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甘肃省兰州市十九中教育集团2024-2025学年下学期九年级第二次诊断考试数学试题
1．（2025·兰州模拟）观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B；结合俯视图，可以确定该几何体为选项D．
故答案为：D．
【分析】根据所给的三视图，结合选项判断求解即可.
2．（2025·兰州模拟）解不等式 时，去分母后结果正确为（　　）
A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9
C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）．
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．
3．（2025·兰州模拟）下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当 时， 的值为零
B．当 时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得正整数值
D．无论x为何值， 的值总为正数
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】A．当 时， 无意义，故A不符合题意；
B．当 时， 有意义，故B不符合题意；
C．当 或 时， 得正整数值，故C不符合题意；
D．分母 ，分子 ，故无论x为何值， 的值总为正数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为零的条件对每个选项一一判断即可。
4．（2025·兰州模拟）2025年春节假期，兰州市旅游收入约42亿元，将42亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：42亿元．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是将一个数表示成的形式，其中，n为整数. 根据科学记数法的定义计算求解即可.
5．（2025·兰州模拟）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．70°
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点P作PMAB，
∴∠3=∠1=30°，
∵，
∴，
∴∠4=∠2=40°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，
即∠EPF=70°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=30°，再根据平行线的性质求出∠4=∠2=40°，最后计算求解即可.
6．（2025·兰州模拟）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理求出，再根据扇形的弧长公式计算求解即可.
7．（2025·兰州模拟）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（　　）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，交于O，
正方形，，
，，，
，
，
，
同理：，
四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质求出，，，再利用勾股定理求出DE的值，最后求四边形BEDF的周长即可.
8．（2025·兰州模拟）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的线数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（　　）
A．24，36 B．36，18 C．36，24 D．24，18
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲有x钱，乙有y钱，
由题意可得：，
解得：，
∴甲乙二人分别有36钱和24钱．
故答案为：C．
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程组求解即可.
9．（2025·兰州模拟）在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲车的速度比乙的速度慢
B．甲车出发1小时后乙才出发
C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km
D．乙车达到A地时，甲车离A地90km
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当甲出发时乙未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙已经到达A地，说明甲车的速度比乙的速度慢，故选项A正确；
设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，
得，
解得，
∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为；
设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入和，
，
解得，
∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，
当时，，解得，
即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确；
当时，解得；
当时，解得；
∴甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km，故选项C正确；
当时，，故选项D错误；
故选：D．
【分析】利用待定系数法求出甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，再求出乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，最后对每个选项逐一判断求解即可.
10．（2025·兰州模拟）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　）
A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据的平均数为4，
∴，
∴
；
∵一组数据的平均数为4，方差是3.2，
∴，
∴另一组数据的方差为
．
故答案为：C．
【分析】根据平均数，方差的定义，结合题意计算求解即可.
11．（2025·兰州模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出m＝4，n＝﹣1，再代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，最后根据对称轴在x＝2的右侧求解即可.
12．（2025·兰州模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件求出，再计算求解即可.
13．（2025·兰州模拟）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，，
∴，
，，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再求出OD//AC，最后根据切线的判定定理证明求解即可；
（2）根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，再求出AF和DE的值，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，，
∴，
，，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
14．（2025·兰州模拟）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为　 　cm．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题可知：是正六边形，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【分析】由正六边形的性质可得△OAB为等边三角形，由，可得，，利用锐角三角函数即可求出OA的长.
15．（2025·兰州模拟）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则　 　．
已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是　 　．
【答案】30；15078
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意，；
∵ 是“同城数”，
∴，，
，
整理化简得，，
∴是8的倍数；
那么、可能的取值为，；或，；或，；
满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：．
故答案为：30；15078．
【分析】根据同城数的定义求出，，是整数，再整理化简计算求解即可.
16．（2025·兰州模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据题意先计算立方根，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，进而计算乘除加减即可求解。
17．（2025·兰州模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，原式．

