
制动非安全距离为：，
有碰撞危险。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；作图-二次函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）将表格中的各个点在数轴上描出来，然后再进行连线即可求解。
（2）设与的关系式为：，从题干表格中找出任意两个点的坐标，然后将这两个坐标代入关系式中，即可求出该解析式。
（3）令，代入（2）中求得的二次函数解析式，求出x的值，然后再根据x的取值范围，最后再进行取舍即可
（4）令，代入（2）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而可算出制动非安全距离，然后再与所给的进行比较，即可判断。
（1）解：如图所示，
（2）解：设与的关系式为：，
经过点，，
，
解得：，
这个函数的表达式为：；
（3）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为；
（4）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，，
制动非安全距离为：，
有碰撞危险．
23．（2025·广西壮族自治区模拟）【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【答案】（1）①45；②；
解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②。
【分析】（1）如图1，根据正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可求出G、B、E共线，，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可求解。
（2）如图2，在上截取，连接，易证，从而得到，从而得到，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可证明。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据正方形的基本性质，可得， ，根据勾股定理：，代入数据， 求出的值，据此可求出BM和DM的值，由旋转性质，易得，进而可得，易证，进而可得，设，则， 在中，利用勾股定理：，代入数据，即可求出x的值，从而可得MN的值。
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