资源简介

浙江省台州市第一中学2023年物理竞赛类特长生笔试（数理思维素养测试）试卷（数学部分）
1．（2023·台州竞赛）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为
B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
2．（2023·台州竞赛）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·台州竞赛）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·台州竞赛）已知常数，有三个关于的方程：和依次是这三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．不能确定的大小
5．（2023·台州竞赛）已知函数.当时，；当时，.那么，当时，的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．（2023·台州竞赛）方程有四个实数解，实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·台州竞赛）已知a，b是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·台州竞赛）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.是EG的中点，且的平分线GH过点，交BE于点，连接FH交EG于点，连接OH交CE于点.给出以下结论：①；②；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2023·台州竞赛）若关于的分式方程无解，则实数的值为　 　.
10．（2023·台州竞赛）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是　 　.
11．（2023·台州竞赛）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在的同一侧，则不同的排列法有　 　种（用数字作答）.
12．（2023·台州竞赛）设P，Q是边长为1的正方形ABCD内的两个点，则的最小值为　 　.
13．（2023·台州竞赛）如图所示，可以在等边三角形ABC内部任意位置移动，记，若，则的最小值为　 　.
14．（2023·台州竞赛）设a，b，c，d都是正数，且，那么的取值范围是　 　.
15．（2023·台州竞赛）对于实数，用[x]表示不超过的最大整数.若，则　 　.
16．（2023·台州竞赛）阅读以下资料：
在中，若记内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则，或写成.这称为余弦定理.余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边.
请尝试解决以下问题：
（1）若，求角的值；
（2）若，且，求的值.
17．（2023·台州竞赛）已知二次函数，其图象与轴的交点记为.
（1）当时，记二次函数与轴的交点为M，N，求的面积.
（2）已知，线段AB与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围.
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·台州竞赛）如图，在平面内，以AB为边分别向两边作.
（1）若，连接OC与直线AB交于点，且满足，求OC的长度.
（2），求OC长度的最大值.
19．（2023·台州竞赛）已知实数x，y，z满足.
（1）求所有满足条件的实数x，y，z的值.
（2）若实数a，b，c满足，且，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；确定圆的条件；事件发生的可能性；中心对称图形；多边形的内角和公式
【解析】【分析】解：A、任意画一个四边形，其内角和为360°，此事件是必然事件，故A不符合题意；
B、经过任意两点画一条直线，此事件是必然事件，故B不符合题意；
C、任意画一个菱形，是中心对称图形，此事件是必然事件，故C不符合题意；
DD、过平面内任意三点画一个圆 ，是随机事件，故D符合题意.
故答案为：D.
【解答】利用随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：∵ 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，
∴第八个单音的频率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，据此可求出第八个单音的频率.
3．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，
∴的个位数字是，
又∵，
∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．
故答案为：A
【分析】先观察等式“，，，，，”得到尾数，，，的规律是4个数一循环，进而得到的个位数字是，再根据题意得到的结果的个位数字与的个位数字相同，从而即可求解。
4．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；两二次函数的图象共存判断；含字母系数的一元二次方程
【解析】【解答】解：设y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）
∵， a的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴三个二次函数的大致图象如下，
∴x1＜x2＜x3.
故答案为：A.
【分析】设y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）
∵， a的绝对值越大，抛物线开口越小，分别画出函数图象，观察图象可得答案.
5．【答案】B
【知识点】含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：
∵ 当即时，；当即时，，
∴
解之：
∴，
当即时，
.
故答案为：C
【分析】将已知函数转化为，分别可得到的值，根据的y的值，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到y与x的函数解析式，然后将代入可求出对应的y的值.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：当x=0时是此方程的一个根，
关于x的方程有3个不同的非零的实数解，
即方程
图象有3个交点，画出图象如下
解之：k＞1
故答案为：B.