【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将代入计算求解即可.
18．（2025·兰州模拟）解方程：．
【答案】解：等式两边同乘以得，
，
，
，
，，
经检验：是原方程的增根，舍去；
所以原方程的解为．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母转化为一元二次方程求出，再解方程计算求解即可.
19．（2025·兰州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由一次函数的解析式为可得，
∴，
设，
由题意可得，
解得：，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察函数图象求出不等式的解集即可；
（3）利用三角形的面积公式求出，再求出，最后求点P的坐标即可.
（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由一次函数的解析式为可得，
∴，
设，
由题意可得，解得：，
或．
20．（2025·兰州模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
21．（2025·兰州模拟）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】（1）（1）解：如图1，过作于，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
∵12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
∴
∴在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点B作于，由垂直的定义可知： 根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形BCDM是矩形，再由CB=CD和正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可知：则四边形是正方形，由正方形的性质：四条边都相等可知：，再由12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
可知：，最后由锐角三角函数定义：，代入数据计算即可得，最后由线段的和差计算即可得解；
（2）过作于，过作于，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形为矩形，再有矩形的性质：对边相等可知：，再根据勾股定理：在Rt△BCF中，，再由线段的和差运算可知： ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 最后解直角三角形得出，再由计算即可得解．
22．（2025·兰州模拟）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______________________，___________
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
【答案】（1），，
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》.
（3）（人）
即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人.

【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义先求出a和b，再求出即可作答；
（2）根据中位数和众数分析作答即可；
（3）根据我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，列式计算求解即可.
（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》
（3）（人）
即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人
23．（2025·兰州模拟）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标，
，
可设抛物线解析为：，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
令，则，
解得：(舍去)，
运动员落水点与点的距离为米；
（3）解：根据题意，抛物线解析式为：，
将点代入可得：，
即，
若跳水运动员在区域内(含点入水，
当时，，即，
解得：，
当时，，即，
解得：，

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先设抛物线解析为：，再求出a的值，最后求出抛物线的解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求解即可；
（3）先求出，再求出，最后求出即可作答.
（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标，
，
可设抛物线解析为：，
，解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
令，则，
解得：(舍去)，
运动员落水点与点的距离为米；
（3）解：根据题意，抛物线解析式为：，
将点代入可得：，即，
若跳水运动员在区域内(含点入水，
当时，，即，解得：，
当时，，即，解得：，
24．（2025·兰州模拟）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，
画树状图如下，
∴共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，
∴他们两人恰好选修同一门课程的概率为：．
【分析】先画树状图，再求出共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，最后根据概率公式计算求解即可.
25．（2025·兰州模拟）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
（1）【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
（2）【深入探究】
是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
（3）【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
【答案】（1）135
（2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下：
在上截取，如下图，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
在上截取，连接，则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：当点在线段上时，由（2）可知，四边形是正方形，
∵，，
∴，
；
如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
，
延长至，使得，连接，
∴，即，
∴，
，
，
∴，即，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
．
综上所述，线段的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：根据题意，作图如下，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的性质求出，，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法证明求解即可；
（3）利用ASA证明，再根据矩形的判定方法证明矩形是正方形，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：根据题意，作图如下，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下：
在上截取，如下图，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
在上截取，连接，则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：当点在线段上时，
由（2）可知，四边形是正方形，
∵，，
∴，
；
如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
，
延长至，使得，连接，
∴，即，
∴，
，
，
∴，即，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
．
综上所述，线段的长为或．
26．（2025·兰州模拟）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；

