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[板块专题题库1-2-2-2]整数裂项
一、整数裂项
1．（2022六下·竞赛）=　 　
【答案】
【知识点】乘除法中的巧算；裂项
【解析】【解答】解：这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S＝
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650
故答案为：41650。
【分析】本题是一个整数裂项的问题，首先将题目中的数列进行裂项，然后进行求和。
2．（2022六下·竞赛）　 　
【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分；裂项
【解析】【解答】解：本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算。对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
，
所以原式
另解：由于 ，所以
原式
采用此种方法也可以得到 这一结论。
故答案为：330。
【分析】首先将每一项的乘积进行变形，然后利用平方和公式和高斯求和公式°进行计算。
3．（2022六下·竞赛） =　 　
【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分
【解析】【解答】解：设S＝
1×4×9＝1×4×7＋1×4×2
4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S＝49×52×55＋1×4×2
S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
故答案为：15572。
【分析】这是一道关于整数裂项的题目，总体思路是将每一项都进行裂项处理，然后再求和。
4．（2022六下·竞赛）　 　
【答案】
【知识点】整数的裂项与拆分；凑整法与约分
【解析】【解答】解：
则原式
故答案为：2970。
【分析】这是一道关于整数裂项的题目，总体思路是将每一项都进行裂项处理，然后再求和。
5．计算：　 　．
【答案】19503
【知识点】整数裂项
【解析】【解答】解：可以进行整数裂项．
，
，
，
所以原式
也可适用公式．
原式
而
，
，
所以原式．
故答案为：19503
【分析】本题考查整数裂项，先识别数列的规律，每一项均为三个连续奇数的乘积，且首项为1×3×5，末项为17×19×21。 通过拆分每一项为差分形式，利用累加法消去中间项，最终简化计算。
6．计算：
【答案】解：原式
【知识点】整数裂项
【解析】【分析】算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3，根据通项公式nx(n+6)x(n+12)x(n+18)÷(6x4)；解答即可.
7．（2022六下·竞赛）计算：　 　
【答案】
【知识点】乘除法中的巧算；四则混合运算中的巧算；裂项
【解析】【解答】解：记原式为 ，设 ，
则
，
所以， 。
故答案为：。
【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算。
8．（2022六下·竞赛）
【答案】解：2004×2003-2003×2002看做一个整体
2004×2003-2003×2002
=2003×（2004-2002）
=2003×2
2002×2001-2001×2000
=2001×（2002-2000）
=2001×2
2004×2003-2003×2002+2002×2001-2001×2000+......+2×1
=2003×2+2001×2+......+3×2+1×2
=2×（2003+2001+......+3+1）
=2×（1+2003）×1002÷2
=2×2004×1002÷2
=2×1004004
=2008008
【知识点】等差数列；整数的裂项与拆分
【解析】【分析】等差数列：和=（首项+末项）×项数÷2。
9．　 　
【答案】2009！
【知识点】整数裂项
【解析】【解答】解：观察发现，
，
……
原式
【分析 】先通过观察通项的规律，通项 可以表示为，将其转化为可消去中间项的形式，从而简化计算。
10．（2022六下·竞赛）计算：　 　
【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分
【解析】【解答】解：设原式=
故答案为：。
【分析】这两个题目都是要求我们计算一个复杂的表达式，我们可以通过观察和分析，找出表达式的规律，然后进行简化计算。
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一、整数裂项
1．（2022六下·竞赛）=　 　
2．（2022六下·竞赛）　 　
3．（2022六下·竞赛） =　 　
4．（2022六下·竞赛）　 　
5．计算：　 　．
6．计算：
7．（2022六下·竞赛）计算：　 　
8．（2022六下·竞赛）
9．　 　
10．（2022六下·竞赛）计算：　 　
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】乘除法中的巧算；裂项
【解析】【解答】解：这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S＝
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650
故答案为：41650。
【分析】本题是一个整数裂项的问题，首先将题目中的数列进行裂项，然后进行求和。
2．【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分；裂项
【解析】【解答】解：本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算。对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
，
所以原式
另解：由于 ，所以
原式
采用此种方法也可以得到 这一结论。
故答案为：330。
【分析】首先将每一项的乘积进行变形，然后利用平方和公式和高斯求和公式°进行计算。
3．【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分
【解析】【解答】解：设S＝
1×4×9＝1×4×7＋1×4×2
4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S＝49×52×55＋1×4×2
S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
故答案为：15572。
【分析】这是一道关于整数裂项的题目，总体思路是将每一项都进行裂项处理，然后再求和。
4．【答案】
【知识点】整数的裂项与拆分；凑整法与约分
【解析】【解答】解：
则原式
故答案为：2970。
【分析】这是一道关于整数裂项的题目，总体思路是将每一项都进行裂项处理，然后再求和。
5．【答案】19503
【知识点】整数裂项
【解析】【解答】解：可以进行整数裂项．
，
，
，
所以原式
也可适用公式．
原式
而
，
，
所以原式．
故答案为：19503
【分析】本题考查整数裂项，先识别数列的规律，每一项均为三个连续奇数的乘积，且首项为1×3×5，末项为17×19×21。 通过拆分每一项为差分形式，利用累加法消去中间项，最终简化计算。
6．【答案】解：原式
【知识点】整数裂项
【解析】【分析】算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3，根据通项公式nx(n+6)x(n+12)x(n+18)÷(6x4)；解答即可.
7．【答案】
【知识点】乘除法中的巧算；四则混合运算中的巧算；裂项
【解析】【解答】解：记原式为 ，设 ，
则
，
所以， 。
故答案为：。
【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算。
8．【答案】解：2004×2003-2003×2002看做一个整体
2004×2003-2003×2002
=2003×（2004-2002）
=2003×2
2002×2001-2001×2000
=2001×（2002-2000）
=2001×2
2004×2003-2003×2002+2002×2001-2001×2000+......+2×1
=2003×2+2001×2+......+3×2+1×2
=2×（2003+2001+......+3+1）
=2×（1+2003）×1002÷2
=2×2004×1002÷2
=2×1004004
=2008008
【知识点】等差数列；整数的裂项与拆分
【解析】【分析】等差数列：和=（首项+末项）×项数÷2。
9．【答案】2009！
【知识点】整数裂项
【解析】【解答】解：观察发现，
，
……
原式
【分析 】先通过观察通项的规律，通项 可以表示为，将其转化为可消去中间项的形式，从而简化计算。
10．【答案】
【知识点】四则混合运算中的巧算；整数的裂项与拆分
【解析】【解答】解：设原式=
故答案为：。
【分析】这两个题目都是要求我们计算一个复杂的表达式，我们可以通过观察和分析，找出表达式的规律，然后进行简化计算。
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