【解答】当x=0时是此方程的一个根，可得到关于x的方程有3个不同的非零的实数解，将方程转化为分别画出函数图象，根据图象有三个交点，可得到k的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当x-a≤0，x-b≥0，x-b-1≤0时，
解之：x≤a，x≥b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＞0，b＜0，b+1≥0，
解之：a＞0，-1≤b＜0；
当x-a≥0，x-b≥0，x-b-1≥0时，
∴x≥a，x≥b，x≥b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b＜0，b+1≤0，
解之：a＜0，b≤-1；
当x-a≥0，x-b≤0，x-b-1≤0时，
解之：x≥a，x≤b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b≥0，b+1≥0，
∴a＜0，b＞0；
∴不可能的是b＜0.
故答案为：D.
【解答】利用已知条件分情况讨论：当x-a≤0，x-b≥0，x-b-1≤0时，当x-a≥0，x-b≥0，x-b-1≥0时；当x-a≥0，x-b≤0，x-b-1≤0时，结合x≥0，分别可得到a、b的取值范围；即可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，正方形CGFE，
∴EC=CG，BC=CD，∠BCE=∠GCD=90°，
在△BCE和△DCG中
∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴∠DGC=∠BEC，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴ ∠EBC +∠DGC=90°，
∴∠BHG=90°，
∴GH⊥BE，故①正确；
∵HG平分∠EGC，
∴∠EGH=∠BGH
在△EGH和△BGH中
∴ △EGH≌△BGH （ASA）
∴EG=BG，BH=HE，
∵正方形EFGC，
∴∠ECG=90°，∠CEG=∠EGC=45°，
∴EC=CG，
∴
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵在Rt△EHG中，点O是EG的中点，
∴OE=OG=OH，
∴点E、F、G、C、H在以点O为圆心，OH为半径的同一个圆上，
∵EF=GF，
∴，
∴∠EHM=∠GHF，
∵
∴∠HEM=∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，故③正确；
设OH与EC交于点N，
∵，EG=2OH，
∴，
∵EH=BH，OE=OG，
∴HO是△EBG的中位线，
∴EN=CN，OH∥BG∥EF，
∴S△EOH=S△HOG，
∴∠EFM=∠MHO，∠FEM=∠HOM，
∴△EMF∽△OMH，
∴，
，
∴，
∴，故 ④ 正确；
∴正确结论的序号为①②③④
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得EC=CG，BC=CD，∠BCE=∠GCD=90°，利用SAS可证得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的对应角相等，可知∠DGC=∠BEC，据此可证得∠EBC +∠DGC=90°，可对①作出判断；利用角平分线的概念可证得∠EGH=∠BGH，利用ASA可证 △EGH≌△BGH，利用全等三角形的性质可证得EG=BG，BH=HE，利用正方形的性质及解直角三角形可得到。据此可求出BC与CG的比值，可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和正方形的性质，可证得OE=OG=OH，由此可得到点E、F、G、C、H在以点O为圆心，OH为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可推出∠EHM=∠GHF，∠HEM=∠HFG，由此可证得△EHM∽△FHG，可对③作出判断；设OH与EC交于点N，利用解直角三角形求出EF与OH的比值，同时可证得HO是△EBG的中位线，利用三角形中位线定理可证EN=CN，OH∥BG∥EF，可推出S△EOH=S△HOG，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△EMF∽△OMH，利用相似三角形的性质可求出OM与BE的比值，由此可得到△OMH与△OHE的面积的比值，即可得到△HOM和△HOG的比值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．【答案】1或
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将原方程转化为
∴x-3a=2a（x-3）
∴（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0即时，原方程无解
当x-3=0即x=3时，原方程无解，
∴3（1-2a）=-3a
解之：a=1，
∴当a的值为1或时，原方程无解.
故答案为：1或.
【解答】将原方程转化为（1-2a）x=-3a，分情况讨论可求出a的值.
10．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ 第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的
∴第1次倒出升水；第2次倒出升水；第3次倒出升水；
第4次倒出升水第n次倒出升水
∴ 倒了10次后容器内剩余的水量为
.
故答案为：.
【解答】根据题意分别求出第2次倒出水的数量，第3次倒出水的数量，第4次倒出水的数量，可得到第n次倒出水的数量，据此列式计算求出 倒了10次后容器内剩余的水量.