（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示：
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时.
【知识点】二次函数的定义；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将代入，求出，再求解即可；
（2）①根据题意先求出，再求出点在抛物线上，最后证明求解即可；
②先求出抛物线的开口向下，再求出当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为，最后作答求解即可.
（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示；
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时；
1 / 1甘肃省兰州市十九中教育集团2024-2025学年下学期九年级第二次诊断考试数学试题
1．（2025·兰州模拟）观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·兰州模拟）解不等式 时，去分母后结果正确为（　　）
A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9
C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）
3．（2025·兰州模拟）下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当 时， 的值为零
B．当 时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能得正整数值
D．无论x为何值， 的值总为正数
4．（2025·兰州模拟）2025年春节假期，兰州市旅游收入约42亿元，将42亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·兰州模拟）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．90° C．80° D．70°
6．（2025·兰州模拟）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·兰州模拟）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（　　）
A．8 B． C． D．4
8．（2025·兰州模拟）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的线数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（　　）
A．24，36 B．36，18 C．36，24 D．24，18
9．（2025·兰州模拟）在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲车的速度比乙的速度慢
B．甲车出发1小时后乙才出发
C．甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km
D．乙车达到A地时，甲车离A地90km
10．（2025·兰州模拟）已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　）
A．4，5.2 B．8，6.4 C．10，12.8 D．12，16
11．（2025·兰州模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
12．（2025·兰州模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
13．（2025·兰州模拟）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
14．（2025·兰州模拟）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为　 　cm．
15．（2025·兰州模拟）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则　 　．
已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是　 　．
16．（2025·兰州模拟）计算：．
17．（2025·兰州模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·兰州模拟）解方程：．
19．（2025·兰州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
20．（2025·兰州模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
21．（2025·兰州模拟）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
22．（2025·兰州模拟）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______________________，___________
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
23．（2025·兰州模拟）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围．
24．（2025·兰州模拟）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为　 　．
25．（2025·兰州模拟）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
（1）【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
（2）【深入探究】
是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
（3）【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
26．（2025·兰州模拟）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B；结合俯视图，可以确定该几何体为选项D．
故答案为：D．
【分析】根据所给的三视图，结合选项判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）．
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】A．当 时， 无意义，故A不符合题意；
B．当 时， 有意义，故B不符合题意；
C．当 或 时， 得正整数值，故C不符合题意；
D．分母 ，分子 ，故无论x为何值， 的值总为正数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为零的条件对每个选项一一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：42亿元．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是将一个数表示成的形式，其中，n为整数. 根据科学记数法的定义计算求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点P作PMAB，
∴∠3=∠1=30°，
∵，
∴，
∴∠4=∠2=40°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，
即∠EPF=70°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=30°，再根据平行线的性质求出∠4=∠2=40°，最后计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理求出，再根据扇形的弧长公式计算求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，交于O，
正方形，，
，，，
，
，
，
同理：，
四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质求出，，，再利用勾股定理求出DE的值，最后求四边形BEDF的周长即可.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲有x钱，乙有y钱，
由题意可得：，
解得：，
∴甲乙二人分别有36钱和24钱．
故答案为：C．
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程组求解即可.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当甲出发时乙未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙已经到达A地，说明甲车的速度比乙的速度慢，故选项A正确；
设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，
得，
解得，
∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为；
设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入和，
，
解得，
∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，
当时，，解得，
即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确；
当时，解得；
当时，解得；
∴甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km，故选项C正确；
当时，，故选项D错误；
故选：D．
【分析】利用待定系数法求出甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，再求出乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，最后对每个选项逐一判断求解即可.
10．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据的平均数为4，
∴，
∴
；
∵一组数据的平均数为4，方差是3.2，
∴，
∴另一组数据的方差为
．
故答案为：C．
【分析】根据平均数，方差的定义，结合题意计算求解即可.
11．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出m＝4，n＝﹣1，再代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，最后根据对称轴在x＝2的右侧求解即可.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件求出，再计算求解即可.
13．【答案】（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，，
∴，
，，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再求出OD//AC，最后根据切线的判定定理证明求解即可；
（2）根据矩形的判定方法证明四边形是矩形，再求出AF和DE的值，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，，
∴，
，，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
14．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题可知：是正六边形，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【分析】由正六边形的性质可得△OAB为等边三角形，由，可得，，利用锐角三角函数即可求出OA的长.
15．【答案】30；15078
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意，；
∵ 是“同城数”，
∴，，
，
整理化简得，，
∴是8的倍数；
那么、可能的取值为，；或，；或，；
满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：．
故答案为：30；15078．
【分析】根据同城数的定义求出，，是整数，再整理化简计算求解即可.
16．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据题意先计算立方根，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，进而计算乘除加减即可求解。
17．【答案】解：
．
当时，原式．

