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New”『自主』清华大学新领军 2023 年 10 月学科综合能力测试（TACA
）丘成桐数学一试试题
1.对非负实数 x 令 (x)为不超过 x 的素数个数,如 (1)=0, (2)=1,再令 f(x)为第[ ]+1 个素数,求 ( (x)+
f(x))dx 的值.
2.若定义在 R 上的光滑函数 h(x)在 x=0 处的泰勒展开为 + + ,其中 0,则定义 ord(h)=k,若
h(x)在 x=0 处泰勒展开系数均为 0,则定义 ord(h)= ,令 S={f(x)|f(x)为定义在 R 上的光滑奇函数,满足 f'(0)=1},
设 m=
求 m;
对于 f(x),g(x) S,设 (0)= , (0)= ,i=2,3, ,求 f(g(x))-g(f(x))在 x=0 处泰勒展开式中 的系数关于 ,
的表达式.
3.给定正整数 n,设 A,B 为 n 阶复方阵,满足 AB+A=BA+B,求证 =0.
4.对 x=( , , ) ,定义|x|= .求所有的实数 ,使 ,存在且有限.
5.题 5.给定正整数 m 2, n 2 以及实数 a,b, 设有 m+n 阶实方阵
A=
其中 J 为 m 阶方阵,K 为 n 阶方阵:
求线性空间{X (R)|AX=XA}的维数.
6.给定整数 n 2 及实数 , , , ,令 n 阶实矩阵
对线性空间 V= x (R) =X},定义线性变换 V V,F(X)= ,求 tr(F)和 det(F).
7.给定整数 n 2.记 为 n 阶置换群.考虑线性空间
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V={( , , , ) + + + =0}
,对于 ,定义线性变换 :V V,( , , , ) ( , , , ).记 x( )=tr( ).
1.对 ,求 ( )所有可能取值.
2.求 的值.
8.题 8.设 p [1,+ ),对 x ,x=( , , , ),定义 = .问:是否存在常数 C,使得对于 x,y
满足 = ,以及 [0,1],满足 C|| x-(1- ) 若存在,求出 C 的最小值,若不存在,说明
理由.
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1.【答案】解：易知 100 以内的质数有 25 个,将这些质数由小到大排列,得到 , , , .
于是
(x)dx= 0dx+ 1dx+ + ndx+ + 25dx
=( - )+2( - )+ +24( - )+25(100- )
=(100- )+(100- )+ +(100- )
=2500-
注意到
=f(x)(k=1,2, ,25) k=[ ]+1 4(k-1) x<4k
所以
f(x)dx= ( dx+ dx+ + dx)
=
综上,原式=2500- + =2500.
2.【答案】解：(1)对 f S,因为 f 为奇函数,所以 f 在 x=0 处的泰勒展开式不含 (k=0,1, )项.故不妨设 f,g
的泰勒展开式分别为
x+ + + 和 x+ + +
由条件易知,ord(f)即为 x 0 时,无穷小量 f 的阶.
f(g(x))=g(x)+ (x)+ (x)+ (x)+o( (x))
=x+( + ) +( + + ) +( + + + + ) +o( )(x 0)
g(f(x))=f(x)+ (x)+ (x)+ (x)+o( (x))
=x+( + ) +( + + ) +( + + + + ) +o( )(x 0)
于是
f(g(x))-g(f(x))=[( + + + + )-( + + + + )] +o( )(x 0)
所以 m 7.令 f(x)=x+ ,g(x)=x+ ,有
f(g(x))-g(f(x))=- - - -
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故 m=7.
(2)由(1)中计算结果可知 系数为
( + + + + )-( + + + + )
= + + -( + + )
=2( - )+3( - )
=2( - )+3( - )
= +
=
3.【答案】解：令 C=A-B,则条件中的等式化简可得
(B+C)B+B+C=B(B+C)+B BC-CB=C
注意到,对任意 k
trace( )=trace((BC-CB) )=trace( - )=0
设复矩阵 C 的若当标准型的对角元为 , , , ,则
0=trace( )= + + + (k )
若 , , , 不全为零,不妨设 , , , 中互不相同且非零的取值为 , , , ,
重数对应为 , , , .于是我们有
由范德蒙行列式性质知,上式中的矩阵非退化,从而必须有 = = = =0,
而这与 , , , 的定义矛盾,故假设前提不成立,于是 = = = =0,从而 =0.