11．【答案】96
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：若A、B排在C的左侧时；
A-B-C-，在AB之间插空，BC之间插空，C后插空，一共有3×2×1=6种；
-A-B-C，在A前面插空，AB之间插空，BC之间插空，一共有3×2=6种；
A--B-C，在AB之间插两个空，BC之间插1个空，一共有3×2×1=6种；
A-B-C-，在AB之间插1个空，BC之间插1个空，C后插1空，一共有3×2×1=6种；
一共有2×4×6=48种，
若A、B排在C的右侧时；同样有48种；
∴一共有48+48=96种.
故答案为：96.
【解答】利用插空法可得到不同的排列法的数量.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到△AP'B'，将△DCQ绕着点D逆时针旋转60°，得到△DQC''，连接BC''，交AB于点M，交CD于点N，
∴BP=B'P'，CQ=C''Q'，
∴∠PAP'=∠QDD'=60°，AP=AP'，DQ=DQ'，
∴△APP'和△DQQ'是等边三角形，
∴AP=PP'，QQ'=QD，
∴AP+BP+PQ+QC+QD=PP'+B'P'+PQ+C'Q'+QQ'，
当点B'、P'、P、Q、Q'、C''在同一直线上时，AP+BP+PQ+QC+QD取得最小值，就是B'C''的长；
故答案为：
【解答】如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到△AP'B'，将△DCQ绕着点D逆时针旋转60°，得到△DQC''，连接BC''，交AB于点M，交CD于点N，易证△APP'和△DQQ'是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AP=PP'，QQ'=QD，可推出AP+BP+PQ+QC+QD=PP'+B'P'+PQ+C'Q'+QQ'，当点B'、P'、P、Q、Q'、C''在同一直线上时，AP+BP+PQ+QC+QD取得最小值，就是B'C''的长；然后求出B'C''的长.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意画图如下
设等边三角形的边长为2a，圆的半径为r，
∴CD⊥AB，
∴BD=AB=a，∠CBD=60°，∠BCD=30°，∠EAO2=30°
∴CD=BDtan∠CBD=，
∴AO2=CO1=2r，
∴
解之：
∵
∴
∴tanα的最小值为
故答案为：.
【解答】根据题意画图，设等边三角形的边长为2a，圆的半径为r，利用等边三角形的性质可表示出BD，同时可证得∠CBD=60°，∠BCD=30°，∠EAO2=30°，利用解直角三角形表示出CD的长，同时可证得AO2=CO1=2r，利用解直角三角形可表示出a，可得到BE的长，然后求出tanα的最小值.
14．【答案】1＜s＜2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∴
∴；
∴
∴
∴s的取值范围为1＜s＜2.
故答案为：1＜s＜2.
【解答】将S分别进行转化为，可得到S的取值范围.
15．【答案】88
【知识点】分母有理化；函数值
【解析】【解答】解：由题意可知
；
∴
故答案为：88
【解答】
16．【答案】（1）解：∵ ，
∴（a+c）2-b2=3ac
∴a2+c2-b2=ac，
∴B的值为
（2）解：∵
∴，
∴b2-bc-2c2=0
∴（b-2c）（b+c）=0
∵b+c≠0
∴b-2c=0
∴b=2c，
∴.
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】（1）利用平方差公式 将转化为a2+c2-b2=ac，再利用阅读材料可知，然后整体代入可求出结果.
（2）利用 及余弦定理可得到，可推出b2-bc-2c2=0，将左边转化为（b-2c）（b+c）=0，即可得到的值.
17．【答案】（1）解：当x=0时，y=-1，
∴点C（0，-1）
当m=3，y=0时
-x2+3x-1=0即x2-3x+1=0
解之：
∴
∴
（2）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b
∵，
∴
解之：
∴y=-x+3
∴-x2+mx-1=-x+3
∴x2-（m+1）x+4=0
b2-4ac=m2+2m+1-16＞0，
解之：m＞3或m＜-5.
（3）解：，
，
经过点，
，即，
当时，恒成立 ，
当时，，解得，无解；
当时，，
；
当时，，，
，
综上所述，.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式由x=0可求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再将m=3代入函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点M、N的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△MNC的面积.
