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(共23张PPT)
华东师大版·八年级上册
第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
1. 平方根
新课导入
问题1：要剪出一张面积为 25 cm2 的正方形纸片，正方形的边长是多少？
( )2=25.
5
问题2：若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36
正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？
上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数.
5 的平方等于 25，所以 5 是 25 的一个平方根.
25 的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于 25？
举例
探究新知
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
概括
又因为 ( -5 )2 = 25，
所以 -5 也是 25 的一个平方根.
这就是说，5 与 -5 都是 25 的平方根.
求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
例1 求100的平方根.
解 因为102 = 100， (-10)2 = 100，除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和-10.也可以说，100的平方根是±10.
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3. -4有没有平方根？为什么？
±12
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有几个平方根 0有几个平方根 负数呢
试一试
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
因为任何有理数的平方都不可能是负数，所以，负数没有平方根.
平方根的性质：
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数. 显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.
概括
正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 . 因此，正数 a 的平方根可以记作 ，其中 a 称为被开方数.
根号
被开方数
a是非负数，a≥0.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 .
平方根与算术平方根的区别与联系：
平方根 算数平方根
区别 定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根
数量 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数只有一个算术平方根
表示方法 正数a的平方根表示为± 正数a的算术平方根表示为
结果 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数
联系 具有包含关系 一个非负数的平方根包含它的算术平方根，正数的算术平方根是其平方根中的正值 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0 名称
关系
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有 ，然后得知100的平方根是 .
平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
例2
将下列各数开平方：
（1）49；
（2） .
解 （1）因为72=49，所以 ，因此49的平方根为 .
（2）因为 ，所以 ，因此 的平方根为
1.填一填
（1）9 的算术平方根是 ；
（2）0.01 的算术平方是 ；
（3）8 100的算术平方是 ；
（4）10 的算术平方根是 ；
（5）的算式平方根是 ；
（6）(-4)2 的算术平方根是 .
3
0.1
90
4
针对训练
2.判断
（1）5 是 25 的算术平方根；
（2）-6 是 36 的算术平方根；
（3）0 的算术平方根是 0；
（4）0.01 是 0.1 的算术平方根；
（5）-5 是 -25 的算术平方根.
问题3：如何求出一个较大的数的开平方运算的结果呢？
对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入:
被开方数
EXE
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529；
（2）44.81（精确到0.01）.
说明 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
例3
解 （1）本小题的按键顺序是： ，显示结果为23，所以529的算术平方根为
5
EXE
2
9
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529；
（2）44.81（精确到0.01）.
例3
解 （2）本小题的按键顺序是：
，
显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为
4
EXE
4
.
8
1
1.完成下列表格：
被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
算术平方根
平方根
0
0
1
±1
2
±2
3
±3
4
±4
5
±5
6
±6
7
±7
8
±8
9
±9
10
±10
【选自教材P4练习 第1题】
随堂练习
2.说出下列各数的平方根：
（1）6400； （2）0.25； （3） .
±80
±0.5
3.用计算器计算：
（1） ； （2） ； （3） （精确到0.01）.
26
5.28
2.06
【选自教材P4练习 第2题】
【选自教材P5练习 第3题】
4.下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正.
（1）16的平方根是4；
（2）
解：（1）不正确.因为16的平方根是±4.
（2）不正确，因为正数的算术平方根只有一个，正确答案应是5.
【选自教材P5练习 第4题】
平方根
平方根的概念和性质
用计算器求一个数的算术平方根
算术平方根的概念和性质
课堂小结
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题.
课后作业(共17张PPT)
华东师大版·八年级上册
第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
2. 立方根
新课导入
问题 要做一只容积为 216 cm3 的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
与“平方根”类似，试作一些讨论和研究.
这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？
思考
新课导入
解：设正方体的棱长为x cm，则
x3=216
这就是要求一个数，使它的立方等于216.
因为63=216，
所以x=6.
所以正方体的棱长为6 cm.
5 cm3
问题 要做一只容积为 216 cm3 的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
探究新知
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作 ，读作“三次根号a”.
一个数a的立方根可以表示为：
根指数
被开方数
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
概括
1. 27的立方根是什么？
2. -27的立方根是什么？
3. 0的立方根是什么？
3
-3
0
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？
任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
试一试
讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？
被开方数 平方根 立方根
正数 有两个互为相反数 有一个，是正数
负数 无平方根 有一个，是负数
0 0 0
问题：要做一只容积为 5 cm3 的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
解：设正方体的棱长为x cm，则x3=5.
所以正方形的棱长为 .
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
立方
开立方
互逆
(3) _____________________________________________.
求下列各数的立方根：
(1) ； (2) －125； (3) －0.008.
解：(1) 因为 = ，
所以 = .