【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将代入计算求解即可.
18．【答案】解：等式两边同乘以得，
，
，
，
，，
经检验：是原方程的增根，舍去；
所以原方程的解为．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母转化为一元二次方程求出，再解方程计算求解即可.
19．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由一次函数的解析式为可得，
∴，
设，
由题意可得，
解得：，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察函数图象求出不等式的解集即可；
（3）利用三角形的面积公式求出，再求出，最后求点P的坐标即可.
（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
把的坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）解：连接，由一次函数的解析式为可得，
∴，
设，
由题意可得，解得：，
或．
20．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
21．【答案】（1）（1）解：如图1，过作于，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
∵12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
∴
∴在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点B作于，由垂直的定义可知： 根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形BCDM是矩形，再由CB=CD和正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可知：则四边形是正方形，由正方形的性质：四条边都相等可知：，再由12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
可知：，最后由锐角三角函数定义：，代入数据计算即可得，最后由线段的和差计算即可得解；
（2）过作于，过作于，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形为矩形，再有矩形的性质：对边相等可知：，再根据勾股定理：在Rt△BCF中，，再由线段的和差运算可知： ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 最后解直角三角形得出，再由计算即可得解．
22．【答案】（1），，
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》.
（3）（人）
即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人.

【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
【分析】（1）根据中位数，众数的定义先求出a和b，再求出即可作答；
（2）根据中位数和众数分析作答即可；
（3）根据我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，列式计算求解即可.
（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》
（3）（人）
即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人
23．【答案】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标，
，
可设抛物线解析为：，
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
令，则，
解得：(舍去)，
运动员落水点与点的距离为米；
（3）解：根据题意，抛物线解析式为：，
将点代入可得：，
即，
若跳水运动员在区域内(含点入水，
当时，，即，
解得：，
当时，，即，
解得：，

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先设抛物线解析为：，再求出a的值，最后求出抛物线的解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求解即可；
（3）先求出，再求出，最后求出即可作答.
（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标，
，
可设抛物线解析为：，
，解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
令，则，
解得：(舍去)，
运动员落水点与点的距离为米；
（3）解：根据题意，抛物线解析式为：，
将点代入可得：，即，
若跳水运动员在区域内(含点入水，
当时，，即，解得：，
当时，，即，解得：，
24．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，
画树状图如下，
∴共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，
∴他们两人恰好选修同一门课程的概率为：．
【分析】先画树状图，再求出共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为，最后根据概率公式计算求解即可.
25．【答案】（1）135
（2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下：
在上截取，如下图，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
在上截取，连接，则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：当点在线段上时，由（2）可知，四边形是正方形，
∵，，
∴，
；
如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
，
延长至，使得，连接，
∴，即，
∴，
，
，
∴，即，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
．
综上所述，线段的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：根据题意，作图如下，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的性质求出，，再利用AAS证明，最后根据正方形的判定方法证明求解即可；
（3）利用ASA证明，再根据矩形的判定方法证明矩形是正方形，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：根据题意，作图如下，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下：
在上截取，如下图，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
在上截取，连接，则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：当点在线段上时，
由（2）可知，四边形是正方形，
∵，，
∴，
；
如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
，
延长至，使得，连接，
∴，即，
∴，
，
，
∴，即，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
．
综上所述，线段的长为或．
26．【答案】（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；

（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示：
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时.
【知识点】二次函数的定义；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将代入，求出，再求解即可；
（2）①根据题意先求出，再求出点在抛物线上，最后证明求解即可；
②先求出抛物线的开口向下，再求出当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为，最后作答求解即可.
（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示；
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时；
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