（2）利用待定系数法求出线段AB的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据线段AB与二次函数有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
(3)利用二次函数的图象性质可得要使当时，恒成立 ，则当时，，解得，无解；当时，，解得；当时，，解得m=2，综上所述，.
18．【答案】（1）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，解得，
，
，
.
（2）解：如图，点C在上运动，点O在上运动，
当点O、N、M、C在同一直线上时，OC有最大值，即O'C'的长度，
作，
，
，
，
，
，，
，
，
当点O在点E位置时，，
，
当点O在点F位置时，，
，
，
，
，
，
，
，
即OC长度的最大值为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；定角定弦辅助圆模型；阿氏圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)作，易证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，设，则，由等腰三角形的性质可得，，再通过勾股定理表示出OP、CP的长度，进而解得，即可计算出OC的长度.
(2)由点C、O的运动轨迹可得点C在上运动，点O在上运动，故当点O、N、M、C在同一直线上时，OC有最大值，即O'C'的长度，由圆周角定理可得，进而计算出的半径，再通过OB=2OA可得当点O在点E位置时，，当点O在点F位置时，，进而计算出的半径，然后利用勾股定理计算出MN的长度，即可求得OC长度的最大值.
19．【答案】（1）解：通过分析，方程组可化为关系a=x-2，b=y-2，c=z-2的方程
由此可得
将表达式代入可得整理得
，
，则必有a=0，代入后得b=c=0
即得x=y=2
（2）解：由(1)知x=y=z=2，代入则有2a+2b+2c=2，即a+b+c=1，
于是a+b=1-c
同时由知
由柯西不等式有，
于是整理得
解得，即
【知识点】估计方程的解；方程的定义及分类；利用不等式的性质解简单不等式；不等式奥数类应用问题
【解析】【分析】(1)通过分析知方程可化为关于a=x-2，b=y-2，c=z-2的方程，由a、b、c的关系式知a=b=c=0，即得x=y=z=2；
（2）将(1)中的根代入，知a+b+c=1，分离a、b和c，利用柯西不等式求出c的范围即可.
1 / 1浙江省台州市第一中学2023年物理竞赛类特长生笔试（数理思维素养测试）试卷（数学部分）
1．（2023·台州竞赛）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为
B．经过任意两点画一条直线
C．任意画一个菱形，是中心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；确定圆的条件；事件发生的可能性；中心对称图形；多边形的内角和公式
【解析】【分析】解：A、任意画一个四边形，其内角和为360°，此事件是必然事件，故A不符合题意；
B、经过任意两点画一条直线，此事件是必然事件，故B不符合题意；
C、任意画一个菱形，是中心对称图形，此事件是必然事件，故C不符合题意；
DD、过平面内任意三点画一个圆 ，是随机事件，故D符合题意.
故答案为：D.
【解答】利用随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，再对各选项逐一判断即可.
2．（2023·台州竞赛）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：∵ 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，
∴第八个单音的频率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，据此可求出第八个单音的频率.
3．（2023·台州竞赛）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，
∴的个位数字是，
又∵，
∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．
故答案为：A
【分析】先观察等式“，，，，，”得到尾数，，，的规律是4个数一循环，进而得到的个位数字是，再根据题意得到的结果的个位数字与的个位数字相同，从而即可求解。
4．（2023·台州竞赛）已知常数，有三个关于的方程：和依次是这三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．不能确定的大小
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；两二次函数的图象共存判断；含字母系数的一元二次方程
【解析】【解答】解：设y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）
∵， a的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴三个二次函数的大致图象如下，
∴x1＜x2＜x3.
故答案为：A.
【分析】设y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）
∵， a的绝对值越大，抛物线开口越小，分别画出函数图象，观察图象可得答案.
5．（2023·台州竞赛）已知函数.当时，；当时，.那么，当时，的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：
∵ 当即时，；当即时，，
∴
解之：
∴，
当即时，
.
故答案为：C
【分析】将已知函数转化为，分别可得到的值，根据的y的值，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到y与x的函数解析式，然后将代入可求出对应的y的值.