4.【答案】解:显然 <0.注意到 >0,所以 存在且有限等价于 有界.
对任意 >0,记
={x=( , , )|0<|x|< }
={x=( , , )|0 < ,i=1,2,3}
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={x=( , , )|0 < / ,i=1,2,3}
一方面,因为 ,所以
<4
于是 +2<-1 即 <-3 时, 有界.
另一方面, ,所以
于是 +2 -1 即 -3 时, 无界
综上, <-3.
5.【答案】解:令 J= + ,K= + (为 m,n 级单位矩阵)
验证易知与 J 可交换的方阵可表示为 的多项式,与 K 可交换的矩阵可表示为 的多项式.
设 X 可划分为分块矩阵
x=
其中 , 为 m,n 级方阵, , 为 m n 和 n m 矩阵.于是
AX=XA =
因此
J= , K= , = K, = J
由前文分析可知, , 分别为 , 的多项式.下面我们讨论 和 ,由对
称性可知只需讨论 的情形即可.注意到设 =( , , , )=( , , , )'
= +(0, , , )'
K= +( , , , ,0)
若 a=b,则 m< n 时有 =[ O],其中 为 m 级方阵且为 的多项式;
m=n 时 为 多项式;m>n 时有 =[ O]',其中 为 n 级方阵且为
的多项式.同理可得 对应结论,故此种情形下
dim{X (R)|AX=XA}=m+n+2
若 a b,验证易知必有 , 元素均为 0,故此种情形下
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dim{X (R)|AX=XA}=m+n
6.【答案】解:记 A 的全部特征值为 , , ,并取 A 在特征值 下的特征向量 .
其中若 = = 为相同的特征值,则 , , 为此特征值下线性无关的特征向量.
A = = A =
记 = + V,则 = 故 为 F 特征值.
而 , , 为线性无关的特征向量,即为 n 维向量空间的基.取 n 维向量空间的自然基 ,显然 + (1
i< j n)为 V 的基.而设 = ,则对任意 X V,
X= ( + )= ( + } }= ( + )可
由 线性表示.故有 (1 i< j n)构成 V 的基,线性无关.从而 (1 i< j n)恰为 F 全部 个特
征值.
又| I-A|= - - - ,故 = , =- .
故 tr(F)= + = = + .
det(F)= = = = .
7.【答案】解:(1)对 定义线性变换
f :
( , , , ) ( (1), , ,
显然 V 是 f 的不变子空间, 实质是 f |v.
在 的自然基下,f 对应的矩阵即为 =( , , , ),其中
为第 (i)个分量为 1 剩余分量为 0 的 n 为列向量.
令
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显然该矩阵前 n-1 列对应的列向量是 V 的一组基, 于是 T 前 n-1 行列构成的子矩阵,即是 在 ,
, , 对应的矩阵.记 T 第 n 行 n 列的元素为 于是
trace( )=trace( T)=trace( )+ ( )=trace( )-
注意到
=(1,1, ,1) (1,0,0, ,0)'=1
所以 trace( )=trace( )-1.易知 trace( )的所有可能取值为 0,1,2, ,n-
2,n,所以 trace( )的可能值为-1,0, ,n-3,n-1.
(2)由(1)知, ( )=trace( )-1,而 trace( )即为置换 不动点的个数.我们下面用期望的方式来计算
.
假设每个置换都是等可能的(概率为 ).定义随机变量 , , , ,其中
= ,i=1,2, ,n
于是我们易知 P( =1)= ,从而 E( )=E( )= .又因为不动点的个数即为
X= + + + ,所以
E(X)=E( )+E( )+ +E( )=1
我们下面只需计算 E[ ]=E( )-2E(X)+1=E( )-1.
E( )=E
= E( )+ E( )
=1+ E( )
注意当 i j 时,
E( )=P( =1, =1)=
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所以
E( )=1+ E( )=1+ =2
于是 E[ ]=E( )-1=1,所以 =n!.
8.【答案】略
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