(2) 因为 (－5)3 = －125，
所以 = －5.
可以借助立方运算求立方根，也可以用立方运算检验开立方是否正确.
因为 (－0.2)3 = －0.008，
所以 = －0.2
仿照前两道小题的解答过程，写出小题(3)的解答.
例4
用计算器求下列各数的立方根：
(1) 1331； (2) 9.263 (精确到0.01).
说明 用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解 (1)本小题的按键顺序是：
显示结果为11，所以 = 11.
例5
3
EXE
，
1
3
3
1
(2)本小题的按键顺序是：
显示结果为2.100151161，要求精确到0.01，可得
≈ 2.10.
用计算器求下列各数的立方根：
(1) 1331； (2) 9.263 (精确到0.01).
例5
3
EXE
，
9
·
2
6
3
(1) 是 键的第二功能，启用第二功能，需要先按 键.
注意
(2)使用该功能时，可先输入根指数，再按 ，
最后输入被开方数；也可先按 ，输入根
指数，然后按 ，最后输入被开方数，按 求解.
＞
EXE
随堂练习
1.完成下列表格：
被开方数 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64
立方根
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
【选自教材P7练习 第1题】
2.求下列各数的立方根：
（1）512； （2）-0.027； （3） .
3.用计算器计算：
（1） ； （2） ； （3） （精确到0.01）.
8
-0.3
19
2.6
1.79
【选自教材P7练习 第2题】
【选自教材P7练习 第3题】
4.已知5x-1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x-2y的值.
解：根据题意得 解得 则4x-2y=
4×2-2×(-4)=8+8=16.
5.已知一个正方体的体积是1000cm3现在要在它的8个顶角上各截去1个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，截得的每个小正方体的棱长是多少？
解：设截得的每个小正方体的棱长是x cm.依题意，得1000-8x3=488，所以8x3=512，解得x=4.
答：截得的每个小正方体的棱长是4 cm.
课堂小结
立方根
定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.
性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
用计算器可以求一个数的立方根.
课后作业
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题.(共10张PPT)
华东师大版·八年级上册
第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
习题 10.1
1.下列说法正确吗？为什么？
（1）0.09的平方根是0.3；
（2） ；
（3）0没有立方根；
（4）1的立方根是±1.
不正确，0.09的平方根为±0.3.
不正确， .
不正确，0的立方根为0.
不正确，1的立方根是1.
【选自教材P7习题10.1 第1题】
A
组
2.求下列各数的平方根：
（1） ； （2）0.36； （3）324.
解：（1）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 .
（2）因为(0.6)2=0.36，所以 ，因此0.36的平方根为 .
（3）因为(18)2=324，所以 ，因此324的平方根为 .
【选自教材P8习题10.1 第2题】
3.求下列各数的立方根：
（1）125； （2） ； （3）0.729.
解：（1）因为53=125，所以 .
（2）因为 ，所以 .
（3）因为(0.9)3=0.729，所以 .
【选自教材P8习题10.1 第3题】
4.用计算器计算（精确到0.01）：
（1） ； （2） .
【选自教材P8习题10.1 第4题】
解：（1）本小题的按键顺序是 ，显示结果为4.1097445176069，要求精确到0.01，可得
1
EXE
6
.
8
9
4.用计算器计算（精确到0.01）：
（1） ； （2） .
（2）本小题的按键顺序是：
显示结果为19.0304221771366 ，要求精确到0.01，可得
3
EXE
，
6
8
9
2
【选自教材P8习题10.1 第4题】
5.（1） 在哪两个相邻的整数之间？
（2）3.1＜ ＜3.2正确吗？
（3）下列四个结论中，正确的是（ ）
A. 3.15＜ ＜3.16 B. 3.16＜ ＜3.17
C. 3.17＜ ＜3.18 D. 3.18＜ ＜3.19
在3和4之间.
正确.
B
【选自教材P8习题10.1 第5题】
6.已知 x 的一个平方根是 －8 ，求 x 的立方根.
B
组
解：因为 －8 是 x 的一个平方根，所以 x = (－8)2 = 64. 又因为 43 = 64，因此 = 4. 所以 x 的立方根是 4.
【选自教材P8习题10.1 第6题】
7.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得溢出的水的体积为40.5cm3. 然后，小华将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm. 求烧杯内部的底面半径和正方体铁块的棱长. （用计算器计算，结果精确到0.1cm）
【选自教材P8习题10.1 第7题】
解：烧杯中减少的水的体积为40.5cm3，水位下降了0.62cm，因此烧杯内部的底面面积为 cm2. 所以烧杯内部的底面半径为 (cm).因为铁块的体积是烧杯中减少的水的体积，所以铁块的棱长为 ≈3.4(cm).

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