6．（2023·台州竞赛）方程有四个实数解，实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：当x=0时是此方程的一个根，
关于x的方程有3个不同的非零的实数解，
即方程
图象有3个交点，画出图象如下
解之：k＞1
故答案为：B.
【解答】当x=0时是此方程的一个根，可得到关于x的方程有3个不同的非零的实数解，将方程转化为分别画出函数图象，根据图象有三个交点，可得到k的取值范围.
7．（2023·台州竞赛）已知a，b是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当x-a≤0，x-b≥0，x-b-1≤0时，
解之：x≤a，x≥b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＞0，b＜0，b+1≥0，
解之：a＞0，-1≤b＜0；
当x-a≥0，x-b≥0，x-b-1≥0时，
∴x≥a，x≥b，x≥b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b＜0，b+1≤0，
解之：a＜0，b≤-1；
当x-a≥0，x-b≤0，x-b-1≤0时，
解之：x≥a，x≤b，x≤b+1，
∵x≥0，
∴a＜0，b≥0，b+1≥0，
∴a＜0，b＞0；
∴不可能的是b＜0.
故答案为：D.
【解答】利用已知条件分情况讨论：当x-a≤0，x-b≥0，x-b-1≤0时，当x-a≥0，x-b≥0，x-b-1≥0时；当x-a≥0，x-b≤0，x-b-1≤0时，结合x≥0，分别可得到a、b的取值范围；即可求解.
8．（2023·台州竞赛）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.是EG的中点，且的平分线GH过点，交BE于点，连接FH交EG于点，连接OH交CE于点.给出以下结论：①；②；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】圆周角定理；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，正方形CGFE，
∴EC=CG，BC=CD，∠BCE=∠GCD=90°，
在△BCE和△DCG中
∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴∠DGC=∠BEC，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴ ∠EBC +∠DGC=90°，
∴∠BHG=90°，
∴GH⊥BE，故①正确；
∵HG平分∠EGC，
∴∠EGH=∠BGH
在△EGH和△BGH中
∴ △EGH≌△BGH （ASA）
∴EG=BG，BH=HE，
∵正方形EFGC，
∴∠ECG=90°，∠CEG=∠EGC=45°，
∴EC=CG，
∴
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵在Rt△EHG中，点O是EG的中点，
∴OE=OG=OH，
∴点E、F、G、C、H在以点O为圆心，OH为半径的同一个圆上，
∵EF=GF，
∴，
∴∠EHM=∠GHF，
∵
∴∠HEM=∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，故③正确；
设OH与EC交于点N，
∵，EG=2OH，
∴，
∵EH=BH，OE=OG，
∴HO是△EBG的中位线，
∴EN=CN，OH∥BG∥EF，
∴S△EOH=S△HOG，
∴∠EFM=∠MHO，∠FEM=∠HOM，
∴△EMF∽△OMH，
∴，
，
∴，
∴，故 ④ 正确；
∴正确结论的序号为①②③④
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得EC=CG，BC=CD，∠BCE=∠GCD=90°，利用SAS可证得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的对应角相等，可知∠DGC=∠BEC，据此可证得∠EBC +∠DGC=90°，可对①作出判断；利用角平分线的概念可证得∠EGH=∠BGH，利用ASA可证 △EGH≌△BGH，利用全等三角形的性质可证得EG=BG，BH=HE，利用正方形的性质及解直角三角形可得到。据此可求出BC与CG的比值，可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和正方形的性质，可证得OE=OG=OH，由此可得到点E、F、G、C、H在以点O为圆心，OH为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可推出∠EHM=∠GHF，∠HEM=∠HFG，由此可证得△EHM∽△FHG，可对③作出判断；设OH与EC交于点N，利用解直角三角形求出EF与OH的比值，同时可证得HO是△EBG的中位线，利用三角形中位线定理可证EN=CN，OH∥BG∥EF，可推出S△EOH=S△HOG，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△EMF∽△OMH，利用相似三角形的性质可求出OM与BE的比值，由此可得到△OMH与△OHE的面积的比值，即可得到△HOM和△HOG的比值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．（2023·台州竞赛）若关于的分式方程无解，则实数的值为　 　.
【答案】1或
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将原方程转化为
∴x-3a=2a（x-3）
∴（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0即时，原方程无解
当x-3=0即x=3时，原方程无解，
∴3（1-2a）=-3a
解之：a=1，
∴当a的值为1或时，原方程无解.
故答案为：1或.
【解答】将原方程转化为（1-2a）x=-3a，分情况讨论可求出a的值.
10．（2023·台州竞赛）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是　 　.
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ 第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的
∴第1次倒出升水；第2次倒出升水；第3次倒出升水；
第4次倒出升水第n次倒出升水
∴ 倒了10次后容器内剩余的水量为
.
故答案为：.
【解答】根据题意分别求出第2次倒出水的数量，第3次倒出水的数量，第4次倒出水的数量，可得到第n次倒出水的数量，据此列式计算求出 倒了10次后容器内剩余的水量.
11．（2023·台州竞赛）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在的同一侧，则不同的排列法有　 　种（用数字作答）.
【答案】96
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：若A、B排在C的左侧时；
A-B-C-，在AB之间插空，BC之间插空，C后插空，一共有3×2×1=6种；
-A-B-C，在A前面插空，AB之间插空，BC之间插空，一共有3×2=6种；
A--B-C，在AB之间插两个空，BC之间插1个空，一共有3×2×1=6种；
A-B-C-，在AB之间插1个空，BC之间插1个空，C后插1空，一共有3×2×1=6种；
一共有2×4×6=48种，
若A、B排在C的右侧时；同样有48种；
∴一共有48+48=96种.
故答案为：96.
【解答】利用插空法可得到不同的排列法的数量.
12．（2023·台州竞赛）设P，Q是边长为1的正方形ABCD内的两个点，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到△AP'B'，将△DCQ绕着点D逆时针旋转60°，得到△DQC''，连接BC''，交AB于点M，交CD于点N，
∴BP=B'P'，CQ=C''Q'，
∴∠PAP'=∠QDD'=60°，AP=AP'，DQ=DQ'，
∴△APP'和△DQQ'是等边三角形，
∴AP=PP'，QQ'=QD，
∴AP+BP+PQ+QC+QD=PP'+B'P'+PQ+C'Q'+QQ'，
当点B'、P'、P、Q、Q'、C''在同一直线上时，AP+BP+PQ+QC+QD取得最小值，就是B'C''的长；
故答案为：
【解答】如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到△AP'B'，将△DCQ绕着点D逆时针旋转60°，得到△DQC''，连接BC''，交AB于点M，交CD于点N，易证△APP'和△DQQ'是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AP=PP'，QQ'=QD，可推出AP+BP+PQ+QC+QD=PP'+B'P'+PQ+C'Q'+QQ'，当点B'、P'、P、Q、Q'、C''在同一直线上时，AP+BP+PQ+QC+QD取得最小值，就是B'C''的长；然后求出B'C''的长.
13．（2023·台州竞赛）如图所示，可以在等边三角形ABC内部任意位置移动，记，若，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意画图如下
设等边三角形的边长为2a，圆的半径为r，
∴CD⊥AB，
∴BD=AB=a，∠CBD=60°，∠BCD=30°，∠EAO2=30°
∴CD=BDtan∠CBD=，
∴AO2=CO1=2r，
∴
解之：
∵
∴
∴tanα的最小值为
故答案为：.
【解答】根据题意画图，设等边三角形的边长为2a，圆的半径为r，利用等边三角形的性质可表示出BD，同时可证得∠CBD=60°，∠BCD=30°，∠EAO2=30°，利用解直角三角形表示出CD的长，同时可证得AO2=CO1=2r，利用解直角三角形可表示出a，可得到BE的长，然后求出tanα的最小值.
14．（2023·台州竞赛）设a，b，c，d都是正数，且，那么的取值范围是　 　.
【答案】1＜s＜2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
∴
∴；
∴
∴
∴s的取值范围为1＜s＜2.
故答案为：1＜s＜2.
【解答】将S分别进行转化为，可得到S的取值范围.
15．（2023·台州竞赛）对于实数，用[x]表示不超过的最大整数.若，则　 　.
【答案】88
【知识点】分母有理化；函数值
【解析】【解答】解：由题意可知
；
∴
故答案为：88
【解答】
16．（2023·台州竞赛）阅读以下资料：
在中，若记内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则，或写成.这称为余弦定理.余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边.
请尝试解决以下问题：
（1）若，求角的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴（a+c）2-b2=3ac
∴a2+c2-b2=ac，
∴B的值为
（2）解：∵
∴，
∴b2-bc-2c2=0
∴（b-2c）（b+c）=0
∵b+c≠0
∴b-2c=0
∴b=2c，
∴.
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】（1）利用平方差公式 将转化为a2+c2-b2=ac，再利用阅读材料可知，然后整体代入可求出结果.
（2）利用 及余弦定理可得到，可推出b2-bc-2c2=0，将左边转化为（b-2c）（b+c）=0，即可得到的值.
17．（2023·台州竞赛）已知二次函数，其图象与轴的交点记为.
（1）当时，记二次函数与轴的交点为M，N，求的面积.
（2）已知，线段AB与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围.
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当x=0时，y=-1，
∴点C（0，-1）
当m=3，y=0时
-x2+3x-1=0即x2-3x+1=0
解之：
∴
∴
（2）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b
∵，
∴
解之：
∴y=-x+3
∴-x2+mx-1=-x+3
∴x2-（m+1）x+4=0
b2-4ac=m2+2m+1-16＞0，
解之：m＞3或m＜-5.
（3）解：，
，
经过点，
，即，
当时，恒成立 ，
当时，，解得，无解；
当时，，
；
当时，，，
，
综上所述，.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式由x=0可求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再将m=3代入函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点M、N的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△MNC的面积.
（2）利用待定系数法求出线段AB的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据线段AB与二次函数有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
(3)利用二次函数的图象性质可得要使当时，恒成立 ，则当时，，解得，无解；当时，，解得；当时，，解得m=2，综上所述，.
18．（2023·台州竞赛）如图，在平面内，以AB为边分别向两边作.
（1）若，连接OC与直线AB交于点，且满足，求OC的长度.
（2），求OC长度的最大值.
【答案】（1）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，解得，
，
，
.
（2）解：如图，点C在上运动，点O在上运动，
当点O、N、M、C在同一直线上时，OC有最大值，即O'C'的长度，
作，
，
，
，
，
，，
，
，
当点O在点E位置时，，
，
当点O在点F位置时，，
，
，
，
，
，
，
，
即OC长度的最大值为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；定角定弦辅助圆模型；阿氏圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)作，易证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，设，则，由等腰三角形的性质可得，，再通过勾股定理表示出OP、CP的长度，进而解得，即可计算出OC的长度.
(2)由点C、O的运动轨迹可得点C在上运动，点O在上运动，故当点O、N、M、C在同一直线上时，OC有最大值，即O'C'的长度，由圆周角定理可得，进而计算出的半径，再通过OB=2OA可得当点O在点E位置时，，当点O在点F位置时，，进而计算出的半径，然后利用勾股定理计算出MN的长度，即可求得OC长度的最大值.
19．（2023·台州竞赛）已知实数x，y，z满足.
（1）求所有满足条件的实数x，y，z的值.
（2）若实数a，b，c满足，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：通过分析，方程组可化为关系a=x-2，b=y-2，c=z-2的方程
由此可得
将表达式代入可得整理得
，
，则必有a=0，代入后得b=c=0
即得x=y=2
（2）解：由(1)知x=y=z=2，代入则有2a+2b+2c=2，即a+b+c=1，
于是a+b=1-c
同时由知
由柯西不等式有，
于是整理得
解得，即
【知识点】估计方程的解；方程的定义及分类；利用不等式的性质解简单不等式；不等式奥数类应用问题
【解析】【分析】(1)通过分析知方程可化为关于a=x-2，b=y-2，c=z-2的方程，由a、b、c的关系式知a=b=c=0，即得x=y=z=2；
（2）将(1)中的根代入，知a+b+c=1，分离a、b和c，利用柯西不等式求出c的范围即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